材加测试技术讲义2008.docx

材料加工测试技术讲义目 录第1章 确定性信号分析基础311 信号的分类312 模拟信号的描述4一、 周期信号与离散频谱4（一）. 傅立叶级数的三角函数展开式4（二）. 傅立叶级数的复指数展开式7二、 非周期信号与连续频谱11（一）. 傅里叶变换11（二）. 傅立叶变换的主要性质15三、 脉冲函数及其频谱22（一）. 脉冲函数22（二）. 脉冲函数的采样性质（脉冲函数与任意函数的积）23（三）. 脉冲函数的卷积性质24（四）. 脉冲函数的频谱24（五）. 正弦函数和余弦函数的频谱2513 离散信号的描述25一、 周期单位脉冲序列26（一）. 周期单位脉冲序列及其频谱26（二）. 周期单位脉冲序列与函数的乘积27（三）. 周期单位脉冲序列与函数的卷积29（四）. 周期信号的频谱密度函数30二、 离散傅立叶变换31（一）. 离散傅立叶变换（DFT）31（二）. 离散傅立叶变换的几个性质32三、 信号数字化中的几个问题34（一）. 量化误差34（二）. 混频34（三）. 泄漏34（四）. 栅栏效应36（五）. 周期信号的整周期截取36四、 离散傅里叶变换的使用37第2章 随机信号的描述与实验误差分析3921 随机信号的描述39一、 概述39二、 随机信号的描述40（一）. 概率密度函数40（二）. 平均值、方差、均方值42（三）. 相关系数与相关函数43（四）. 功率谱密度函数5122 实验误差分析55一、 误差的基本概念55（一）. 真值和平均值55（二）. 误差及其分类55（三）. 准确度、精密度、精确度56（四）. 误差的表示方法57二、 系统误差57三、 随机误差60四、 间接测量误差的传递61五、 算术平均值的标准误差62六、 过失误差和可疑数据的舍弃6223 测量数据的处理方法63一、 表格法63二、 图示法63三、 经验公式法64（一）. 一元线性回归64（二）. 二元非线性回归65第3章 虚拟仪器的使用6731 虚拟仪器的概念67一、 What is LabVIEW?67二、 The Computer IS the Instrument6770第1章 确定性信号分析基础信号：反映研究对象状态或运动特征的各种物理量（如位移、速度、温度，应力等）。信号分析：从信号中提取有用信息的方法和手段称为信号分析。11 信号的分类信号分两大类：确定性信号和非确定性信号。确定性信号：在给定条件下，信号的取值是确定的。能用明确的数学关系式表达。确定性信号的描述：数学关系式，图形。图1-1 质量弹簧系统例如：质量弹簧振动系统（图1-1a）作无阻尼振动时，作为时间函数的位移信号 可用数学关系式表达为： （1.1）式中 A 振动幅值；k 弹簧刚度； m 质量； 初始相角。也可以用t曲线表达（图11b）。非确定性信号：在给定条件下，信号的取值是不确定的。不能用明确的数学关系式表达，即无法预见对应于某一瞬时信号幅值的数值。非确定性信号的描述：只能用概率统计的规律加以描述。本章研究确定性信号。信号分类表信号确定性信号周期信号正弦、余弦信号复杂周期信号非周期信号准周期信号瞬变非周期信号非确定性信号（随机信号）平稳随机信号各态历经平稳随机信号非各态历经平稳随机信号非平稳随机信号信号按其取值情况又分为：模拟（连续的含义）信号和离散信号。模拟信号：是指在某一自变量连续区间内，信号的幅值可以取连续范围内的任意数值，如图1-2a所示。图1-2 模拟信号与离散信号(a)(b)离散信号 是指自变量只在某些不连续数值时才有幅值的信号，如图1-2b所示。作为离散信号的特例，各离散点的信号幅值也作离散化，并用二进制数码表示，则称之为数字信号。12 模拟信号的描述时域描述 描述信号随时间变化的性质。频（频率）域描述 即将信号分解为某些基本信号之和，最常用的基本信号是余弦或正弦信号（本书采用余弦信号），每一个余弦信号的频率是确定的，作为一个“频率成分”。这样，一个复杂信号可以分解成多个频率不同的余弦信号之和，每个余弦信号称作信号的一个频率成分。以信号的频率结构来描述信号的方法就称为信号的频域描述。