广东省深圳市宝安区高三数学上学期9月调研试题 理（含解析）.doc

2015-2016学年广东省深圳市宝安区高三（上）9月调研数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是( )af（x）=x+1bf（x）=x|x|cf（x）=|x|df（x）=x2复数z=的共轭复数是( )a2+ib2ic1+id1i3集合m=x|lgx0，n=x|x24，则mn=( )a（1，2）b1，2）c（1，2d1，24如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是( )a3b4c5d85已知点a（0，1），b（3，2），向量=（4，3），则向量=( )a（7，4）b（7，4）c（1，4）d（1，4）6已知双曲线=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )abc3d57已知函数f（x）=，数列an满足a1=1，an+1=f（），nn*数列an的通项公式；( )aan=n+ban=ncan=n+dan=n+8下列命题正确的是( )a若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行b若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行c若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行d若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行9设、都是非零向量，下列四个条件中，使=成立的充要条件是( )a=b且方向相同c=2d且|=|10若从1，2，3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )a60种b63种c65种d66种11设函数，则下列结论错误的是( )ad（x）的值域为0，1bd（x）是偶函数cd（x）不是周期函数dd（x）不是单调函数12已知四边形abcd是椭圆+y2=1的内接菱形，则四边形abcd的内切圆方程是( )ax2+y2=b（x1）2+y2=cx2+y2=dx2+y2=二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13已知递减的等差数列an满足a1=1，则an=_14函数f（x）=的定义域为_15（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=_16已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，则这个几何体的体积是_三、解答题：本大题共5小题（其中22、23、24题任选一题），满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17在abc中，角a，b，c所对的边分别是a，b，c，且a，b，c成等差数列，（1）若a=1，b=，求sinc；（2）若a，b，c成等差数列，试判断abc的形状18某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：试根据图表中的信息解答下列问题：（i）求全班的学生人数及分数在70，80）之间的频数；（ii）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于70，80），80，90）和90，100分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中，成绩位于70，80）分数段的人数x的分布列和数学期望19已知平行四边形abcd中，ab=6，ad=10，bd=8，e是线段ad的中点沿直线bd将bcd翻折成bcd，使得平面bcd平面abd（）求证：cd平面abd；（）求直线bd与平面bec所成角的正弦值20如图，抛物线e：y2=4x的焦点为f，准线l与x轴的交点为a点c在抛物线e上，以c为圆心，|co|为半径作圆，设圆c与准线l交于不同的两点m，n（）若点c的纵坐标为2，求|mn|；（）若|af|2=|am|an|，求圆c的半径21设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f（x），f（x）在（a，b）上的导函数为f（x），若在（a，b）上，f（x）0恒成立，则称函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”已知（）若f（x）为区间（1，3）上的“凸函数”，试确定实数m的值；（）若当实数m满足|m|2时，函数f（x）在（a，b）上总为“凸函数”，求ba的最大值【选修4-1几何证明选讲】22如图，ab是o的直径，ac是o的切线，bc交o于点e（）若d为ac的中点，证明：de是o的切线；（）若oa=ce，求acb的大小【选修4-4极坐标与参数方程】23已知曲线c：，直线l：（t为参数）（1）写出曲线c的参数方程，直线l的普通方程；（2）过曲线c上任意一点p作与l夹角为30的直线，交l于点a，求|pa|的最大值与最小值【选修4-5不等式选讲】24已知函数f（x）=|x+a|+|x2|（1）当a=3时，求不等式f（x）3的解集；（2）若f（x）|x4|的解集包含1，2，求a的取值范围2015-2016学年广东省深圳市宝安区高三（上）9月调研数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是( )af（x）=x+1bf（x）=x|x|cf（x）=|x|df（x）=x【考点】抽象函数及其应用 【专题】函数的性质及应用【分析】代入选项直接判断正误即可【解答】解：对于a，f（x）=x+1，f（2x）=2x+12f（x）=2x+2，a不正确；对于b，f（x）=x|x|，f（2x）=2x|2x|=2f（x）=2x+2|x|，b正确；对于c，f（x）=|x|，f（2x）=2|x|=2f（x）=2|x|，c正确；对于d，f（x）=x，f（2x）=2x=2f（x）=2x，d正确；故选：a【点评】本题考查抽象函数的应用，函数的值的求法，基本知识的考查2复数z=的共轭复数是( )a2+ib2ic1+id1i【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 