高数+线代简易讲义.doc

第四部分 微积分第1章 函数的极限与连续基础知识点3.复合函数和初等函数例1 设，求的定义域。例2 已知 求。二、数列的极限1定义2数列极限的性质极限唯一性；收敛数列有界性（收敛的必要条件）；收敛数列保号性；迫敛性；绝对值收敛。3数列极限的四则运算法则4数列极限存在的准则单调有界定理；夹逼准则。三、函数的极限1函数极限的定义2函数极限的性质唯一性；局部有界性；保号性；迫敛性；四则运算法则。3两个重要极限（1）或（2）例1 例2（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7） （8）四、无穷小量与无穷大量1定义及性质2无穷小量与无穷大量的关系3无穷小量与函数极限的关系4无穷小量与有界量之积为无穷小量5. 无穷小量的比较6等价无穷小量替换定理常用的等价无穷小：当时，例1（1） （2）（3） （4）五、函数的连续性1定义2间断点及分类 分成两类:如果是函数的间断点, 但左极限及右极限都存在, 那么称为函数的第一类间断点.。不是第一类间断点的任何间断点, 称为第二类间断点.。在第一类间断点中, 左、右极限相等者称为可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点。无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点. 3连续函数的运算法则4闭区间上连续函数的性质 有界性定理；最值存在定理；介值定理；零点存在定理。例1 求间断点及判断其类型（1）（2）例2 设在处连续，求。 历年真题1. ，=5，=3，=，该三角形边上的中线长是的函数，则当在中变化时，函数取值的范围是（ ）.（2004.15）（0，5） （1，4） （3，4） （2，5）2. 设函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）.（2005.16）3. 设，且导数存在，则（ ）.（2006.16）0 4. 若，则必有（ ）.（2007.16） 在处无定义在的某领域中，在的某领域中，第2章 一元函数微分学基础知识点一、导数的概念1导数的定义2导数的几何意义函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处切线的斜率, 即,其中是切线的倾角。3可导性和连续性的关系 如果函数在点可导，则函数在该点连续，反之不成立。例1 在可导，求下列极限（1）（2）（3）例2 设在处连续，且，求。例3 设函数为了使函数在处连续且可导，、应取什么值？例4（1）可导偶函数的导数是奇函数；（2）可导奇函数的导数是偶函数；（3）可导周期函数的导数是周期函数。例5 如果为偶函数，且存在，证明。二、导数公式与求导法则1导数公式（1）(C)=0 （C为常数），（2）(xm)=m xm-1 （3）(sin x)=cos x,（4）(cos x)=-sin x,（5）(tan x)=sec2x,（6）(cot x)=-csc2x,（7）(sec x)=sec xtan x,（8）(csc x)=-csc xcot x,（9）(a x)=a x ln a,（10）(e x)=ex,（11）,（12）,（13）, . （14）（15）,（16）.2四则运算与求导法则 设u=u(x), v=v(x)都可导, 则（1）(u v)=uv,（2）(C u)=C u,（3）(u v)=uv+uv,（4）.3复合函数的求导法则4隐函数的导数例1 求下列函数的导数（1） （2） （3） （4）例2 确定了，求.例3 求由所确定曲线在处的切线方程和法线方程。六、洛必达法则例1 求极限（1） （2）（3） （4）七、函数的单调性与极值1函数单调性的判定法2函数的极值及判断：取得极值的必要条件；第一、第二充分条件。例1 求函数的单调区间。例2 求函数的极值。