从时域描述转化为频域描述所用的数学方法是傅立叶分析法。一、 周期信号与离散频谱描述周期信号频率结构的基本数学工具是傅里叶级数。（一）. 傅立叶级数的三角函数展开式周期信号的定义：一个确定性信号如能满足下列关系式则为周期信号 （1.2）T是周期信号的周期。简谐信号，即余弦(或正弦)信号，是最简单的周期信号。一个周期函数如能满足狄里赫里（Dirichlet）条件则可展开成傅立叶级数。傅立叶级数的三角函数展开式： （1.3）式中 ，和称为傅立叶系数，按下式计算 （1.4） （1.5） （1.6） 该周期信号的周期； 该周期信号的基频。一般的工程技术中的所遇到的周期信号都能展开成傅里叶级数。傅立叶级数三角函数展开式的另一种表达形式 （，） (1.7）式中为各频率成分的幅值和相位 （1.8） （1.9）意义 称作均值，直流分量； 称作次谐波，根据n的取值顺次称之为一次、二次、三次、谐波，其中一次谐波也称基波；各个谐波的圆频率等于周期信号基频的整数倍。一个周期信号可以看作均值和一系列谐波之和。这种把一个周期信号分解为一个直流分量和一系列谐波分量之和的方法称为谐波分析法或傅立叶分析法。频谱图 幅值频谱图（ 图）和相位频谱图（ 图），见图1-3。周期信号频谱图的特点：离散性：谱线不连续，这种频谱称为离散频谱；谐波性：在频率轴上，谱线只出现在w0的整数倍位置上，谱线间隔为v0；A1A3A5A7A9An03v0v05v07v09v0v(a)0v-p/2wn(b)图1-5 周期性非对称方波的频谱A-Ax(t)tT0图1-4 周期性非对称方波图1-3 频谱图(a) 幅值频谱图(b) 相位频谱图AnA0A1A2A3wnw1w2w301v02v03v0v01v02v03v0v收敛性：工程中的常见周期信号，其谐波幅值总的趋势是随谐波次数n的增高而减小。例 求周期性非对称周期方波（图1-4）的傅立叶级数及其频谱，A为方波幅值，T为周期。解 在一个周期中可表达为该函数是奇函数，根据高等数学知识，（如果是偶函数，则）而 考虑到，上式简化为最后得 （）频谱图如图1-5所示。（二）. 傅立叶级数的复指数展开式欧拉公式 （1.10） 或写成 （1.11）式中：。直接给出复指数形式的傅里叶级数 （1.12）其中； （1.12）一般是复数，称作复数傅立叶系数。an，bn分别用（1.5），（1.6）计算，但注意包括负值。下面分析有关的一些性质。l an是n的偶函数；bn是n的奇函数。这是因为同理可证， 。l 共轭。这是因为（注意，都是实数）两种形式傅里叶级数关系的验证 取式1.12中的一对儿，即将中的分别带入和，求和得到的正是三角函数形式的次谐波表达式。当时，级数的中间项为（注意）得到的正是周期信号的均值。可以进一步用旋转矢量来说明傅里叶级数复指数形式与三角函数形式的关系，见图1-7，这里把，看成角速度分别为和的两个旋转矢量，它们的矢量合就是次谐波。图17 用旋转矢量来说明傅里叶级数复指数形式与三角函数形式的关系l 的积分形式：利用欧拉公式可得 （1.13）l 的模相角形式：其中 是三角函数形式的一半 （1.14） 与三角函数形式中的具有相同的表达式 （1.15）还有，因为，共轭，因此 （1.16）An（1） A0vwn0vb?cn?A/2A/2b-b00vv(a)(b)wn图1-6 单边频谱与双边频谱根据式（1.14）（1.15），复数傅里叶系数可以用来表示周期信号的频率结构，即幅值频谱图，相位频谱图。因为可以取负值，所以这一频谱称作双边频谱，见图1-6，而用三角函数形式傅里叶级数做出的频谱称为单边频谱。不难得出单边频谱与双边频谱之间的关系：当n0时，的幅值是An的一半，相角相等。并且|v 偶对称，奇对称。l 的实部虚部形式：根据式（1.12），。也可以用，作图来表示频谱，分别称之为实频谱和虚频谱。例 求非对称周期方波的复指数形式傅里叶级数。解 前例中已求得； 根据定义求（注意n包括负值）： 当然上述结果也可以不经过计算由单边频谱与双边频谱之间的关系直接得到。 双边频谱是频谱的一种表示形式，并不意味存在“负频率”的信号。二、 非周期信号与连续频谱非周期信号包括准周期信号和瞬变非周期信号。