【专题】计算题【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求法共轭复数即可【解答】解：复数z=1+i所以复数的共轭复数为：1i故选d【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力3集合m=x|lgx0，n=x|x24，则mn=( )a（1，2）b1，2）c（1，2d1，2【考点】对数函数的单调性与特殊点；交集及其运算 【专题】计算题【分析】先求出集合m、n，再利用两个集合的交集的定义求出 mn【解答】解：m=x|lgx0=x|x1，n=x|x24=x|2x2，mn=x|1x2，故选c【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题4如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是( )a3b4c5d8【考点】循环结构 【专题】计算题【分析】列出循环中x，y的对应关系，不满足判断框结束循环，推出结果【解答】解：由题意循环中x，y的对应关系如图：x1248y1234当x=8时不满足循环条件，退出循环，输出y=4故选b【点评】本题考查循环结构框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力5已知点a（0，1），b（3，2），向量=（4，3），则向量=( )a（7，4）b（7，4）c（1，4）d（1，4）【考点】平面向量的坐标运算 【专题】平面向量及应用【分析】顺序求出有向线段，然后由=求之【解答】解：由已知点a（0，1），b（3，2），得到=（3，1），向量=（4，3），则向量=（7，4）；故答案为：a【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒6已知双曲线=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )abc3d5【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质 【专题】计算题【分析】确定抛物线y2=12x的焦点坐标，从而可得双曲线的一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离【解答】解：抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合4+b2=9b2=5双曲线的一条渐近线方程为，即双曲线的焦点到其渐近线的距离等于故选a【点评】本题考查抛物线的性质，考查时却显得性质，确定双曲线的渐近线方程是关键7已知函数f（x）=，数列an满足a1=1，an+1=f（），nn*数列an的通项公式；( )aan=n+ban=ncan=n+dan=n+【考点】数列与函数的综合 【专题】函数的性质及应用；等差数列与等比数列【分析】由函数f（x）的解析式，化简整理可得an+1=an+，由等差数列的通项公式，计算即可得到所求【解答】解：由函数f（x）=，可得an+1=，即为an+1=an+，则数列an为首项为1，公差为的等差数列，即有an=a1+（n1）d=1+（n1）=故选a【点评】本题考查等差数列的定义、通项公式的运用，考查运算求解能力，属于基础题8下列命题正确的是( )a若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行b若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行c若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行d若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用 【专题】简易逻辑【分析】利用直线与平面所成的角的定义，可排除a；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除b；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断c正确；利用面面垂直的性质可排除d【解答】解：a、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故a错误；b、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故b错误；c、设平面=a，l，l，由线面平行的性质定理，在平面内存在直线bl，在平面内存在直线cl，所以由平行公理知bc，从而由线面平行的判定定理可证明b，进而由线面平行的性质定理证明得ba，从而la，故c正确；d，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除d故选c【点评】本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属基础题9设、都是非零向量，下列四个条件中，使=成立的充要条件是( )a=b且方向相同c=2d且|=|【考点】充要条件 【专题】简易逻辑【分析】非零向量、使=成立，利用向量共线定理即可判断出【解答】解：若非零向量、使=成立与共线且方向相同，故选：b【点评】本题考查了向量共线定理、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10若从1，2，3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )a60种b63种c65种d66种【考点】计数原理的应用 【专题】排列组合【分析】本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，当取得4个奇数时，当取得2奇2偶时，分别用组合数表示出各种情况的结果，再根据分类加法原理得到不同的取法【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，有=1种结果，当取得4个奇数时，有=5种结果，当取得2奇2偶时有=610=60共有1+5+60=66种结果，故选d【点评】本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是根据题意把符合条件的取法分成三种情况，利用组合数表示出结果，本题是一个基础题11设函数，则下列结论错误的是( )ad（x）的值域为0，1bd（x）是偶函数cd（x）不是周期函数dd（x）不是单调函数【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法 