高考数学一轮复习 第二章 函数 第八节 函数与方程课件 文.ppt

第八节函数与方程 总纲目录 教材研读 1 函数零点的定义 考点突破 2 函数零点的判定 零点存在性定理 3 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 考点二判断函数零点的个数 考点一函数零点所在区间的判断 考点三已知函数的零点 方程的根 求参数值 取值范围 1 函数零点的定义 1 对于函数y f x 把使 f x 0的实数x叫做函数y f x 的零点 2 方程f x 0有实根 函数y f x 的图象与 x轴有交点 函数y f x 有 零点 教材研读 2 函数零点的判定 零点存在性定理 一般地 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 f a f b 0 那么函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得 f c 0 这个 c也就是方程f x 0的根 我们把这一结论称为零点存在性定理 3 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 4 用二分法求函数f x 零点近似值的步骤第一步 确定区间 a b 验证f a f b 0 给定精确度 第二步 求区间 a b 的中点x1 第三步 计算f x1 i 若f x1 0 则x1就是函数的零点 ii 若f a f x1 0 则令b x1 此时零点x0 a x1 iii 若f x1 f b 0 则令a x1 此时零点x0 x1 b 第四步 判断是否达到精确度 若 a b 则得到零点近似值a 或b 否则 重复第二 三 四步 1 下列函数图象与x轴均有交点 其中不能用二分法求图中函数零点的是 c 答案c对于选项c 由图可知零点附近左右两侧的函数值的符号是相同的 故不能用二分法求解 2 已知函数y f x 的图象是连续曲线 且有如下的对应值表 则函数y f x 在区间 1 6 上的零点至少有 a 2个b 3个c 4个d 5个 b 答案b由零点存在性定理及题中的对应值表可知 函数y f x 在区间 2 3 3 4 4 5 内均有零点 所以y f x 在 1 6 上至少有3个零点 故选b 3 在下列区间中 函数f x 3x x2有零点的区间是 a 0 1 b 1 2 c 2 1 d 1 0 d 答案d f 0 1 f 1 2 f 0 f 1 0 f 2 5 f 1 2 f 2 f 1 0 f 2 f 1 f 2 f 1 0 f 0 1 f 1 f 0 f 1 0 易知 1 0 符合条件 故选d 4 函数f x ex 3x的零点个数是 a 0b 1c 2d 3 b 答案b函数f x ex 3x在r上是增函数 f 1 30 f 1 f 0 0 函数f x 有唯一零点 且在 1 0 内 故选b 5 若函数f x ax b有一个零点是2 那么函数g x bx2 ax的零点是 a 0 2b 0 c 0 d 2 答案c由题意知2a b 0 则b 2a 令g x bx2 ax 0 得x 0或x 所以g x 的零点为0 c 6 函数y m有两个零点 则m的取值范围是 0 1 答案 0 1 解析在同一直角坐标系内 画出y1 和y2 m的图象 如图所示 由于原函数有两个零点 故0 m 1 典例1 1 函数f x ln的零点所在的区间大致为 a 1 2 b 2 3 c 3 4 d 1 2 与 2 3 2 若a b c 则函数f x x a x b x b x c x c x a 的两个零点分别位于区间 a a b 和 b c 内b a 和 a b 内c b c 和 c 内d a 和 c 内 考点突破 考点一函数零点所在区间的判断 答案 1 b 2 a 解析 1 f x ln ln x 1 其在定义域 1 上是减函数 当10 即f x 0 故函数在 1 2 上没有零点 f 2 ln1 1 0 f 3 ln2 因为 2 2 828 所以 e 故lne0 f b 0 又函数f x 是二次函数 且图象开口向上 故两个零点分别在 a b 和 b c 内 故选a 方法技巧判断函数在某个区间上是否存在零点的方法 1 解方程 当对应方程易解时 可通过解方程看方程是否有根落在给定区间上进行判断 2 利用零点存在性定理进行判断 3 画出函数图象 通过观察图象与x轴在给定区间内是否有交点来判断 1 1设f x 0 8x 1 g x lnx 则函数h x f x g x 存在的零点一定位于区间 a 0 1 b 1 2 c 2 e d e 3 答案ah x f x g x 