准周期信号 由没有共同周期的周期信号叠加而成的信号。准周期信号的频谱是离散的。判断 如果两叠加信号的周期（或频率）比是有理数，则叠加后的信号是周期信号，否则为准周期信号。X(t)0tX(t)0tX(t)0tX(t)0t(a)(b)(c)(d)1-7 非周期信号瞬变非周期信号 图1-7列出了几种常见的瞬变非周期信号，a为矩形脉冲信号；b为指数衰减信号；c为被截出一段的余弦信号；d为单一脉冲信号。（一）. 傅里叶变换描述瞬变非周期信号的思路 把一个非周期信号仍当作一个周期信号，只是认为这一周期信号的周期为无穷大，在无穷远处再重复。将周期信号傅里叶级数的复指数级数表达式(1.12)中的用式(1.13)的积分形式表示，得 （1.17）在分析周期信号时，v0=2p/T既表示基频，又是相邻谐波的频率间隔，nw0表示谐波频率。当T时，（1）频率；（2）频率间隔，；（3）求和变为积分，得等式右边方括弧内的部分是的函数，记为 （1.18）则可写成 （1.19）与之间建立了确定的对应关系，这种对应关系称之为傅立叶变换对，记为是的傅立叶正变换（简称傅立叶变换），称为函数的频谱密度函数。是傅立叶逆变换。式1.19可以这样理解：积分本质上是求和，一个非周期信号可以看成为无数个角频率w 连续变化的谐波微分的叠加。与式（1.12）比较，相当于，的相角，即的相角是谐波微分的相角，其模是谐波微分的模；的模表征了谐波微分的模的相对大小，因此可用于表示瞬变非周期信号的频率结构，称为频谱密度函数。频谱密度函数是复变函数，可写成模相角的形式 （1.20）式中 | 幅频谱函数相频谱函数频谱图：| ：在傅立叶变换对的表达式中，常数项常使运算不便，将频率代入式（1.18）和式（1.19），得到两式的较简洁的形式 （1.21） （1.22）同时 （1.23）X(t)Et0|X(v)|E/av00vp/2-p/2w(v)（a）（b）图1-8 单边指数脉冲及其频谱例 求单边指数脉冲（图1-8a）的频域表达。 单边指数脉冲的时域表达为 （1.24）解 频谱密度函数为 （1.25）式中的幅值和相位分别为x(t)1toT/2-T/2|x(f)|Tfoooffw(f)x(f)1/T 2/T 3/TTp(a)(d)(c)(b)图1-9 矩形脉冲及其频谱频谱如图1-8 b所示。例2 求矩形脉冲（矩形窗函数）的频谱。矩形脉冲（矩形窗函数）的时域表达为 (1.26)其时域图形表示见图1-9 a。解：频谱密度函数为 (1.27)式中 sinc x=(sin x)/ x是一特定的函数 。另外，将代入上式，得用代表频率的频谱密度函数表达式 (1.27)矩形脉冲的幅频谱函数为 (1.28)相频谱函数为 (1.29)画出的频谱图见图1-9b与c。这里规定：当时，；当时，。因为X ( f )是实函数，也可仅用一张正负幅频图表示，见图1-9 d。（二）. 傅立叶变换的主要性质傅立叶变换是信号分析的重要工具，了解和熟练运用傅立叶变换的性质有助于进一步认识信号的频域描述和时域描述之间的对应关系，简化复杂信号傅立叶变换的推导过程。表11中列出了傅立叶变换的性质，它们中的大部分可以从傅立叶变换的定义出发直接予以证明，前提为： 1. 线性叠加性质 (1. 30）其中a，b为常数。 2. 对称性质 (1. 31)证明：由傅里叶反变换表达式将，互换，得用f代换f，就有对照傅立叶变换定义，上式右边是X(t)的傅里叶变换，可知X(t)的傅立叶变换为。对称性说明，若某时域信号与另一信号的频谱有相同波形，则X ( t )的频谱为，与的镜象有相同的波形。3. 时移性质 (1. 32)证明：由傅里叶反变换表达式用代换t，得对照傅立叶反变换表达式，可知被积函数中方括弧内的部分就是的傅立叶变换。时移特性表明：时域信号沿时间轴移动t0（若t00，正号代表向时间轴负方向移动，反之亦然），则频谱密度函数在频域中乘以因子，即相位增减，而幅值不变。4. 频移性质 (1. 33)证明：由傅里叶变换的定义用代换f，得对照傅立叶变换定义得证。频移性质说明，当信号的频谱沿频率轴移动时，对应的时间函数要乘以一个复指数函数。