【专题】证明题【分析】由函数值域的定义易知a结论正确；由函数单调性定义，易知d结论正确；由偶函数定义可证明b结论正确；由函数周期性定义可判断c结论错误，故选d【解答】解：a显然正确；=d（x），d（x）是偶函数，b正确；d（x+1）=d（x），t=1为其一个周期，故c错误；d（）=0，d（2）=1，d（）=0，显然函数d（x）不是单调函数，故d正确；故选：c【点评】本题主要考查了函数的定义，偶函数的定义和判断方法，函数周期性的定义和判断方法，函数单调性的意义，属基础题12已知四边形abcd是椭圆+y2=1的内接菱形，则四边形abcd的内切圆方程是( )ax2+y2=b（x1）2+y2=cx2+y2=dx2+y2=【考点】椭圆的简单性质 【专题】计算题；数形结合；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意画出图形，求出原点到菱形边的距离得答案【解答】解：如图，由+y2=1，得c（2，0），d（0，1），cd所在直线方程为，即x+2y2=0，原点o到直线x+2y2=0的距离为d=，即四边形abcd的内切圆的半径为四边形abcd的内切圆方程是故选：c【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是基础题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13已知递减的等差数列an满足a1=1，则an=2n+3【考点】等差数列的通项公式 【专题】等差数列与等比数列【分析】设数列an的公差为d，利用等差数列的通项公式代入，列出有关d和a1的方程，根据递减数列的特点解得d的值，再代入通项公式【解答】解：设等差数列an的公差为d，由得，即1+2d=（1+d）24，解得d2=4，d=2，等差数列an是递减数列，d=2，an=1+2（n1）=2n+3，故答案为：2n+3【点评】本题主要考查等差数列的通项公式和递减数列的特点的应用，属于基础题14函数f（x）=的定义域为（0，【考点】函数的定义域及其求法 【专题】函数的性质及应用【分析】根据使函数解析式有意义的原则，可构造关于x的不等式，根据对数函数的单调性和定义域，可求出x的范围，即函数的定义域【解答】解：要使函数f（x）=的解析式有意义自变量x须满足12log6x0，即解得0故函数f（x）=的定义域为（0，故答案为：（0，【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，其中根据使函数解析式有意义的原则，构造关于x的不等式，是解答的关键15（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=2【考点】二项式定理的应用 【专题】计算题【分析】根据（a+x）4的展开式的通项公式为 tr+1= a4r xr，令r=3可得（a+x）4的展开式中x3的系数等于 a=8，由此解得a的值【解答】解：（a+x）4的展开式的通项公式为 tr+1= a4r xr，令r=3可得（a+x）4的展开式中x3的系数等于 a=8，解得a=2，故答案为 2【点评】本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题16已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，则这个几何体的体积是24【考点】由三视图求面积、体积 【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】由三视图想象出空间几何体，代入数据求体积即可【解答】解：由三视图可知，这个几何体是由一个三棱柱截去了一个三棱锥，其中三棱柱的体积v1=345=30，三棱锥的体积v2=343=6故这个几何体的体积v=306=24故答案为24【点评】本题考查了学生的空间想象力，属于基础题三、解答题：本大题共5小题（其中22、23、24题任选一题），满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17在abc中，角a，b，c所对的边分别是a，b，c，且a，b，c成等差数列，（1）若a=1，b=，求sinc；（2）若a，b，c成等差数列，试判断abc的形状【考点】等差数列的性质 【专题】等差数列与等比数列；解三角形【分析】（1）由三角形内角和定理结合a，b，c成等差数列求得b，再由正弦定理求出a，则c可求，答案可求；（2）由a，b，c成等差数列，可得a，b，c的关系式，再结合余弦定理可得a=c，则可判断abc的形状【解答】解：（1）由a+b+c=，2b=a+c，得b=由，得，得sina=，又0ab，a=，则c=sinc=1；（2）证明：由2b=a+c，得4b2=a2+2ac+c2，又b2=a2+c2ac，得4a2+4c24ac=a2+2ac+c2，得3（ac）2=0，a=c，a=c，又a+c=，a=c=b=，abc是等边三角形【点评】本题考查解三角形，关键是对a，b，c成等差数列的应用，是中档题18某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：试根据图表中的信息解答下列问题：（i）求全班的学生人数及分数在70，80）之间的频数；（ii）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于70，80），80，90）和90，100分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中，成绩位于70，80）分数段的人数x的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；茎叶图 