利用微积分算子求幂级数的和函数(1).doc

第 14 卷第 3 期2011 年 5 月高等数学研究ST U DIES IN CO LL EGE M A T H EM A T ICS利用微积分算子求幂级数的和函数彭凯军, 孙胜先, 苏灿荣( 合肥工业大学 数学学院, 安徽 合肥 230009)V ol. 14, No . 3M ay, 2011摘要针对幂级数求和函 数的问题, 引入借助微分算子、积分算子和微分方程进行计算的方法, 可作为逐项微分法和逐项积分法的一种补充. 实例说明其应 用.关键词幂级数; 微分算子; 积分算子; 微分方程中图分类号O173文献标识码A文章编号1008- 1399( 2011) 03-0037- 02针对幂级数求和函数, 常用的方法是在收敛区间内对幂级数采用的逐项微分和逐项积分, 化复杂的幂级数为几种常见的幂级数 1 , 这种方法计算量较大, 并且容易产生错误. 本文给出以下三种利用微分思想求和函数的方法.x D = x d ,dx由定理 1 得( x D) x n = x # nx n- 1 = nx n, ,( x D) k- 1x n = nk- 1 x n.1微分算子法因此定理 1 设 f ( x ) 为任一整系数多项式,dx是一阶微分算子, 则有n n证明 不妨设f ( x ) = c( x - x 1) ( x - x 2) ,( x - x k ) ,因为n n n n所以f (xD)xn = c(xD- x1)(xD- x2) ,(xD- xk )xn = = =n= 1 n! n= 1 n!( x D) k- 1n= 1 ( n - 1) !k- 1 x其中 p k ( x ) 为 x 的 k 次多项式. 令 x = 1, 则可得nk = f ( 1) = p k ( 1) # e.n= 1 n !推论 1 设 f ( x) 为任一整系数多项式 试证级数f ( 1) f ( 2) f ( n)+n!之和必为 e 的整数倍.c(n- x1)(n- x2) ,(n- xk)xn = f (n)xn.证明因为 f ( x ) 为任一整系数多项式, 故由 2证明: 对任一正整数 k, 级数n= 1k定理 1 可得f ( x D) x n = f ( n) x n,的整数倍.证明 题中级数的收敛半径故可设引入一阶微分算子kn!( n+ 1)f (x) = n k x n, x I (- , + ) .n= 1 n!因此+ + f ( n) n f ( x D) nx = x =n= 0 n! n= 0 n!nf ( x D) f ( x D) ex = g( x ) ex ,n= 0其中 g( x ) 为非零整系数多项式. 令 x = 1, 即可知+ f ( n) = g( 1) e.n= 0 n!收稿日期: 2010 - 04 - 29; 修改日期: 2011 - 03 - 21.2积分算子法基金项目: 合肥工业大学校级精品课程项目( 数学分析); 中央高校基本科研业务费专项资金资助项目( 119-4115090004) .定理 2 3设 g( x ) 为任一整非零系数多项式,作者简介: 彭凯军( 1979 - ) , 男, 湖南韶山人, 理学硕士, 讲师, 从事计算数学研究. lxy _ pkj 126. com.x D = xddxx D = x df ( x D) x = f ( n) x .( xD- xk )x = xDx - xkx = (n- x k) x ,n k- 1x n( x D) k- 1 x nE Ex # x n- 1 =E( x e ) = p k ( x ) ex .( x D)E+ ,+ ,f ( 0) +1!2!,例 1E n! 为 ena n= lim n ( n + 1!)k = + .R = lim a n+ 1 nyEEE+ xE n! =E38为微分算子, 令称之为积分算子, 则有x D n+ 1x0高等数学研究例 3解法 1则有2011 年 5 月1 2n+ 1xn= 0原级数的收敛域为(- , + ) , 设2n+ 1n= 0 ( 2n + 1) !证明例 2与对定理 1 的证明类似, 从略.n- 1求幂级数 x 2n 的收敛域及和n= 1 2n - 1从而有f c( x ) =E1( 2n) !x 2n,函数.解原级数的收敛域为- 1, 1 , 由定理 2, 有f c( x ) + f ( x ) =E1 x n = ex .n! n= 1 2n- 1 n= 1 2n - 12x 2 1) n- 1 1 # 1 x 2n- 2 =n= 1 x Dx D n= 1x2 = x 2 = x arctanx.0解此一阶线性微分方程可得f ( x) =n= 0 ( 2n + 1) !1 ex - 1 e- x .2 2解法 2 由定理 3 可知f d( x ) = f ( x ) ,解此二阶常系数齐次微分方程可得相同结果.3微分方程法综上所述, 本文 介绍 了利用 微分 思想 来求 幂级数的和函数, 主要 介绍了 三种在 本科 教学和 研在实际计算过程中, 我们还可能遇到含阶乘运1 3nn= 0 ( 3n) !级数, 如果能够通过求导降次, 构造微分方程, 从而究生入学考试中 不常用的 方法. 这 两种 方法以 供教师教学中拓广 学生思路, 考研学 生考 试中丰 富自己解题手段.补充幂级数使 得变 成一个 标准 幂级 数话, 我们可再利用常见的幂级数来求解.En参考文献 1 陈传璋. 数学 分析: 下册 M . 2 版. 北京: 高 等教育 出版社, 1995: 656. 4设幂级数En( kn + l) !xkn+ l在收敛 2 吴良森, 毛羽 辉, 宋国栋, 等. 数学 分析习 题精 解 M .北京: 科学出版社, 2001: 309- 310.域内的和函数为 f ( x ) ( 其中 k 2, 而 l 为整数, a, b为实数) , 则有 3 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法 M . 2 版. 北京:高等教育出版社, 2007: 508.f( k)k 4 吴守玲. 幂级数的求和公 式 J . 抚州 师专学 报. 1999 ,证明由数学归纳法可得, 从略.1( 3) : 27- 30.Differential and Integral Operators forthe Sum of Power SeriesPENG Ka-ijun,SU N Sheng-x ian,SU Can- rong( D epar tment o f mathemat ics, H efei univ ersity of T echnolo gy , H efei 230009, P RC)Abstract:Differential and integral o perato rs are intro duced to assist the calculation of thesum of a pow er series. Ex am ples are included to illustrate our m ethods.Keywords:pow er series, differential oper ator, integ ral operator , differ ential equationQ1 =t dx ,Dg ( 1 # 1 ) x n = g( 1 ) x n.求幂级数 E的和函数.( 2n+ 1) !E1x= f (x),(- 1)En= 0n= 0(- 1)n- 1 2n(- 1) n- 1x2n- 2E x = x E=E (-E (-x 2 # 1 # 1 x 2) n- 1 =Qx # 1 #1dxD1+ x 1+ xE