5. 时间尺度改变特性 (1. 34)其中为常数。设，若，表示将沿时间轴压缩至原来的，若，表示将沿时间轴展开到原来的倍。证明：由傅里叶变换的定义时间尺度改变特性表明：信号在时域沿时间轴压缩，则其频谱在频域内加宽、幅值压缩同样倍数；反之，信号在时域扩展时，频域中将引起频谱变窄，但幅值增高。例如信号离线分析时的快放（）就是在回放信号时的沿时间轴压缩。6. 微分定理 (1. 35)证明：由傅里叶反变换表达式两边对t求导因此由傅立叶反变换定义得n次利用上面结果即可证得式(1. 35)。7. 积分定理 证明：设 因为 两边同时傅里叶变换，右边应用微分定理，得因此8. 卷积定理（1） 卷积的定义两个函数，的卷积用表示，定义为： (1. 36)卷积的结果仍是原自变量的函数。卷积分的几何意义：把上式写成上面的积分可以理解为四步，见图1-10第一步：换元，将换成，；第二步：翻转 （a）换元后 （b）翻转后 （c）平移后 图1-10 卷积的图示说明第三步：平移 第四步：与相乘，对积分。（2） 卷积定理 (1. 37） (1. 37）卷积定理可概括为：时域卷积对应频域乘积；时域乘积对应频域卷积。证明式(1. 37）：由傅立叶变换的定义交换积分顺序并利用时移定理，上式等于证明(1.37)：的傅立叶反变换为（用频移定理）另外根据卷积定理，不难看出：9. 奇偶虚实性 见表1-1，信号与其傅里叶变换的对应关系可简记为“偶对偶虚实不变，奇对奇虚实改变”。这里仅对当是实奇函数的情况予以证明（实奇虚奇）。利用欧拉公式，的傅立叶变换可写成因为奇函数与偶函数的积是奇函数，因此是的奇函数，所以在对称区间上的积分等于零；余者是一个虚函数，而且是f的虚奇函数。奇偶虚实性的其余部分可仿此得到证明。10. 共轭性 (1.38)即共轭函数的傅里叶变换是的共轭函数。（1）首先证明：对于任意实函数，与共轭。不难看出是的实偶函数；是的实奇函数，因此与共轭。（2）对于任意复函数，设，其中，是实函数，其傅里叶变换为用代换，并利用前面（1）的结果，得写出的共轭式（实部不变，虚部变号）注意到的共轭函数是的傅里叶变换，性质得证。11. 翻转性质 (1.39)证明 由傅里叶变换的定义 令，则12. 巴什瓦尔等式 (1.40)证明 由卷积定理性质由傅里叶反变换公式得由卷积分定义得交换积分顺序，利用频移定理根据性质10（1），对于实函数，与共轭，因此表11 傅立叶变换性质表性 质 名 称时 域频 域奇偶虚实性质x(t)为实偶函数X(f) 为实偶函数x(t)为实奇函数X(f) 为虚奇函数x(t)为虚偶函数X(f) 为虚偶函数x(t)为虚奇函数X(f) 为实奇函数线形迭加性质对称性质尺度改变性质时移性质频移性质微分性质积分性质 翻转性质共轭性质卷积定理巴什瓦尔等式三、 脉冲函数及其频谱（一）. 脉冲函数如图1-11（a）所示的宽度为，幅值为的矩形脉冲，当e0时，矩形脉冲沿时间轴向t=0点收缩，幅值趋于，而面积A为始终为1，据此定义单位脉冲函数d(t)为 （1.37）x(t)0t1/e-e/2e/2tt0AAo图1-11 脉冲函数(a)(b)一般情况下，脉冲函数可表达为Ad(t)，即面积A与单位脉冲函数相乘的形式，面积A称为脉冲函数的强度。Ad(t)是发生在t=0时刻的脉冲；发生在t=t0时刻的脉冲可写成Ad(t-t0)。图1-11b是脉冲函数Ad(t)和Ad(t-t0)的图形表示。（二）. 脉冲函数的采样性质（脉冲函数与任意函数的积）考察单位脉冲函数与函数的乘积，见图1-12 a，注意到 只在时有非零值，不难看出 (1.41)又因为在的非零值区域已缩成一点，在此区域内可看成常数，因此的面积为 (1.42)根据上面两式，可知任意函数与单位脉冲函数相乘，结果仍是发生在同一时刻的脉冲，强度为该任意函数在脉冲发生时刻的值。即 (1.43)从采样的意义讲，采样值信息保留在结果脉冲的强度中。（a）脉冲函数与任意函数的乘积 （b）脉冲函数与任意函数的卷积图1-12 脉冲函数与任意函数的乘积和卷积（三）. 脉冲函数的卷积性质任意时间函数与的卷积 (1.44)注意仅当时，亦即时有非零值，提出在的值即得。