数学家的故事.pdf

拉马努金 1962 年 12 月 22 日印度发行弓一张纪念邮票 这张邮票是为纪念数学家 Srinivasa Ramanujan 诞生七十五周年而发行的 拉马努金出生于南印度没落的贫穷婆罗门家庭 没有受过大学育 靠自学及 艰苦钻研 后来成为一个闻名国际的数学家 在数学家中 以贫穷家庭出身 而 且能在没有研究数学的环境里孤独的工作发现了一些深入的结果的人并不太多 拉马努金是其中一个 他直到二十七岁时才获得真正数学家的教导 其才华像彗 星突然出现长空 耀眼炫目 可惜的是肺病却蚕食了他的生命 这位伟大的数学 家在三十三岁时悄然逝去 拉马努金是淡米尔人 生于 1887 年 12 月 22 日 父亲是一间布店里的小职 员 小时候他大部份的时间是在祖母家里度过 从小他就喜欢思考问题 曾问老 师在天空闪耀的星座的距离以及地球赤道的长度 在十二岁时始对数学发生兴 趣 曾问高班同学 什么是数学的最高真理 当时同学告诉他 毕达哥拉斯定理 可以作为代表 引起了他对几何的兴趣 有一天一个老师讲 三十个果子给三十个人平分 每一个人得到一个 同 样的十四个果子给十四个人平分 每一个人得一个果子 从这里老师下了结论 任何数给自己除得到是一 拉玛奴江觉得不对 马上站起来问 是否每一个人 也得到一个 这时数字的奇妙性质引起了他的注意 也差不多在这个时候他对 等差 等比级数的性质自己作了研究 在十三岁时 高班的同学借给他一本 Loney 的 三角学 一书 以前 有 一些学校采用此书为高中课 中译本书名为 龙氏三角学 他很快把整本书的 习题解完 第二年他到了正弦和余弦函数的无穷级数展开式 后来他才知这是著 名的 Euler 公式 他心中有点失望 于是把自己结果的草稿偷偷地放到屋梁上 十五岁时 朋友借给了他二厚册英国人卡尔 Carr 写的 纯数的应用数学 基本结果大要 一书 这书是写得相当枯燥无味的 罗列了在代数 微积分 三 角学和解析几何的六千个定理和公式 这本书对他来说是本好书 他自己证明了 其中的一些定理 而以后他研究的基础全是这书给出的 1930 年他进入了家乡的政府学院 由于贫穷和入学试成绩优越 他获得奖 学金 可是在学院里他太专心于数学 而忽略了其它科目 结果年考不及格而失 去了奖学金 在 1906 年他转到另外一间学院读二年级并参加 1907 年的 文科第 一考试 不幸的是又失败了 1907 年到 1910 年之间 他住在外面 找不到任何工作 有时替朋友补习以 换取一些吃的东西 在这段期间 他自己研究魔方阵 连环分数 超几何级数 椭圆积分及一些数论问题 并把自己得到的结果写在二本记事簿里 生活的不安 定没有使得他对数学的爱好减少 一个善良的邻居老太太看他生活困难 几次在 中餐时邀他在家里吃些东西 根据印度的习俗 他家人在 1909 年为他安排了婚事 妻子是一个九岁的女 孩 在 1910 年他是二十三岁了 有了家而且因是长子 必须担起养家糊口的责 任 他不得不极力寻找工作 后来朋友推荐他去找印度官员拉奥 拉奥本身是一 个有钱的印度官员 也是印度数学会的创办人之一 认为拉马努金不适合做其它 工作 很难介绍工作给他 因此宁愿每个月给他一些钱 够他生活不必去工作 而他自己可以作研究 他很赏识拉玛奴江的数学才能 拉马努金只好接受这些钱 继续他的研究工作 每天傍晚时分才在马德拉斯 Madras 的海边散步和朋友聊天 作为休息 有一天一个老朋友遇到他 就对他说 人们称赞你有数学的天才 拉马努金听了笑道 天才 请你看看我的肘吧 他的肘的皮肤显得又黑又厚 他解释他日夜在石板上计算 用破布来擦掉石板上的字太花时间了 他每几分钟 就用肘直接擦掉石板的字 朋友问他既然要作这么多计算为什么不用纸来写 拉 玛奴江说他连吃饭都成问题 哪里有钱去买大量的纸来用 原来拉马努金觉得依 靠别人生活心里是很惭愧 已经有一个月不去拿钱了 很幸运拉马努金获得了奖学金 