同济大学的高等数学讲义 (14).pdf

第二单元定积分的计算第二单元定积分的计算 本单元内容要点本单元内容要点 建立定积分的换元积分法和分部积分法建立定积分的换元积分法和分部积分法 本单元教学要求本单元教学要求 掌握定积分的换元积分法和分部积分法掌握定积分的换元积分法和分部积分法 及由此得到 的几个重要的积分公式 及由此得到 的几个重要的积分公式 本单元教学重点和难点本单元教学重点和难点 重点重点 建立定积分中的相应积分公式建立定积分中的相应积分公式 简化积分方法简化积分方法 难点难点 定积分换元积分法中的积分限变换定积分换元积分法中的积分限变换 及几个重要 的积分公式的应用 及几个重要 的积分公式的应用 教学时数教学时数 4课时课时 一 换元积分法一 换元积分法 定理设函数如果函数满足 且当 从变到时 对应的 从单调增加地变到 定理设函数如果函数满足 且当 从变到时 对应的 从单调增加地变到 fC a b xt ab t x ab CC 则则 b a f x dxftt dt 公式 称为定积分的换元公式 公式 称为定积分的换元公式 证由条件 式中等式两边的定积分存在 且原函数 也存在 设是的一个原函数 则 证由条件 式中等式两边的定积分存在 且原函数 也存在 设是的一个原函数 则 F x f x b a f x dxF bF a 另外 对与的复合函数求导 由复合函数求导法则 得 另外 对与的复合函数求导 由复合函数求导法则 得 F x xt Ft dFt dFdx f xtftt dtdxdt 即是的一个原函数 所以即是的一个原函数 所以 Ft ftt ftt dtFt FFF bF a 故原式成立 当时 公式仍然成立 故原式成立 当时 公式仍然成立 ab 解令则解令则sin xat cos dxatdt 0 0 xt 2 xa t 则则 22 2 00 coscos a ax dxatatdt 222 2 2 0 0 sin2 1cos2 2224 aata t dtt 在该例中可以看到 在定积分的换元积分法中 用变 量代换大大简化了积分的计算 在该例中可以看到 在定积分的换元积分法中 用变 量代换大大简化了积分的计算 776 422 000 11 cos 2coscossin 22 xdxuduudu 例例2 求积分求积分 7 4 0 cos 2 xdx 解令则解令则2 ux 1 246 0 18 133 235 ttt dt sintu 3 1 2 0 1 1 2 tdt 3 2 2 0 1 1sinsin 2 u du 例例3 求积分求积分 3 21 1 1 dx xx 解令解令 2 tan sec xt dxtdt 1 4 xt 3 3 xt 故 故 2 3 33 21 44 1sec1 sec tansin 1 t dxdtdt ttt xx 3 4 21 ln csccotlnln21 33 t 3 ln21 3 例例4 求积分求积分 ln 2 2 0 1 x e dx 解令则解令则 222 1 1 ln 1 2 x etxt 332 ln 2 2 22 22 000 1 11 x tt e dxtdtdt tt 3 2 0 3111 2211 dt tt 3 2 0 3113 lnln 23 2212 t t 例例5 设则设则 f xCa a 0 aa a f x dxf xfxdx 由此得到 若为偶函数 则由此得到 若为偶函数 则 f x 0 2 aa a f x dxf x dx 若为奇函数 则若为奇函数 则 f x 0 a a f x dx 证因证因 0 0 aa aa f x dxf x dxf x dx 又又 00 0 0 1 a aa a f x dxftdtft dt fx dx xt 故 故 0 aa a f x dxf xfxdx 当为偶函数 即则当为偶函数 即则 f x fxf x 若为奇函数 则若为奇函数 则 f x 00 2 aaa a f x dxf xfxdxf x dx 0 0 aa a f x dxf xfxdx 例例6 求求 1 2 1 sintan 1 xxxx dx x 解解 11 22 11 sintansintan 11 xxxxxxx dxdx xx 222 111 222 100 1 1 22 111 xxx dxdxdx xxx 1 0 2arctan2 1 4 xx 例例7 设证明 设证明 0 1 f xC 22 00 sincos fx dxfx dx 00 sinsin 2 xfx dxfx dx 证 设则证 设则 2 xt 0 2 0 2 sinsin1 2 fx dxftdt 22 00 coscos ft