例3 证明方程在上有唯一的实根。八、函数的最大值、最小值问题例1 求函数在区间上的最大、最小值。例2 要造一圆柱形油罐，体积为，问底半径和高等于多少时，才能使表面积最小？这时底半径与高的比是多少？九、曲线的凹凸性、拐点及渐进线1曲线的凹凸、拐点2曲线的水平、垂直渐进线例1 求下列曲线的渐近线：（1）（2）（3） 历年真题1. 如果函数在处可导，则极限（ ）.（2003.17） 1 0 不存在 2. 甲乙两人百米赛跑的成绩一样，那么（ ）.（2003.18）甲、乙两人每时刻的瞬时速度必定一样甲、乙两人每时刻的瞬时速度都不一样 甲、乙两人至少在某每时刻的瞬时速度一样 甲、乙两人到达终点时的瞬时速度必定一样3. 方程的实数根的个数是（ ）.（2003.19）1 2 3 4 4. 如图，是两个逐段线性的连续函数，设，则的值为（ ）.（2004.16） 5如下不等式成立的是（ ）.(2004.18)在区间上，在区间上，在区间上，在区间上，6. 设在点处可导，且则=（ ）.(2005.18)0 1 2 37. 若的二阶导数连续，且，则对任意常数必有=（ ）.(2005.19) 1 0 8. 如图，曲线表示某工厂十年期间的产值变化情况，设是可导函数，从图形上可以看出该厂产值的增长速度是（ ）.(2006.20)前两年越来越慢，后五年越来越快 前两年越来越快，后五年越来越慢前两年越来越快，后五年越来越快 前两年越来越慢，后五年越来越慢9. 设，则（ ）.(2007.17)1 1 第3章 一元函数积分学基础知识点一、不定积分的概念和简单的计算1原函数、不定积分的概念及几何意义2不定积分基本计算公式(1)(k是常数), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11), (12), (13), (14), (15). 3不定积分的性质(1) (2)(3) (4) (5) (6) 例1 若的导函数为，则的一个原函数是（ ）. 例2 设，求的原函数。例3 设的一个原函数为，求。二、不定积分的计算方法1第一积分换元法（凑微分法）2第二积分换元法3分部积分法例1 求下列不定积分（1） （2） （3） （4） （5） （6）例2 设且，求三、定积分的概念及性质1概念2定积分的几何意义定积分的几何意义为：它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x=a、x=b之间的各部分面积的代数和3定积分的性质例1 利用定积分的几何意义，求下列定积分的值；（1） （2）例2 设，按积分值大小排列下列积分（1），（2），（3）。四、微积分基本公式、定积分的计算1牛顿-莱布尼茨公式2变量替换法3分部积分法例1 ，则在在上单调增加。例2 计算下列定积分（1） （2）（3）（4）例3 求导数 (6)例4 方程确定了是的函数，求。例5 求。例6 设，求的表达式。例7 设，求和。五、定积分的应用1平面图形的面积2旋转体的体积3平面截面面积为已知的立体体积4平面曲线的弧长例1 求曲线所围面积。例2 求曲线，轴与直线，所围图形的面积。例3 求由抛物线与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。 历年真题1. 设，则的极值点的个数是（ ）.（2003.16）1 2 3 4 2. 设，则（ ）.（2003.20） 3. 过点作曲线的切线，设该曲线与切线及轴所围成的面积为，曲线与直线及轴所围成的面积为，则（ ）(2004.17) 4. 设为连续函数，且，则（ ）(2004.19) * 5. 如图，抛物线把曲线与轴所构成的区域面积分为与两部分，则（ ）(2004.20) * 与的大小关系与的数值有关6. 函数在上有（ ）(2005.17)1条垂直渐进线，1条水平渐进线 1条垂直渐进线，2条水平渐进线2条垂直渐进线，1条水平渐进线 2条垂直渐进线，2条水平渐进线7. 