在 1913 年 5 月开始 他每个月获得七十五 卢比 不久他的朋友协助他用英文写了一封信给英国剑桥大学的著名数学家哈代 G H Hardy 教授 在这信里列下了他以前研究得到的一百二十个定理和公式 哈 代看到他的一些结果 有些是重新发现一百年前大数学家的结果 有一些是错误 有一些是非常深入困难 经过许多波折 拉马努金总算来到了英国 哈代认为要 教他现代数学 如果照常规从头学起 很可能会对拉马努金的才能有损害 而他 又不能停留在对现代数学无知的状态 因此哈代用自己独特的方法帮助他学习 终于拉马努金掌握了较健全的现代分析理论的知识 比哈代的还多 从 1914 到 1918 年拉马努金和教授写了许多重要的数学论文 由于他是个虔 诚的婆罗门教徒 绝对奉行素食主义 在英国生活那段时间 他自己煮自己的食 物 而常常因研究而忘记吃饭 他的身体越来越衰弱 后来常感到身上有无名的 疼痛 后来才发现他患上了无法医治的肺病 在英国医院住了一个时期 哈代教 授讲拉马努金在病中的一个故事 有一天哈代乘了一辆出租汽车去看他 这车牌 号码是 1729 哈代对拉马努金讲出了这个数字 看来没有甚么意义 可是拉马 努金想一下马上回答 这是最小的整数能用二种方法来表示二个整数的立方的 和 1729 13 123 93 103 拉马努金被称为数学的预言家 他死后已经有五十四年了 可是他的一些预 测的结果 还是目前数学家正想法证明的 他在 1920 年 4 月 26 日死于麻特拉斯 马德拉斯大学后来建立了一个高等数学研究所用他的名字来命名 1974 年在研 究所门前为他矗立了一个大理半身像 康托 19 世纪末期 数学界出现了一件引人注目的事情 一位名叫康托 G Cantor 1845 1918 的德国数学家提出一种令人费解的古怪理论 集合论 它的内容 是如此与常识格格不入 以致于一出世就引起了一场轩然大波 集合论的出现向 人们展示了一个由无穷数量关系组成的新奇世界 康托凭着探险家的勇气闯入这 个新奇的世界 他发现了许多简直难以置信的事情 康托是在研究微积分理论的 逻辑基础问题时 开始着手创立集合论的 自从 17 世纪牛顿 I Newton 1642 1727 和莱布尼茨 G W Leibniz 1646 1716 创立微积分理论体系之后 在近一二百年时间里 微积分理论一直缺乏一个严格的逻辑基础 它的一些基本 概念的表述 还有某些混乱和自相矛盾之处 从 19 世纪开始 柯西 A L Cauchy 1789 1857 魏尔斯特拉斯 K Weierstrass 1815 1897 等人进行了微积分理 论严格化的工作 他们建立了极限理论 并把极限理论的基础归结为实数理论 那么 实数理论的基础又该是什么呢 康托试图用集合论来作为实数理论 以至 整个微积分理论体系的基础 出于这一目的 康托用集合的观点重新考察各种数 量关系 特别是无穷数量关系 他发现 无穷集合有着有穷数量关系所不具备的 性质 比如 在无穷集合领域 所有整数和所有偶数之间是一一对应的 所有理 数和所有整数之间是一一对应的 平面上所有的点和线段上所有的点是一一对应 的 概言之 在无穷的世界里 整体的所有元素和部分的所有元素之间可以 是一一对应的 另外 无穷集合并不都是相等的 比如所有实数和所有有理数之 间就不是一一对应的 因而 无穷集合是有大小的 集合论用 基数 这个概念来 表示无穷集合间的区别 那么 有没有一个最大的集合呢 康托通过研究 否定 了这个想法 因为每个已知集合的所有子集所构成集合 其基数都大于已知集合 的基数 既然没有最大的基数 当然也没有最大的集合 无穷世界里的这些性质 初看起来 真是令人头晕目眩 甚至康托本人在创立集合论的过程上 也时时感 到心神不定 他在获得线性连续统和 维连续统之间有一一对应关系的结果后 写信给数学家戴德金 R Dedekind 1831 1916 说 