高中数学 第一章 基本初等函数（II）1.1 任意角的概念与弧度制 1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算课堂导学案 新人教B版必修4.doc

1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算课堂导学三点剖析 一、弧度制的定义【例1】 如图所示，圆心角aoc所对的弧的长l分别为r,2r,2r,4r,如果圆心角表示正角，它的弧度数分别是多少？如果圆心角表示负角，它的弧度数又分别是多少？思路分析：从圆心角与弧度的关系出发，结合正角、负角的概念，分别求出各角的弧度数.当圆心角aoc表示正角时，弧长l为r,2r,2r,4r的圆心角aoc的弧度数分别是1，2，2,4.当圆心角aoc表示负角时，弧长l为r,2r ,2r,4r的圆心角aoc的弧度数分别是-1，-2，-2,-4.温馨提示（1）角的大小与圆的半径长短无关，仅与弧长与半径的比值有关；（2）一般地，正角的弧度数是一个正数.负角的弧度数是一个负数.零角的弧度数是零.各个击破类题演练 1下列诸命题中,真命题是( )a.一弧度是一度的圆心角所对的弧b.一弧度是长度为半径的弧c.一弧度是一度的弧与一度的角之和d.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位解析:本题考查弧度制下,角的度量单位:1弧度的概念.根据一弧度的定义:我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各选项,可知d为真命题.答案:d变式提升 1下列四个命题中,不正确的一个是( )a.半圆所对的圆心角是 radb.周角的大小等于2c.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径d.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度解析:本题考查弧度制下,角的度量单位:1弧度的概念.根据一弧度的定义:我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各选项,可知d不正确.答案:d 二、角度与弧度之间的互化(1)将角度化成弧度:360=2 rad;180= rad;1=rad0.017 45 rad.(2)将弧度化成角度:2 rad=360; rad=180;1 rad=()57.30=5718.(3)弧度制和角度制的互化是本节的重点,也是难点.互化的实质是一种比例关系:=,将要求的部分解出,再添上相应的单位即可.需记住特殊角的弧度数.(见教材,本书略)【例2】 -300化为弧度是（ ）a. b. c. d.思路分析：依据1 =弧度进行转换.解析：1= rad,-300= rad.应选b.答案：b类题演练 2(1)将11230 化为弧度；（2）将 rad化为度.解:（1）1= rad,11230=112.5 rad= rad.(2)1 rad=(), rad=-( rad)=-75.温馨提示 弧度与角度互化，要牢记 rad=180.变式提升 2时钟经过一小时,时针转过了( )a. rad b. radc. rad d. rad解析:由于时钟经过12小时转了-2 rad,所以时钟经过1小时转了 rad.答案:b【例3】 设角1=-570,2=750,1=,2=.(1)将1,2用弧度制表示出来,并指出它们各自所在的象限;(2)将1,2用角度制表示出来,并在-7200之间找出它们有相同终边的所有角.思路分析:运用弧度与角度的互化公式,用待定系数法去找一个k,1,2化为2k+的形式,而1,2化为k360+的形式(kz).解：(1)180= rad,-570=-570=.1=-22+.同理,2=22+.1在第二象限,2在第一象限.(2)1=()=108,设=k360+1(kz).由-7200,-720k360+1080.k=-2或k=-1.在-7200间与1有相同终边的角是-612和-252.同理,2=-360-60=-420,且在-7200间与2有相同的终边的角是-420和-60.类题演练 3 用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合.（如图所示）解：先找准两个边界所对应的在0360范围内的角 .边界在第二象限对应的角为120,边界在第三象限对应的角是225.如上图所示，以ob为终边的角225可看成-135,化为弧度.而120=.终边落在阴影部分的角的集合为|2k2k+,kz.温馨提示 （1）回答问题要弄清角的大小，防止出现矛盾不等式而造成混乱. (2)在表示角的集合时，一定要使用统一单位（统一制度).变式提升 3若集合a=|=-,kz,b=|-,求ab.解:由交集定义,知-,即-1-0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：(1)设弧长为l,弓形面积为s弓形.=60=，r=10 cm,l=|r= cm.s弓形=s扇形-s=lr-r2sin=10-102sin60=50(-) cm2.(2)扇形周长c=2r+l=2r+|r,r=.s扇=r2=()