可见与卷积的结果就是将沿t轴平移。见图1-12 b。（四）. 脉冲函数的频谱l （提出指数函数值） （1.45）可见函数具有均匀幅值谱。l 利用傅立叶变换的时移性质，还可得到时移脉冲的频谱 (1.46)的幅频谱等于1，相频谱等于。l 由式（1.45），利用对称性质，并注意到是偶函数可得到是频域脉冲。对上式利用频移性质，可得复指数函数的频谱 (1.47)（五）. 正弦函数和余弦函数的频谱正弦函数和余弦函数不满足可积条件，但可利用脉冲函数获得其傅立叶变换。以余弦函数为例，用欧拉公式得由式(1.47)得 （1.48）用同样方法可得正弦函数的傅立叶变换 （1.49）相应的频谱见图1-13。图中频谱分别采用了实谱（ReX(f)f）、虚谱（ImX(f)f）形式。图1-13 余弦与正弦函数的频谱13 离散信号的描述随着数字技术和数字计算机技术的迅速进步，将测试信号数字化，进而用数字计算机对其进行分析和处理的方法，无论是精度、功能和速度等各种技术指标都将远远超过模拟方法，已逐渐成为信号处理的主流。测试技术中目前所采用的传感器大多仍以模拟信号输出为主，为了使用计算机对其进行处理，需要对模拟信号进行离散化。离散信号分析的基本工具是离散傅立叶变换（DFT），DFT的快速算法称为FFT。本节讨论连续信号离散化及离散傅立叶变换的有关内容。一、 周期单位脉冲序列（一）. 周期单位脉冲序列及其频谱主要内容：1 周期单位脉冲序列2 傅里叶级数，cn;3 傅里叶变换4 三者的图形关系周期单位脉冲序列，又称梳状函数，由一系列等间隔的单位脉冲组成，如图1-14a所示。图1-14 周期单位脉冲序列其频谱（a）周期单位脉冲序列 （b）由复数傅里叶系数做出的频谱 （c）由频谱密度函数做出的频谱g(t)Tst1o（a）1/Tsfo（b）G(f)1/Tsfo（c）时域周期单位脉冲序列的解析式为 (1.47）式中 Ts周期单位脉冲序列的周期。作为周期函数，周期单位脉冲序列可以展开成傅立叶级数。此级数的基频为，注意到区间（）内只含有一个脉冲，可求出的复数傅里叶系数 (1.48)可见周期单位脉冲序列的各次谐波幅值均为等于基频，相位为零，由写出的傅立叶级数表达式对应的频谱见图1-14 b。还可以从其傅立叶级数出发，借助单位脉冲函数求的傅里叶变换，即频谱密度函数。 （1. 49）上式中的积分项是求的傅里叶变换。因为代入式（1. 49）得 （1. 50）式中的 是频域周期单位脉冲序列，其频域周期等于。可见周期单位脉冲序列的频谱密度函数为频域上的周期脉冲序列，其脉冲强度和频域周期（脉冲间隔）均为，见图1-14c。（二）. 周期单位脉冲序列与函数的乘积主要内容：1 乘积结果，脉冲序列2 乘积的傅里叶变换，频域周期化3见图1-15，根据单位脉冲函数与任意函数相乘的结果是一个脉冲的结论，周期单位脉冲序列与相乘的结果也应该是一个脉冲序列，由该脉冲序列各个脉冲的强度构成的数字序列就是采样值。该乘积的解析式为由脉冲函数的采样性质，参见式(1.43)，得 (1.51)可见，周期单位脉冲序列与函数相乘的结果是一个脉冲序列，脉冲强度是的采样值。这个乘积的傅立叶变换可由卷积定理得到，设的傅里叶变换为 (1.52)图1-15 周期单位脉冲序列与函数的乘积=由单位脉冲函数的卷积性质可知，表示在频域上将与的每一个单位脉冲进行卷积后再求和，也就是表示将以为周期进行周期化，见图1-15。由此可见，时域上对以为采样周期进行采样，对应频域上将以频域周期为周期进行周期化，再乘以。上式也可写成 (1.5 3)因此上述一段话也可以反过来说：频域周期化对应时域采样，再乘以时域周期。 但应该注意，如果采样频率小于信号最高频率的二倍，则在频域周期化过程中，会产生频谱交叠，见图1-15，这样在周期化的频谱中就丢失了的高频段信息。（三）. 周期单位脉冲序列与函数的卷积主要内容：1 卷积，图形，周期化2 频域乘积采样，图形3见图1-16，瞬变非周期函数，设它的频谱密度函数为，将与一个周期为的周期单位脉冲系列做卷积，即，相当于将在时域以为周期进行周期化。