我见到了 但我不相信 然而 集合论的成果毕竟是有严格逻辑根据的 并且它在解决实数理论逻辑基础 问题中发挥了别的理论无法取代的重要作用 实践使康托坚定了信心 更加勇敢 地前进 大胆挖掘无穷世界里的宝藏 他在提出超限基数和超限序数的过程中说 我确实不知道 什么能够限制我们这种形成新数的活动 只要可以说明 为了 科学的发展 引入一个这种无穷的新数对于研究是需要的或者是不可的 康托的研究成果发表之后 马上遭致当时一些赫赫有名的数学家的激烈攻 击 德国数学家 L Kronecker 1823 1891 就是那些人中的一个 Kronecker 比 康托年长 22 岁 当康托还是柏林大学的学生时 Kronecker 已经是在这个学校任 教的著名数学家了 Kronecker 在数学上 特别是在高等代数方面有很多贡献 然而他主张 除非一种数学对象能够用有限步骤从自然数中构造出来 否则不能 认为它在数学上是存在的 他有一句名言 上帝创造了自然数 其余的一切才 是人做的工作 因此 他否认无理数的存在 也否认极限理论的意义 他常常 讥笑魏尔斯特拉斯的工作 有趣 可惜不是数学 他和数学家林德曼谈话时说 你那个关于 的漂亮研究有什么用呢 无理数根本就不存在 你为什么要研究这 种问题 虽然康托是他的学生 但由于集合论的内容同他的主张大相径庭 所 以 Kronecker 不能容忍 他认为 康托关于超限数的研究 是一种非常危险的数 学疯病 因而他与康托对立达十年之久 他甚至在柏林大学的学生面前公开攻击 康托 Kronecker 的影响还使康托的学术论文一再延误发表日期 除了 Kronecker 之外 还有一些著名数学家也对集合论发表了反对意见 法 国数学家庞加莱 H Poincare 1854 1912 说 我个人 而且还不只我一人 认为重要之点在于 切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西 他 把集合论当作一个有趣的 病理学的情形 来谈 并且预测说 后一代将把 Cantor 集合论当作一种疾病 而人们已经从中恢复过来了 德国数学家魏 尔 C H Her mann Wey1 1885 1955 认为 康托关于基数的等级观点是雾上 之雾 菲利克斯 克莱因 F Klein 1849 1925 也不赞成集合论的思想 数学 家 H A 施瓦兹原来是康托的好友 但他由于反对集合论而同康托断交 在他们的围攻和反对下 康托的精神逐渐崩溃了 他天性神经过敏 容易激 动 经受不了这种暴风骤雨的攻击 尽管有希尔伯特 D Hilbert 1862 1943 等著名数学家赞同他的集合论 尽管他的集合论已取得巨大的成功 仍未能使康 托感到欣慰和满足 从 1884 年春天起 即在他 40 岁的时候 他患了严重的忧郁 症 神态不安 在他生命的最后几十年里 这种精神病时时发作 使他不得不经 常住到精神病院的疗养所去 他变得有点自卑 甚至怀疑自己的工作是否可靠 他请求哈勒大学当局把他的数学教授职位改为哲学教授职位 不过 在精神病发 作的间歇阶段 康托仍然进行集合论的研究 而且当每次从精神病发作中恢复过 来的时候 他都感到自己的脑子变得格外清晰 他在集合论方面许多出色的成果 大部分是在精神病发作的间歇时期获得的 然而 长期的精神折磨所造成的危害 毕竟是不容忽视的 由于健康状况逐渐恶化 1918 年 他在哈勒大学附属精神 病院去世 康托的结局是悲惨的 英国科学史家 E T 贝尔回顾这段往事时说 Kronecker 认为集合论的出现是一种数学疯病 然而被送进精神病院的并不是集合论而是康 托 狄利克雷 狄利克雷 德国数学家 1805 年 2 月 13 日生于德国迪伦 1859 年 5 月 5 日卒 于哥廷根 狄利克雷生活的时代 德国的数学正经历着以 C F 高斯 Gauss 为 前导的 由落后逐渐转为兴旺发达的时期 