高考数学一轮复习 第七章 不等式 第四节 基本不等式及其应用课件 文.ppt

第四节基本不等式及其应用 总纲目录 教材研读 1 基本不等式 考点突破 2 几个重要的不等式 3 利用基本不等式求最值 考点二常数代换或消元法求最值 考点一利用配凑法求最值 考点三基本不等式的实际应用 1 基本不等式 1 基本不等式 成立的条件 a 0 b 0 2 等号成立的条件 当且仅当 a b时等号成立 3 其中 称为正数a b的算术平均数 称为正数a b的几何平均数 教材研读 2 几个重要的不等式 1 a2 b2 2ab a b r 当且仅当a b时取等号 2 ab a b r 当且仅当a b时取等号 3 a b r 当且仅当a b时取等号 4 2 a b同号 当且仅当a b时取等号 3 利用基本不等式求最值已知x 0 y 0 则 1 如果积xy是定值p 那么当且仅当 x y时 x y有最 小值 是 2 简记 积定和最小 2 如果和x y是定值s 那么当且仅当 x y时 xy有最 大值 是 简记 和定积最大 基本不等式求最值的两个常用结论 1 已知a b x y r 若ax by 1 则有 ax by a b a b 2 2 2 已知a b x y r 若 1 则有x y x y a b a b 2 2 1 下列不等式中正确的是 a 若a r 则a2 9 6ab 若a b r 则 2c 若a b 0 则2lg lga lgbd 若x r 则x2 1 c 答案c a 0 b 0 2lg 2lg lg ab lga lgb 2 设x 0 y 0 且x y 18 则xy的最大值为 a 80b 77c 81d 82 c 答案c x 0 y 0 x y 18 18 x y 2 即 9 xy 81 故xy的最大值为81 3 已知x y 0且x 4y 1 则 的最小值为 a 8b 9c 10d 11 b 答案b x 4y 1 x y 0 5 5 2 5 4 9当且仅当x 2y 时 取等号 4 若x 1 则x 的最小值为 5 答案5 解析x x 1 1 4 1 5 当且仅当x 1 即x 3时等号成立 5 若实数x y满足xy 1 则x2 2y2的最小值为 答案2 解析 x2 2y2 2 2xy 2 当且仅当x y时取 x2 2y2的最小值为2 典例1 1 已知x 求f x 4x 2 的最大值 2 求函数y 的最大值 考点一利用配凑法求最值 考点突破 解析 1 因为x0 则f x 4x 2 3 2 3 2 3 1 规律总结 1 应用基本不等式解题一定要注意应用的前提 一正 二定 三相等 所谓 一正 是指正数 二定 是指应用基本不等式求最值时 和或积为定值 三相等 是指满足等号成立的条件 2 在利用基本不等式求最值时 要根据式子的特征灵活变形 配凑出积 和为常数的形式 然后利用基本不等式求解 1 1若 x 1 不等式x 1 a恒成立 则实数a的取值范围是 答案 解析因为函数f x x 1在 1 上单调递增 所以函数g x x 1 2在 0 上单调递增 所以函数g x 在 1 的最小值为g 1 因此 x 1不等式x 1 a恒成立 所以a g x 最小值 故实数a的取值范围是 1 2函数y x 1 的最小值是 答案2 2 解析 x 1 x 1 0 y x 1 2 2 2 2 2 当且仅当x 1 即x 1 时 取等号 典例2 1 若正数x y满足x 3y 5xy 则3x 4y的最小值是 2 已知x 0 y 0 x 3y xy 9 则x 3y的最小值为 考点二常数代换或消元法求最值 答案 1 5 2 6 解析 1 由x 3y 5xy 得 5 x 0 y 0 则3x 4y 3x 4y 13 12 5 当且仅当 即x 2y时 等号成立 此时由解得 2 由已知得x 因为x 0 y 0 所以0 y 3 所以x 3y 3y 3 y 1 6 2 6 6 当且仅当 3 y 1 即y 1 x 3时 x 3y min 6 2 条件最值的求法条件最值的求解通常有三种方法 一是消元法 即根据条件建立两个量之间的函数关系 然后代入代数式转化为函数的最值求解 二是将条件灵活变形 利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子 然后利用基本不等式求解最值 三是对条件使用基本不等式 建立所求目标函数的不等式求解 提醒 尽量避免多次使用基本不等式 若必须多次使用 一定要保证等号成立的条件一致 同类练 1 已知正数x y满足x 2y xy 0 那么x 2y的最小值为 a 8b 4c 2d 0 2 已知x 0 y 0且x y 1 则 的最小值为 答案 1 a 2 18 解析 1 由x 0 y 0 x 2y xy 得 1 则x 2y x 2y 2 2 4 2 8 当且仅当 即x 2y时等号成立 故x 2y的最小值为8 2 因为x 0 y 0 且x y 1 所以 x y 10 10 2 18 当且仅当 即x 2y时等号成立 所以当x y 时 有最小值18 变式练已知直线ax by c 1 0 b c 0 经过圆x2 y2 2y 5 0的圆心 则 的最小值是 a 9b 8c 4d 2 a 深化练已知不等式 x y 9对任意正实数x y恒成立 则正实数a的最小值为 a 2b 4c 6d 8 b 答案b因为a 0 所以 x y 1 a 1 a 2 1 2 由题设可知 1 2 9 所以1 3 即a 4 a的最小值为4 典例3某厂家拟在2019年举行促销活动 经调查测算 该产品的年销售量 即该厂的年产量 x万件与年促销费用m万元 m 0 满足x 3 k为常数 如果不搞促销活动 则该产品的年销售量只能是1万件 已知2019年生产该产品的固定投入为8万元 每生产一万件该产品需要再投入16万元 厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1 5倍 产品成本包括固定投入和再投入两部分资金 1 将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数 2 该厂家2019年的促销费用投入多少万元时 厂家的利润最大 考点三基本不等式的实际应用 解析 1 由题意知 当m 0时 x 1 1 3 k k 2 x 3 每件产品的销售价格为1 5 元 y 1 5x 8 16x m 29 m 0 2 m 0时 m 1 2 8 当且仅当 m 1 即m 3时 取等号 y 8 29 21 故该厂家2019年的促销费用投入3万元时 厂家的利润最大 易错警示对实际问题 在审题和建模时一定不可忽略变量的范围 一般地 每个表示实际意义的代数式必须为正 由此可得变量的范围 然后利用基本不等式求最值 3 1 2018广东惠州质检 某工厂去年某产品的年销售量为100万件 每件产品的销售价为10元 每件产品的固定成本为8元 今年 工厂第一次投入100万元 并计划以后每年比上一年多投入100万元 预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万件 第n次投入后 每件产品的固定成本为g n k 0 k为常数 n n 若产品销售价保持不变 第n次投入后的年利润为f n 万元 1 求k的值及f n 的表达式