2013年强化班讲义答案(方程) 3.pdf

第八章常微分方程 练习 1 1 解 变形可得 1 2 dy xxy dx 可分离变量方程 分离变量 12 dyx dx xy 积分可 得通解为2 arctan yxxC 评注 2 2 11 tx xt dxtdt xt 2 1 2 1 2 arctan 1 dtttC t 2 解 变形可得 2 dyyy dxxx 令 y u x 得 2 du uxuu dx 整理 2 dudx ux 积分可得 1 lncx u 再待回 y u x 得通解为 ln x y cx 评注 积分时 结果也可以为 1 ln xc u 从而此题答案也可以为 ln x y xc 3 解 变形方程为 11 2 dy y dxxx 令yu 即 11 2 du u dxxx 为一阶线性微分方程 由公式法可得解为 1 uxC x 故通解为 1 yxC x 评注 此题为贝努利方程 1 2 12 dy yy dxxx 4 解 全微分方程求解 数学一 判定 2 cosPyyx 2sinQxyx 2cos QP yx xy 2 x yR 即原方程是 全微分方程 法 1 凑微分法 22 cos 2sin 2 cossin yyx dxxyx dyy dxxydyyxdxxdy 2 sin d xyyx 通解为 2 sinxyyxC 法 2 求积公式 2 0 0 cos 2sin x y u x yyyx dxxyx dy 2 00 0 2sin sin xy dxxyx dyxyyx 原方程通解为 2 sinxyyxC 法 3 偏积分法 2 cos 2sin duyyx dxxyx dy 2 cos u yyx x 2sin u xyx y 从而 22 cos sin uyyx dxxyyxC y 由 可得 2sin u xyxC y y 比较 可得 0C y 故 C yC 于是 原函数 2 sinuxyyxC 练习 2 1 解 特征方程为 2 210rr 特征值为 12 1rr 通解为 12 x yeCC x 2 解 特征方程为 32 10rrr 特征值为 12 3 1 rri 通解为 123 cossin x yC eCxCx 练习 3 1 解 特征方程为 2 210rr 特征值为 12 1rr 由 x fxe 属于 x m P x e 类型的右端项 1 1m 1 为二重特征值 用待定系数求特解时应设 2 x yxaxb e 2 x yxaxb e 22 2 x yx axbaxxaxb e 22 2 44 2 x yaxbaxx axbaxxaxb e 代入原方程 整理可得 62 xx axb exe 即62axbx 比较同次幂系数可得 61 20ab 即 1 0 6 ab 于是所求特解为 3 1 6 x yx e 2 解 2 10r 1r 1 fx 1 0m 不是特征值 应设 1 yaxb 2 sinfx 0 0 1mn ii 不是特征值 应设 2 cossinycxdx 于是 sincosyaxbcxdx 练习 4 1 解 12 cossin x ye CxCx 特征值1ri 特征方程 2 1 1r 即 2 220rr 微分方程 220yyy 练习 5 1 解 222 2 ydyxdxxydx 22222 d xyxydx 22 222 d xy dx xy 1 22 1 xC xy 2 解 变形可得 22 2tan yy yy xx 作未知函数的换元 2 y u x 则 2 yxu 2yyuxu 原方程化为tan du uxuu dx tan du xu dx 可分离变量方程 分离变量 cos sin ududx ux 积分 lnsinlnlnuxC 即sinuCx 故原方程通解为 2 sin y Cx x 练习 6 1 解 二阶欧拉方程 换元 t xe 则lntx 1dt dxx 1dydy dtdy dxdt dxx dt 2 2 1 d yddyddy dxdx dxdx x dt 2 11 dyddy xdtx dx dt 22 2222 111 dyd y dtd ydy xdtx dtdxxdtdt dydy x dxdt 22 2 22 d yd ydy x dxdtdt 原方程 可化为 2 2 1 d ydydy y dtdtdt 即 2 2 1 d y y dt 二阶线性常系数非奇次微分方程 由特征值法 观察法易得 的通解为 12 sincos1yCtCt 故原方程通解为 12 sinlncosln1yCxCx 练习 7 1 解 不显含y 设yp 则 dp y dx 原方程可化为 2 2 1 dp xpp dx 可分离变量方程 分离变量 2 22 1 dpdx ppx 即 2 22 11 1 dx dp ppx 积分可得 1 2 1 ln 1 lnC x p 即 1 2 1 1C x p 故 1 1 1 p C x 1 1 1 dy dxC x 积分可得 12 1 2 1yC xC C 练习 8 1 解 由平面曲线积分与路径无关的判定条件可得 242 2 f xxxyf x xy 即 232 2 42 xfxxxf x 约去2x可得 222 2 fxxf x 作自变量换元 2 ux 即为 2f uf uu 其通解为 2 1 u f uCeu 故 2 1 x f xCex 2 解 由复合函数求导法则可得 22 ux fr xxy 222 2 222222 2 uxxyxx frfr xxyxy 22 2 22222 x