狄利克雷以其出色的数学教学才能 以及在数论 分析和数学物理等领域的杰出成果 成为高斯之后与 C G Jacobi 齐名的德国数学界的一位核心人物 狄利克雷出身于行政官员家庭 他父亲是一 名邮政局长 狄利克雷少年时即表现出对数学的浓厚兴趣 据说他在 12 岁前就 自攒零钱购买数学图书 1817 年入波恩的一所中学 除数学外 他对近代史有 特殊爱好 人们称道他是个能专心致志又品行优良的学生 两年后 他遵照父母 的意愿转学到科隆的一所教会学校 在那里曾从师物理学家 G 欧姆 Ohm 学到 了必要的物理学基础知识 16 岁通过中学毕业考试后 父母希望他攻读法律 但狄利克雷已选定数学为其终身职业 当时的德国数学界 除高斯一人名噪欧洲 外 普遍水平较低 又因高斯不喜好教学 于是狄利克雷决定到数学中心巴黎上 大学 那里有一批灿如时星的数学家 诸如P S 拉普拉斯 A 勒让德等 1822 年 5 月 狄利克雷到达巴黎 选定在法兰西学院和巴黎理学院攻读 1825 年 狄利克雷向法国科学院提交他的第一篇数学论文 题为 某些五次不定方程 的不可解 他利用代数数论方法讨论高次方程 1826 年 狄利克雷在为振兴德 国自然科学研究而奔走的 A 洪堡的影响下 返回德国 在布雷斯劳大学获讲师 资格 后升任编外教授 介于正式教授和讲师之间的职称 1828 年 狄利克雷 又经洪堡的帮助来到学术空气较浓厚的柏林 任教于柏林军事学院 同年 他又 被聘为柏林大学编外教授 后升为正式教授 开始了他在柏林长达 27 年的教学 与研究生涯 由于他讲课清晰 思想深邃 为人谦逊 谆谆善诱 培养了一批优 秀数学家 对德国在 19 世纪后期成为国际上又一个数学中心产生了巨大影响 1831 年 狄利克雷成为柏林科学院院士 1855 年高斯去世 狄利克雷被选定作为高斯的继续任到哥廷根大学任教 与 在柏林繁重的教学任务相比 他很欣赏在哥廷根有更多自由支配的时间从事研 究 可惜美景不长 1858 年夏他去世瑞士蒙特勒开会 作纪念高斯的演讲 在 那里突发心脏病 狄利克雷虽平安返回了哥廷根 但在病中遭夫人中风身亡的打 击 病情加重 于 1859 年春与世长辞 傅里叶傅里叶 傅里叶 Fourier Jean Baptiste Joseph 1768 1830 法国数学家 1768 的3月21日生于法国奥塞尔 1830年5月16日卒于巴黎 傅里叶出身平民 父 亲是位裁缝 9岁时双亲亡故 以后由教会送入镇上的军校就读 表现出对数学 的特殊爱好 他还有志于参加炮兵或工程兵 但因家庭地位低贫而遭拒绝 后来 希望到巴黎在更优越的环境下追求他有兴趣的研究 可是法国大革命中断了他的 计划 于1789年回到家乡奥塞尔的母校执教 在大革命时期 傅里叶以热心地方事务而知名 并因替当时恐怖行为的受害者申 辩而被捕入狱 出狱后 他曾就读于巴黎师范学校 虽为期甚短 其数学才华却 给人以深刻印象 1795年 当巴黎综合工科学校成立时 即被任命为助教 这 一年他还讽刺地被当作罗伯斯庇尔的支持者而被捕 经同事营救获释 1789年 蒙日选派他跟随破仑远征埃及 在开罗 他担任埃及研究院的秘 书 并从事许多外交活动 但同时他仍不断地进行个人的业余研究 即数学物理 方面的研究 1801年回到法国后 傅里叶希望继续执教于巴黎综合工科学术 但因拿仑常识他的行政才能 任命他为伊泽尔地区首府格勒诺布尔的高级官员 由于正声卓著 1808年拿仑又授予他男爵称号 此后几经宦海浮沉 1815年 付里叶终于在拿破仑百日王朝的尾期辞去爵位和官职 毅然返回巴黎以图全力投 入学术研究 但是 失业 贫困以及政法名声的落潮 这时的傅里叶处于一生中 最艰难的时期 由于得到昔日同事和学生的关怀 他谋得统计局主管之职 工作 不繁重 所入足以为生 使他得以继续从事研究 1816年 傅里叶被提名为法国科学院的成员 初时因怒其与拿破仑的关系 而为路易十 八所拒 