xt*gt=n=-xt*t-nT0=n=-xt-nT0(1.54）利用卷积定理，可求出该卷积的傅里叶变换 (1.55）或式中。上两式说明，将在时域以为周期进行周期化（），对应频域上对以为频域周期进行采样再乘以频域周期。反过来说就是：频域上对以为采样周期进行采样，对应时域上以为周期进行周期化再乘以周期。（四）. 周期信号的频谱密度函数主要内容：1 周期函数看成周期化函数；2 组成函数频谱cn与周期函数频谱x(f)的关系：式（1.56）及其意义；3 周期信号的傅里叶变换。任何一个周期函数都可以看成定义在有限宽度的区间到内的函数图1-16 周期单位脉冲序列与函数的卷积=周期化的结果。设周期函数（用表示周期函数以区别于）的复数傅里叶系数为，现在分析的频谱密度函数与的复数傅里叶系数的关系。根据傅里叶变换的定义，可以写成将上式两边同除得此频域函数在各离散点的值为显而易见，上式等号右侧就是的周期化函数的复数傅里叶系数，因此得 (1.56)或 (1.56)上式建立了周期信号的复数傅里叶系数与构成该周期信号的x(t)的傅里叶变换X(f)之间的关系，即，对于定义在有限区间到内的函数和其周期化函数，在频率点的采样值与的积与的复数傅里叶系数相等。该结论的意义是，1、只要知道了,就可以得到的离散值。这一结论，使得我们可以用离散傅立叶变换（离散傅里叶变换可求出的数值解，随后学习）进行瞬变非周期信号的频率分析。2、知道了，按取离散值再乘以，就可以得到按周期化后的复数傅里叶系数。利用脉冲函数可以求出周期函数的频谱密度函数，即周期函数的频谱不但可以用复数傅里叶系数也可以用频谱密度函数描述。设周期函数的傅里叶级数为求其傅里叶变换即得到频谱密度函数从上式可知，周期函数的频谱密度函数为脉冲序列，各脉冲的强度为复数傅里叶系数。可以说，周期信号的频谱可以用两种方式描述，一是用复数傅里叶系数，二是用频谱密度函数（脉冲的强度等于的频域脉冲序列）。二、 离散傅立叶变换离散傅里叶变换是数字信号分析的基本工具之一，可以用于周期信号的频域数值分析；也可以用于有限截取瞬变非周期信号的频域数值分析。（一）. 离散傅立叶变换（DFT）离散傅立叶变换本质上是用数值法求周期函数的复数傅里叶系数的数值解。首先，对于一个周期为的周期函数或周期化函数，其复数傅里叶系数可以在任何一个周期内求出，即积分区间不仅限于-T2,T2，原因是也是周期为的周期函数。说明如下（设为任意整数）：因此求周期函数的复数傅里叶系数的数值解的步骤为（见图1-17）：x(t)tTso1N2N-1rx(r)图1-17 用于DFT的离散序列T0=NTs（1）把的积分区间分成N份，每份宽度为；离散点为（）；（2） 为简化计，的离散值用代替；（3） 用代替；基频；用求和代替积分，得的数值计算结果的表达式（这里的n对应频率nf0） (1. 60)（C读kai）上式就是复数傅里叶系数的数值解，称作离散傅立叶变换（DFT）。 离散傅里叶变换不但可以用于周期函数，也可以用于瞬变非周期函数频谱分析。先把所截取的瞬变非周期函数看成周期函数的一个周期，求出后，由式（1.56）即可算出的频谱密度函数的离散数值解。（二）. 离散傅立叶变换的几个性质1. 周期性 (1.61)对此式可作简单证明如下。因 ，所以周期性说明仅仅是的重复，也就是说求出的谐波的次数是有限的。2. 共轭性 当为实数序列则 与共轭（模相等，相角向反）；若是虚数序列则 对为实数序列证明如下(注意共轭复数的和为共轭复数)同理可证 若是虚数序列则 。3. 线性4. 对称性5. 时频移（h为整数）时移： 频移： 6. 卷积定理卷积定义 卷积定理 7. 奇偶性 如果是偶函数序列则也是偶函数，虚实不变。如果是奇函数序列则也是奇函数，虚实改变。三、 信号数字化中的几个问题信号数字化中的两个基本参数：截取时长和采样次数。是DFT的频率间隔；是采样周期，因此就是采样频率。有关DFT的几个问题。（一）. 量化误差有限的A/D转换字长所引起。减小量化误差的办法：提高A/D卡的字长。（二）. 混频现象：对数字化信号进行DFT，获得的频谱在高频段失真。原因：时域采样对应频域周期化，见图1-15。