的零点等价于方程f x g x 0的根 即函数y f x 与y g x 图象的交点的横坐标 两函数的大致图象如图 从图象可知它们仅有一个交点a 横坐标的范围是 0 1 故选a a 1 2已知函数f x lnx 的零点为x0 则x0所在的区间是 a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 答案c因为f x lnx 在 0 是增函数 f 1 ln1 ln1 20 所以x0 2 3 故选c c 典例2 1 函数f x x 2 lnx在定义域内的零点的个数为 a 0b 1c 2d 3 2 若a满足x lgx 4 b满足x 10 x 4 函数f x 则关于x的方程f x x的解的个数是 a 1b 2c 3d 4 考点二判断函数零点的个数 答案 1 c 2 c 解析 1 由题意可知f x 的定义域为 0 在同一直角坐标系中画出函数y1 x 2 x 0 y2 lnx x 0 的图象 如图所示 由图可知函数f x 在定义域内的零点个数为2 2 由已知 得lgx 4 x 10 x 4 x 在同一直角坐标系中作出y 10 x y lgx以及y 4 x的图象 其中y 10 x y lgx的图象关于直线y x对称 直线y x与y 4 x 的交点为 2 2 所以a b 4 所以f x 当x 0时 由x2 4x 2 x 得x 1或x 2 当x 0时 x 2 所以方程f x x的解的个数是3 规律总结函数零点个数的判断方法 1 直接求零点 2 零点存在性定理 3 利用图象交点的个数 特别地 若已知f x 有几个零点 则用数形结合法 转化为两个熟悉的函数图象有几个交点问题 数形结合求解 2 1函数f x 2x log0 5x 1的零点个数为 a 1b 2c 3d 4 答案b易知函数f x 2x log0 5x 1的零点个数 方程 log0 5x 的根的个数 函数y1 log0 5x 与y2 的图象的交点个数 作出两个函数的图象如图所示 由图可知两个函数图象有两个交点 故选b b 2 2若定义在r上的偶函数f x 满足f x 2 f x 当x 0 1 时 f x x 则函数y f x log3 x 的零点个数是 a 多于4b 4c 3d 2 答案b由题意知 f x 是周期为2的偶函数 在同一坐标系内作出函数y f x 及y log3 x 的大致图象 如图 观察图象可以发现它们有4个交点 即函数y f x log3 x 有4个零点 b 典例3 1 2017课标全国 11 5分 已知函数f x x2 2x a ex 1 e x 1 有唯一零点 则a a b c d 1 2 2017云南昆明质量检测 已知关于x的方程 a x 有三个不同的实数解 则实数a的取值范围是 a 0 b 0 1 c 1 d 0 考点三已知函数的零点 方程的根 求参数值 取值范围 答案 1 c 2 c 解得a 1 所以实数a的取值范围是 1 故选c 规律总结已知函数的零点或方程根的情况求参数问题的常用方法 1 直接法 直接根据题设条件构造关于参数的不等式 再通过解不等式确定参数范围 2 分离参数法 先将参数分离 转化成求函数值域问题加以解决 3 数形结合法 先对解析式变形 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象 然后数形结合求解 同类练 1 2017甘肃兰州模拟 已知奇函数f x 是r上的单调函数 若函数y f 2x2 1 f x 只有一个零点 则实数 的值是 a b c d 2 已知函数f x 若函数g x f x m有3个零点 则实数m的取值范围是 答案 1 c 2 0 1 解析 1 令y f 2x2 1 f x 0 则f 2x2 1 f x f x 因为f x 是r上的单调函数 所以2x2 1 x 只有一个根 即2x2 x 1 0只有一个根 则 1 8 1 0 解得 故选c 2 函数g x f x m有3个零点 转化为f x m 0的根有3个 进而转化为y f x y m的图象有3个交点 画出函数y f x 的图象 则直线y m与其有3个公共点 又抛物线顶点为 1 1 由图可知实数m的取值范围是 0 1 变式练设函数f x log2 2x 1 g x log2 2x 1 若关于x的函数f x g x f x m在 1 2 上有零点 则m的取值范围是 答案 解析令f x 0 即g x f x m 0 所以m g x f x log2 2x 1 log2 2x 1 log2 log2 因为1 x 2 所以3 2x 1 5 所以 1 所以log2 log2 log2 即log2 m log2 所以m的取值范围是 a 答案a