后来 事情澄清 于1817年就职科学院 其声誉又随之迅速上升 他 的任职得到了当时年事已高的拉普拉斯的支持 却不断受到泊松的反对 1827 年 他又被选为科学院的终身秘书 这是极有权力的职们 1827年 他又被选 为法兰西学院院士 还被英国皇家学会选为外国会员 傅里叶一生为人正直 他曾对许多年轻的数学家和科学家给予无私的支持和 真挚的鼓励 从而得到他的忠诚爱戴 并成为他拉的至交好友 有一件令人遗憾 的事 就是傅里叶收到伽罗瓦的关于群论的论文时 他因病情严重而未阅 以至 论文手稿失去下落 纵观傅里叶一生的学术成就 他的最突出的贡献就是他对热传问题的研究和 新的普遍性数学方法的创造 这就是为数学物理的前进开辟了康庄大道 极大地 推动了应用数学的发展 从而也有力在推动了物理学的发展 傅里叶大胆地断言 任意 函数都可以展成三角级数 并且列举大量函数和动用图形来说明函数的三 角级数的普遍性 虽然他没有给出明确的条件和严格的证明 但是毕竟由此开创 出 傅里叶分析 这一重要的数学分支 拓广了传统的函数概念 傅里叶的工作对 数学的发展产生的影响是他本人及其同时代人都难以预料的 而且 这种影响至 今还在发展之中 Emmy Noether Emmy Noether 1882 1935 德国数学家 生于德国 Erlangen 卒于美国宾 州 在数学物理与抽象代数有重大贡献 E Noether 的父亲 Max Noether 是 Erlangen 大学的知名数学教授 但 18 岁前 她并没有表现出对数学的特别兴趣 倒是精通德 英 法三种语言 甚至还考到了英语与法语老师的执照 不过 E Noether 从未教过语言 1900 起她开始走上对当时女性而言相当艰苦的道路 前 三年她在 Erlangen 大学 非正式地修习数学 1903 1904 年 由于通过入学考 她到哥廷根大学受教于 Hilbert Klein 和 Minkowski 1904 年她回到 Erlangen 大学 并在 1907 年获得博士学位 但是由于所谓的 habilitation 教职只对于男性 开放 Noether 留在 Erlangen 大学 协助年老的父亲教授数学 并进行自己的 数学研究 在研究成果陆续发表后 她就受邀加入德国数学学会 DMV 并到 处讲演 1915 年 E Nother 应 Hilbert 与 Klein 之邀 到哥廷根讲学 并在他们的大 力支持下 在四年后获得教职 她在哥廷根待到 1933 年 由于她的犹太血统 被纳粹压力下的学校当局免职 于是她远赴美国 任教于宾州 Bryn Mawr 女 子 学院直到两年后去世 E Noether 最受瞩目的工作可能是 1915 年证明的 Noether 定理 她发现了 物理系统的对称性与守恒律的关系 这个深刻又基本的洞见 甚至影响到日后爱 因斯坦广义相对论的研究 后来 E Noether 开始转到抽象代数的领域 并为环论 ring theory 尤其是 理想论 ideal theory 打下坚实的基础 她的一个荷兰学生 Vander Waerden 所著的 近世代数 影响无远弗届 其中第二册 多半都是 E Noether 的工作 成果 埃尔米特埃尔米特 厄尔米特 埃尔米特 CharlesHermite 1822 1901 法国数学家 巴黎 综合工科学校毕业 曾任法兰西学院 巴黎高等师范学校 巴黎大学教授 法兰 西科学院院士 在函数论 高等代数 微分方程等方面都有重要发现 1858年 利用椭圆函数首先得出五次方程的解 1873年证明了自然对数的底 e 的超越性 在现代数学各分支中以他姓氏命名的概念 表示某种对称性 很多 如 埃尔米 特二次型 埃尔米特算子 等 学习成绩不佳的数学大师 埃尔米特是十九世纪最伟大的代数几何学家 但是他大学入学考试重考了五 次 每次失败的原因都是数学考不好 他的大学读到几乎毕不了业 