设是的一个原函数，则不定积分=（ ）.(2005.20) 38. 设连续函数在内严格单调递增，且，若是的反函数，则=（ ）.(2005.21) 9. 曲线在区间内有（ ）.(2006.17)2个极值点，3个拐点 2个极值点，2个拐点2个极值点，1个拐点 3个极值点，3个拐点10. 设正圆锥母线长为5，高为，地面圆半径为，在正圆锥的体积最大时，（ ）.(2006.18) 1 11. 设，则在上方程根的个数为（ ）.(2006.19) 0 1 2 312. 如图所示，函数是以2为周期的连续周期函数，它在上的图形为分段直线，是线性函数，则（ ）.(2006.21) 1 13. 设函数可导，且，则（ ）.(2007.18) 14. 下图中的三条曲线分别是：，的图形，按此排序，它们与图中所标示，的对应关系是（ ）.(2007.19)， ， ， ，15. 若函数在点连续，则（ ）.（2007.20）9 3 0 116. 曲线上的点与单位圆上的点之间的最短距离为，则（ ）.（2007.20） 第五部分 线性代数考试要求1行列式：行列式的概念和性质，行列式展开定理，行列式的计算。2矩阵：矩阵的概念，矩阵的运算，逆矩阵，矩阵的初等变换。3向量：维向量，向量组的线性相关和线性无关，向量组的秩和矩阵的秩。4线性方程组：线性方程组的克莱姆法则，线性方程组解的判别法则，齐次和非齐次线性方程组的求解。5特征值问题：特征值和特征向量的概念，相似矩阵，特征值和特征向量的计算，阶矩阵可化为对角矩阵的条件和方法。第一章 行列式基础知识点一、阶行列式的定义1一阶：2二阶： （对角线法则）3三阶： （对角线法则）（按第一行展开）注：对角线法则只适合2、3阶行列式，对高阶行列式不适用。4阶：个数, 称为阶行列式, 它表示数值。余子式：在阶行列式中，将元素所在的行与列上的元素划去，其余元素按照原来的相对位置构成的阶行列式，称为元素的余子式，记作代数余子式：元素的代数余子式例1 计算下列行列式的值（1） （2） （3）例2 求解方程 二、行列式的性质性质1（转置） 设, , 则性质2（交换） 设, , 则推论1 对调两列得推论2 中某两行(列)元素对应相等性质3（倍乘） , 推论1 中某行(列)元素全为0推论2 中某两行(列)元素成比例性质4（分项） 若对某个, 有, 则 性质5（倍加） 性质6（展开） 性质7 设, 则 注 行列式的性质对于列的情形也成立三、行列式的计算特殊的行列式：1 对角行列式， 2上三角形行列式， 下三角形行列式， ，例1 计算（1） （2） （3）例2 设，求中项的系数、项的系数及常数项。例3 设，求.例4 ，则（ ），（ ）. 历年真题1行列式展开式中的系数是（ ）.（2003.21）（A）2 （B）2 （C）1 （D）1 2设则行列式（ ）.（2004.21）8 2 -2 -83. 设是方程的三个根，则行列式的值等于（ ）.（2005.25）1 0 1 24. 行列式展开式中的常数项为（ ）.（2007.22）4 2 1 0第2章 矩 阵基础知识点一、矩阵及其运算1矩阵的概念 矩阵, 简记为. 零矩阵：所有元素都是0 的矩阵. 单位矩阵 ； 数量阵 对角矩阵 2矩阵的基本运算同阶矩阵：指行数相等、列数相等的矩阵矩阵相等：设, 若, 称. 1. 线性运算：, 加法： 数乘： 负矩阵： 减法： 算律：设为同阶矩阵, 为常数, 则有 (1) (5) (2) (6) (3) (7) (4) (8) 例1 计算（1） （2） （3）例2 设, ，满足,求2. 矩阵乘法： 一般情形 , 注 的列数 = 的行数 的行数 = 的行数；的列数 = 的列数 与的先后次序不能改变例2 , , 注 无意义例3 , , 注 ；, , 但是，即矩阵乘法不满足交换律. 算律：(1) (2) (3) (4) , 应用：, , , 线性方程组的矩阵形式 线性变换的矩阵形式 3. 