如果采样频率过低（采样周期过长）周期化后产生信号的频谱，由于频率间隔太小，在高频段产生频谱交叠。采样定理：（）；实际用：（是信号的最高频率）。实用中，采样定理可写成：，其中N是采样次数，P由确定，是采样时长。解决办法：（1） 提高采样频率（减小，增大）。（2） 抗混频滤波：如果高频成分是噪声，则采样前滤掉高频噪声。（三）. 泄漏现象：截取信号的频谱与未截取信号的频谱相比出现外延，在频谱的高频段出现原始信号所没有的频率成分。原因：时域有限截取。举例说明：对常值信号，用无限宽窗（窗高为1，窗宽为无穷）截取和矩形窗（窗高为1，窗宽为）截取对比说明。 原始信号频谱为；无限宽窗频谱为，有限宽窗频谱为。用无限宽窗截取， 与信号频谱相同；有限宽窗截取， ，频谱由原点的一个脉冲向两边“泄露”。原因 矩形窗频谱的旁瓣引起。减少泄漏的办法：（1）加大窗宽，但导致N增加；（2）用改进的窗函数，如汉宁窗，指数窗等，这些窗与矩形窗相比旁瓣相对小。常用窗函数有矩形窗，三角窗，Hanning 窗等。例如Hanning 窗矩形窗hanning窗图1-18 窗函数频谱比较窗的作用规律：旁瓣越小，泄漏越小；主瓣越窄，频率分辨率越高。比较Hanning窗与矩形窗，（1）主瓣与旁瓣幅值比：Hanning窗，矩形窗；（2）主瓣宽度：Hanning窗；矩形窗。结论：Hanning窗相对矩形窗泄漏小，但频率分辨率低。（四）. 栅栏效应现象：的频率点错开了周期信号谱线的频率点（或非周期信号重要频率位置）。结果是得到的频谱失真，往往很严重。办法：l 对周期信号，整周期截取。l 对瞬变非周期信号增大截取长度，使频率间隔下降，但导致N增加。如不增加则频谱的频率范围缩小。（五）. 周期信号的整周期截取如果信号是有限带宽的（是有限值），且满足采样定理，那么当截取长度等于周期函数的周期时，。证明：设周期信号 ，其中最高次谐波的次数，因为是整周期截取，则采样序列就可表示成这样，离散傅立叶变换的任意一项（）就可写成此求和中的任意一项即求和中只有一项不恒等于零，该项等于，因此。对于时情况的说明：令（为整数），用等比级数前N项和的公式，该项可写成 式中，因为满足采样定理就有，而，因此 ，不可能是整数，也就是。如果对周期信号进行个周期进行整周期采样，的频率对应 。如果与信号频率点对应则等于对应谐波值，不对应则=0。四、 离散傅里叶变换的使用l 首先确定截取长度。对于周期信号一般取信号的一个周期。对于非周期信号是记录的截取长度，在DFT中相当于将所截取一段按周期化。截取长度的倒数代表DFT的频率间隔，对于周期信号则是基频的计算值。l 接下来确定采样次数N。N要满足采样定理，即根据信号的最高可能频率算出最小采样次数。根据采样定理，要求。这里 l 计算结果中，是周期信号（或这里所说的周期化信号）的直流分量。l 注意DFT只能算出次谐波，这里表示取整。例如设，根据DFT的共轭性和周期性，有，如果已经得到到，当后不能算出新的谐波。l 对于瞬变非周期信号，如果不变，仅增大截取长度，则所获得的谱线间隔减小，谱线变密，但获得的最高谐波频率降低。对于周期信号这样做没有意义，只是增加了一些零谱线。l 如果不变，则谱线频率间隔不变，这时增大，可以获得的更高次谐波谱线。图1-19给出了离散傅里叶变换的时域、频域演变过程，用以加深对离散那傅里叶变换的理解。另外，实用中的快速傅里叶变换是离散傅里叶变换的快速算法，两者的计算结果是一致的。时域频域=图1-19 离散傅里叶变换的时域、频域演变过程第2章 随机信号的描述与实验误差分析21 随机信号的描述一、 概述随机信号广泛存在于工程技术的各个领域中。一般来说测试信号总是含有随机成分。确定性信号一般是在一定条件下出现的特殊情况，或者是忽略了次要的随机因素后抽象出来的模型。随机变量：在实验中可以取不同数值的量叫随机变量。如在同一条件下多次测量一个同一工件的某个尺寸，严格说各次测量结果都不一样，测量值就是一个随机变量。随机过程：随时间变化的随机变量称作随机过程。样本函数：对随机过程的一次无限长观测记录获得的函数，见图2-1。有限时间内的实际纪录称作样本纪录。图2-1 随机过程总体：全部样本函数的集合。