dtfx dx 0 0 sinsinxfx dxt ftdt 设 设 xt 所以 所以 00 sinsin 2 xfx dxfx dx 000 sinsinsint ft dtft dttft dt 00 sinsin fx dxxfx dx 利用上述结论计算积分利用上述结论计算积分 4 2 442 00 sinsin sincos1cos xxx dxdx xxx 及 及 4 22 44 00 sin 2 1 sincos2 x dxdx xx 44 22 4444 00 sincos sincoscossin xx dxdx xxxx 4 2 44 0 sin sincos4 x dx xx 即 即 22 00 sinsin 1cos21cos xxx dxdx xx 2 0 0 1 cosarctan cos 21cos2 dxx x 2 2444 例例8 设函数设函数 2 0 1 10 1cos x xex f x x x 求求 4 1 2 f xdx 解令则所以解令则所以2 xtdxdt 420 111 1 2 1cos f xdxf x dxdx x 22 0 2 2 0 0 1 1 tan 22 xx x xee 4 111 tan 222 e 例例9 设证明 设证明 0 1 fC 2 00 sin2sin fx dxfx dx 证证 2 00 2 sinsinsin fx dxfx dxfx dx 0 22 sin sin1fx dxftdt xt 22 00 sinsin ft dtfx dx 所以所以 2 00 sin2sin fx dxfx dx 例例10 设是以 为周期的连续函数 证明 设是以 为周期的连续函数 证明 f xl 与 无关 与 无关 a l a f x dx a 证因证因 0 0 a lla l aal f x dxf x dxf x dxf x dx 0 0 0 a la la a f x dtf tl dtf t dt f x dx 又又 xtl 故 原式成立 故 原式成立 例例11 求求 0 1sin2 n xdx 解因 是一个周期为的周期函数 由例 解因 是一个周期为的周期函数 由例10得 积分在每一个 长度为上的区间上的积分都相等 故 得 积分在每一个 长度为上的区间上的积分都相等 故 2 1sin2sincossincos xxxxx 00 1 sin2sincos n xdxnxxdx 4 0 4 cossinsincosnxx dxxx dx 2 2 n 二 定积分的分部积分法二 定积分的分部积分法 平行于不定积分的分部积分法 平行于不定积分的分部积分法 uv dxuvu vdx 有定积分的分部积分法 有定积分的分部积分法 设在区间上有连续导数 则设在区间上有连续导数 则 u xv x a b uvuvu v 两边积分 得两边积分 得 bbb aaa uv dxuvdxu vdx 并注意到 并注意到 b b a a uv dxuv 移项后即得定积分的分部积分公式 移项后即得定积分的分部积分公式 bb b a aa uvdxuvu vdx 例例12 求求 1 0 arctan xxdx 解解 11 2 00 1 arctanarctan 2 xxdxxxdx 2 11 2 2 00 11 arctan 221 x xxdx x 1 0 111 arctan 82242 x 例例13 求求 9 1 x edx 33 333 11 2262224 tt teeeeeee 解解 93 11 2 xt edxte dt 2 xt 例例14 设求设求 2 1 sin x t f xdx t 1 0 xf x dx 解解 111 22 000 11 22 xf x dxf x dxx f x 2 11 22 2 00 1sin11 212 sin 222 x xxdxfxx dx x 因故因故 1 1 sin 10 t fdt t 1 11 222 00 0 11 sincos 22 xf x dxx dxx 1 cos1 1 2 例例15 证明定积分公式证明定积分公式 2 0 131 2 22 2 sin 132 21 23 n n nn nm nn Ixdx nn nm nn 证证 1 22 00 sinsinsin nn n Ixdxxxdx 122 22 00 cossin1sincos nn xxnxxdx 22 2 0 1sin1sin n nxx dx 2 22 00 1sin1sin nn nxdxnxdx 即 即 2 22 00 sin1sin nn nxdxnxdx 所以 注意到所以 注意到 2 1 nn n II n 22 01