方阵的幂： , 为正整数 , 算律：(1) (2) 例1 计算下列乘积（1） （2） （3）例2 设，求例3 设，求.4. 矩阵的转置： , 算律：(1) (2) (3) (4) 对称矩阵：指满足，即 反对称矩阵：指满足，即5. 方阵的行列式：指的元素按照原来的相对位置构成的 行列式, 记作, 或者 算律：(1) (2) (3) 注 方阵是数表, 而行列式是数值 , 而.例1 设，计算，例2 设，均为三阶矩阵，且，求.6. 伴随矩阵：矩阵,则行列式中各个元素的代数余子式所构成的如下的矩阵称为矩阵的伴随矩阵. 重要性质：（1） （2）设A是n阶方阵，则 。例1 设，均为三阶矩阵，且，求，.二、可逆矩阵1、定义：对于, 若有满足, 则称为可逆矩阵,且为的逆矩阵, 记作 定理1 若为可逆矩阵, 则的逆矩阵唯一定理2 为可逆矩阵； 为可逆矩阵注 时, 称为非奇异矩阵； 时, 称为奇异矩阵推论1 对于, 若有满足, 则可逆, 且 推论2 对于, 若有满足, 则可逆, 且例1 设，求.例2 设，且，求.例3 设，且，求.2、逆矩阵的性质： 若以下的逆矩阵都是存在的, 则有 （1） （2） （3）一般地, （4） （5） （6）与都可逆负幂：可逆, 定义, , 则有 , (,为整数)例1 设，且，求，.例2 ,求.3、矩阵运算的应用： (1) 阶线性方程组求解 , (2) 求线性变换的逆变换 , (3) 矩阵方程求解 设可逆, 可逆, 且已知, 则 例1 设满足,求矩阵.例2 设,满足,求例3 设 满足,求例4 设.证明可逆.例5 ,则四、矩阵的初等变换1 矩阵的秩子式：在中, 选取行与列, 位于交叉处的个数按照原来的相对位置构成阶行列式, 称为的一个阶子式, 记作对于给定的, 不同的阶子式总共有个矩阵的秩：在中，若 (1) 有某个阶子式； (2) 所有的阶子式（如果有阶子式的话） 称的秩为, 记作, 或者 规定：性质：(1) (2) 时 (3) (4) 中的一个 (5) 中所有的(6) (7) ， (8) 若，则 (9) , 其中P、Q都是可逆矩阵.注 , 若, 称为行满秩矩阵； 若, 称为列满秩矩阵 , 若, 称为满秩矩阵（可逆矩阵, 非奇异矩阵）； 若, 称为降秩矩阵（不可逆矩阵, 奇异矩阵）例1 设, 求2矩阵的初等变换 1. 初等变换 行变换 列变换 对调 数乘 倍加 经过初等变换得到, 记作 2. 等价矩阵：若, 称与等价, 记作 (1) 自反性： (2) 对称性： (3) 传递性：, 定理1 推论1 若满秩, 则行阶梯形矩阵的特点：（1）可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）每个台阶只有一行；（3）阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元。若，而是行阶梯形矩阵，则等于行阶梯形矩阵的台阶数，即非零行的行数。3利用初等变换求矩阵A的逆矩阵 由于可逆矩阵A可以经过有限次初等变换化为单位矩阵.故求A的逆矩阵的方法为 注：一定是初等行变换。例1 设, 求例2 设,求。 历年真题1设，则必有（ ）.（2003.22）(A) (B) (C) (D)2. 设为4阶非零方阵，其伴随矩阵的秩，则秩等于（ ）.（2003.23）1或2 1或3 2或3 3或43 设，则矩阵中，第3行第2列的元素是（ ）.（2004.22） 4. 已知为维单位列向量，为的转置，为单位矩阵，若=，则等于（ ）.（2005.24） 1 5. 设，为三阶单位矩阵，若三阶矩阵满足关系，则的第一行的行向量是（ ）.（2006.22） 6. 是的伴随矩阵，若三阶矩阵满足，则的第3行的行向量是（ ）.（2007.23） 第三章 向量基础知识点一、向量及其运算1向量：个数构成的有序数组, 记作, 称为维行向量 称为向量的第个分量 零向量： 负向量： 2线性运算：, 相等：若, 称 加法： 数乘： 减法： 3算律：, , (1) (5) (2) (6) (3) (7) (4) (8) 4列向量：个数构成的有序数组, 记作, 或者, 称为维列向量零向量： 负向量：例1 设 求，使.