【专题】概率与统计【分析】（i）由茎叶图可知，分数在50，60）上的频数为4人，频率，参赛人数，从而可得结论；（ii）确定被抽中的成绩位于70，80）分数段的学生人数x所有取值，求出相应概率，即可求分布列与期望【解答】解：（i）由茎叶图可知，分数在50，60）上的频数为4人，频率为0.00810=0.08，参赛人数为=50人，分数在70，80）上的频数等于50（4+14+8+4）=20人（ii）按分层抽样的原理，三个分数段抽样数之比等于相应频率之比又70，80），80，90）和90，100分数段频率之比等于5：2：1，由此可抽出样本中分数在70，80）的有5人，分数在80，90）的有2人，分数在90，100的有1人从中任取3人，共有种不同的结果被抽中的成绩位于70，80）分数段的学生人数x所有取值为0，1，2，3它们的概率分别是：p（x=0）=，p（x=1）=，p（x=2）=，p（x=3）=x的分布列为 x 0 1 2 3 pex=0+1+2+3=【点评】本题考查概率知识的应用，考查概率的计算，考查分布列与期望，正确计算概率是关键19已知平行四边形abcd中，ab=6，ad=10，bd=8，e是线段ad的中点沿直线bd将bcd翻折成bcd，使得平面bcd平面abd（）求证：cd平面abd；（）求直线bd与平面bec所成角的正弦值【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角 【专题】证明题；空间位置关系与距离【分析】（）根据题意可得翻折成bcd以后线段的长度不发生变化，所以可得cd=6，bc=bc=10，bd=8，即bc2=cd2+bd2，故cdbd，再结合面面垂直的性质定理可得线面垂直（ii）根据题意建立空间直角坐标系，求出直线所在的向量与平面的法向量，再利用向量的有关知识求出两个向量的夹角，进而可求直线bd与平面bec所成角的正弦值【解答】（）证明：平行四边形abcd中，ab=6，ad=10，bd=8，沿直线bd将bcd翻折成bcd，可知cd=6，bc=bc=10，bd=8，即bc2=cd2+bd2，故cdbd 平面bcd平面abd，平面bcd平面abd=bd，cd平面bcd，cd平面abd （）解：由（）知cd平面abd，且cdbd，如图，以d为原点，建立空间直角坐标系dxyz，则d（0，0，0），a（8，6，0），b（8，0，0），c（0，0，6）e是线段ad的中点，e（4，3，0），=（8，0，0），在平面bec中，=（4，3，0），=（8，0，6），设平面bec法向量为=（x，y，z），令x=3，得y=4，z=4，故=（3，4，4）设直线bd与平面bec所成角为，则sin=|cos，|=直线bd与平面bec所成角的正弦值为【点评】本题重点考查线面垂直、线面角以及翻折问题，考查向量知识的运用，学生必须要掌握在翻折的过程中，哪些是不变的，哪些是改变，这也是解决此类问题的关键20如图，抛物线e：y2=4x的焦点为f，准线l与x轴的交点为a点c在抛物线e上，以c为圆心，|co|为半径作圆，设圆c与准线l交于不同的两点m，n（）若点c的纵坐标为2，求|mn|；（）若|af|2=|am|an|，求圆c的半径【考点】抛物线的标准方程；圆的标准方程；直线与圆的位置关系 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（i）由抛物线的方程表示出焦点f的坐标及准线方程，求出c到准线的距离，再利用圆中弦长公式即可求出|mn|的长；（ii）设c（，y0），表示出圆c的方程方程，与抛物线解析式联立组成方程组，设m（1，y1），n（1，y2），利用韦达定理表示出y1y2，利用|af|2=|am|an|，得|y1y2|=4，解得c的纵坐标，从而得到圆心c坐标，由两点间的距离公式求出|oc|的长，即为圆的半径【解答】解：（i）抛物线e：y2=4x的准线l：x=1，由点c的纵坐标为2，得c（1，2），故c到准线的距离d=2，又|oc|=，|mn|=2=2（ii）设c（，y0），则圆c的方程为（x）2+（yy0）2=，即x2+y22y0y=0，由x=1得y22y0y+1+=0，设m（1，y1），n（1，y2），则，由|af|2=|am|an|，得|y1y2|=4，1+=4，解得y0=，此时0圆心c的坐标为（，），|oc|2=，从而|oc|=即圆c的半径为【点评】此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：抛物线的简单性质，韦达定理其中根据题意确定出圆心与半径是解本题的关键21设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f（x），f（x）在（a，b）上的导函数为f（x），若在（a，b）上，f（x）0恒成立，则称函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”已知（）若f（x）为区间（1，3）上的“凸函数”，试确定实数m的值；（）若当实数m满足|m|2时，函数f（x）在（a，b）上总为“凸函数”，求ba的最大值【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用 【专题】综合题；新定义【分析】（）函数在区间（1，3）上为“凸函数”，所以f（x）0，即对函数y=f（x）二次求导，转化为不等式问题解决即可；（）利用函数总为“凸函数”，即f（x）0恒成立，转化为不等式恒成立问题，讨论解不等式即可【解答】解：由函数得，f（x）=x2mx3（）若f（x）为区间（1，3）上的“凸函数”，则有f（x）=x2mx30在区间（1，3）上恒成立，由二次函数的图象，当且仅当，即m=2（）当|m|2时，f（x）=x2mx30恒成立当|m|2时，mxx23恒成立当x=0时，f（x）=30显然成立当x0，m的最小值是2从而解得0x1当x0，m的最大值是2，从而解得1x0（13分）综上可得1x1，从而（ba）max=1（1）=2（14分）【点评】本题考查函数的导数与不等式恒成立问题的解法，关键是要理解题目所给信息（新定义），考查知识迁移与转化能力，属于中档题【选修4-1几何证明选讲】22如图，ab是o的直径，ac是o的切线，bc交o于点e（）若d为ac的中点，证明：de是o的切线；（）若oa=ce，求acb的大小【考点】圆的切线的判定定理的证明 【专题】直线与圆【分析】（）连接ae和oe，由三角形和圆的知识易得oed=90，可得de是o的切线；（）设ce=1，ae=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度【解答】解：（）连接ae，由已知得aebc，acab，在rtabc中，由已知可得de=dc，dec=dce，连接oe，则obe=oeb，又acb+abc=90，dec+oeb=90，oed=90，de是o的切线；（）设ce=1，ae=x，由已知得ab