表示为只有总体才能完全描述这个随机过程，一般来说，每个具体的样本函数只是随机过程的可能表现之一。如图21所示。需要说明的是：对一个固定的时间，也是一个随机变量。集合平均：集合中所有样本函数在同一时刻的平均。随机信号的平均是用集合平均定义的。对于两个不同时刻和，产生两个随机变量和，一般说来他们具有不同的平均值。随机过程的各种统计平均值如均值、方差、均方值和均方根值等是按集合平均来定义的。时间平均：按单个样本函数的时间历程进行的平均。平稳随机过程和非平稳随机过程 随机过程可分为平稳随机过程和非平稳随机过程两类。平稳随机过程是指其统计特征参数不随时间而变的随机过程，否则为非平稳随机过程。在平稳随机过程中，如果任一单个样本函数的时间平均统计特征参数与该过程的集合统计特征参数是一致的，则称这种平稳随机过程为各态历经随机过程，或者说随机过程具有遍历性。反之，为非各态历经随机过程。理论上我们需要无限多个样本才能描述一个随机过程，这样做不是不可能就是非常困难，往往也不必要。在实际工程中，所遇到的大部分随机信号具有遍历性，有些虽然不是严格的各态历经过程，但也可以近似地按各态历经过程来处理，这样可以用任意一个样本函数来研究整个随机过程，以其时间平均来代替集合平均。本课程只研究各态历经过程。二、 随机信号的描述如果一个信号是随机过程，就称之为随机信号。在不引起歧义的情况下，以后也用或代表随机过程。描述各态历经随机信号的统计特征参数包括幅值域、时间域和频率域三种。幅值域有：概率密度函数、平均值、方差、均方值等。时间域有：自相关函数、互相关函数等。频率域有：自功率频谱密度函数、互谱密度函数、相干函数等。（一）. 概率密度函数随机信号的概率密度函数是表示信号瞬时幅值落在指定区间内的概率。图22所示的随机信号，在区间（）内，幅值落在区间内的时间为： （2.1）当样本记录时间趋于无穷大时（变成一个样本函数），得到幅值落在区间内的概率图22 概率密度函数 （2.2）概率密度函数定义为下面的极限 （2.3）图23 常见的四种随机信号及其概率密度函数1、正弦信号（初始相角为随机量）2、正弦信号加随机噪声3、窄带随机信号4、宽带随机信号A-A概率密度函数给出了随机信号沿幅值域分布的统计规律。不同的随机信号有不同的概率密度函数图形，可以借此来辨别信号的性质。图23是常见的四种随机信号（这些信号的平均值为0）的概率密度函数图形。（二）. 平均值、方差、均方值平均值、方差和均方值分别定义为随机信号三个数需学期望，和。对于各态历经信号可分别用下述各式计算。平均值（均值）： （2.3）式中 观测时间。平均值是样本函数所有瞬时值的简单平均，它反映了信号的常值分量。方差： （2.4）它是样本函数偏离平均值的平方的均值。描述信号的动态分量，它反映了过程偏离平均值的波动情况。方差的正平方根称为标准差，是随机数据分析的重要参数。均方值： （2.5）它是的样本函数平方的平均值。用来描述随机信号的强度。均方值的正平方根称为均方根值。如果是电流，则就是单位电阻上消耗的平均功率。方差、均方值、平均值三者之间的关系可以由式（2.4）、（2.5）获得 （2.4）当时，。在实际工程测量中，只能以有限长度的样本记录代替无限长的样本函数，这样所计算的平均值、方差、均方值是它们的估计值，可用符号上加注“”以示区别，即 （2.5） （2.6）。 （2.7）用数字计算机处理随机信号，数据的形式是样本记录序列，用下面的式子进行数值计算（三）. 相关系数与相关函数相关是指两变量之间的线性关系。图24（a）所示的两个随机变量落在一条直线上，这两个随机变量之间就是完全线性相关；图24（b）所示的两个随机变量某种程度的线性相关。图24（c）的两个变量之间完全不相关。图24 两个随机变量x，y之间的关系 (a) 完全线性相关 (b) 部分相关 (c) 完全不相关两个随机变量之间的相关程度用归一化的相关系数来表示 （2.8）式中 数学期望； 随机变量的标准差。相关系数的取值是在-1和1之间，即。当时，两个随机变量之间完全线性相关，当时，直线的斜率为负值。当时，表明两个变量之间完全不相关。1. 自相关