例2 设，且，求.二、向量组的线性相关性1线性组合：对维向量及, 若有数组使得 , 称为的线性组合, 或可由线性表示例1 , , , ，判断可否由线性表示?2线性相关：对维向量组, 若有数组不全为0, 使得 称向量组线性相关, 否则称为线性无关 线性无关：对维向量组, 仅当数组全为0时, 才有 称向量组线性无关, 否则称为线性相关注（1）对于单个向量：若, 则线性相关；若, 则线性无关。（2）对于2个向量的向量组，它线性相关的充分必要条件是的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线。（3）3个向量线性相关的几何意义是三向量共面。例1 判断向量组, , , 的线性相关性例2 判断向量组的线性相关性： （1） （2）例3 设向量组线性无关，下列向量组是否线性无关？ （1） （2） （3）三、向量组的秩与最大无关组 1向量组的秩：设向量组为, 若 (1) 在中有个向量线性无关； (2) 在中有个向量线性相关（如果有个向量的话） 称为向量组为的一个最大线性无关组, 称为向量组的秩, 记作：秩 注(1) 向量组中的向量都是零向量时, 其秩为0 (2) 秩时, 中任意个线性无关的向量都是的一个 最大无关组 定理 设, 则 (1) 的行向量组（列向量组）的秩为； (2) 中某个中所在的个行向量（列向量）是 的行向量组（列向量组）的最大无关组结论：不可逆不满秩有非零解 行向量组线性相关列向量组线性相关例1 判断向量组：, , , 的秩例2 向量组：，求的秩及一个最大无关组例3 ( )时, 向量组线性无关.例4 ,，求及一个最大线性无关组.历年真题1若向量线性无关，而向量线性相关，则（ ）.（2004.23）3 2 2 32. 设向量，则向量组的一个极大线性无关组是（ ）.（2005.22） 3. 已知向量组线性无关，则是向量组线性无关的（ ）.（2006.24）充分必要条件 充分条件，但非必要条件必要条件，但非充分条件 既非充分也非必要条件第4章 线性方程组基础知识点一、齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是, 其中 特别地, 当时, 必有非零解. 当时, 有非零解的充分必要条件为. （1）若为的解, 则也是的解. 若x为的解, k为实数, 则也是的解. 解向量的线性组合也为该方程组的解. （2）设构成的一组基础解系, 必须满足以下条件 均为的解； 解向量线性无关；的个数为；则称为的基础解系. 即，设的系数矩阵A的秩, 则有基础解系且其所含解向量个数为, 这里n为方程组中未知数的个数. 例1 设, 求的一个基础解系例2 设,其每行之和都为零,且.求的通解.二、 非齐次线性方程组 （1）非齐次线性方程组有解的充分必要条件是其中,为增广矩阵. 当时，有唯一解；当时，有无穷多解；当时，无解； （2）设为非齐次线性方程组的两个解, 则为的解. （3）如果是非齐次线性方程组的一个特解, 为其对应齐次方程组的一个基础解系, 则非齐次方程组的一般解（通解）可以表示成 例1 设, , 求的通解例2 方程组，求它的通解.例3 设, 的3个解满足 , , 求的通解例4 设是方程组的两个解，求该方程组的通解.三、Cramer法则考虑线性方程组 , , . 定理 若, 则方程组存在唯一解.例1 解线性方程组. 历年真题1设为的非零矩阵，方程组只有零解的充分必要条件是（ ）.（2003.24）(A) 的列向量线性无关 (B) 的列向量线性相关 (C) 的行向量线性无关 (D) 的行向量线性相关2. 设矩阵三阶矩阵，且满足，则（ ）.（2004.24）的秩=1 的秩=2的秩=1 的秩=23. 三阶矩阵的秩，是方程组的三