每次考不好 都是为了数学那一科 他大学毕业后考不上任何研究所 因为考不好的科目还是 数学 数学是他一生的至爱 但是数学考试是他一生的恶梦 不过这无法改变他 的伟大 课本上的 共轭矩阵 是他先提出来的 人类一千多年来解不出 五次方 程式的通解 是他先解出来的 自然对数的底的 超越数性质 在全世界 他 是第一个证明出来的人 他的一生证明 一个不会考试的人仍然可以伟大 革命 家的血统 翻开欧洲的地图 在法国的东北角嵌着一块小小的版图 名叫洛林 Lorraine 这个地方自古以来就是兵家必争之地 因为北扼莱茵河口 南由 马恩河 MarneRiver 可以直捣巴黎 濒临的阿登高地 Ardennes 是军事制高 点 地层中蕴藏欧洲最大的铁矿 早在神圣罗马帝国时代 洛林草场上就染满骑 士的鲜血 1871年德国的铁血雄兵蹂躏法国后 要求法国割让的土地就是洛林 经过百年来战争的洗礼 洛林留下来的是一批苦干 达观的法国人 足能面对环 境的苦难 埃尔米特1822年12月24日出生在洛林的小村庄 Dieuge 他的父祖 辈都参与了法国大革命 祖父被大革命后的极端政治团体巴黎公社 Commune 逮捕 后来死于狱中 有些亲人死在断头台上 他的父亲是杰出的冶矿工程师 因为被公社通缉逃到法国边界的洛林小村庄 在一家铁矿场中隐姓埋名做矿工 铁矿场的主人叫雷利曼 Lallemand 一个标准强悍的洛林人 有一个比他更强 悍的女儿玛德琳 Madeleine 在那个保守的时代 玛德琳就以 敢在户外穿长 裤不穿裙子 而著名 凶悍地管理矿工 但是一遇到这位巴黎来的工程师 她就 软化了 明知对方是死刑通缉犯还是嫁给他 而且为他生了七个孩子 埃尔米特 在七个孩子中排名第五 生下来右脚就残障 需扶拐杖行走 他身上一半流着父 亲优秀聪明 理想奋斗的血液 一半流着母亲敢作敢为 敢爱敢恨的洛林强悍血 统 从大师认识数学之美 埃尔米特从小就是个问题学生 上课时老爱找老师辩论 尤其是一些基本的 问题 他尤其痛恨考试 他在后来的文章中写道 学问像大海 考试像鱼钩 老师老要把鱼挂在鱼钩上 教鱼怎么能在大海中学会自由 平衡的游泳 老师 看他考不好 就用木条打他的脚 他恨死了 他后来写道 达到教育的目的是 用头脑 又不是用脚 打脚有什么用 打脚可以使人头脑更聪明吗 他的数学 考得特别差 主要原因是他的数学特别好 他讲的话更让数学老师抓狂 他说 数学课本是一滩臭水 是一堆垃圾 数学成绩好的人 都是一些二流头脑的人 因为他们只懂搬垃圾 他自命为一流的科学狂人 不过他讲的也没错 历史上 最伟大的数学家大多是文学 外交 工程 军事等与数学不相干的科系出身的 埃尔米特花许多时间去看数学大师 如牛顿 高斯的原著 他认为只有在那里才 能找到 数学的美 是回到基本点的辩论 那里才能饮到数学兴奋的源头 他在 年老时 回顾少年时的轻狂 写道 传统的数学教育 要学生按部就班地 一 步一步地学习 训练学生把数学应用到工程或商业上 因此 不重视启发学生的 开创性 但是数学有它本身抽象逻辑的美 例如在解决多次方方程式里 根的存 在本身就是一种美感 数学存在的价值 不只是为了生活上的应用 也不应沦为 供工程 商业应用的工具 数学的突破仍需要不断地去突破现有格局 孝顺的天才 埃尔米特的表现让父母忧心 父母但求他能把书念好 再多的钱也愿意付出 就把他送到巴黎的路易大帝中学 Louis le Grand 因着超卓的数学天份 他 无法把自己塞入数学教育的窠臼 但是为了顺父母的意 又必须每天面对那些细 微繁琐的计算 以致痛苦得不得了 这位孝顺的天才 似乎注定终生的自我折磨 巴黎综合工科技术学院 Polytechnique 入学考每年举行两次 他从十八岁开始 参加 考到第五次才以吊车尾的成绩通过 其间他几乎要放弃时 遇到一位数学 老师李察 Richard 李察老师对埃尔米特说 我相信你是自拉格朗日 Lagrange 以来的