概率论 第一章.doc

第一章 随机事件及其概率习题一1举出几个必然事件、不可能事件和随机事件的例子. 解 (1)设为10次射击命中次数，则随机事件，必然事件，不可能事件；(2)掷一枚骰子试验中，出现偶数点随机事件，出现点（，）随机事件，出现点数小于7必然事件，点数不小于7不可能事件；(3)盒中有2个白球，3个红球，从盒中随机取出3球，则取出的3个球中含有红球必然事件，取出的3个球中不含红球不可能事件.2互不相容事件与对立事件的区别何在?说出下列各对事件的关系：(1)a与a； (2)与；(3)与；(4)与；(5)20个产品全是合格产品与20个产品中只有一个废品；(6)20个产品全是合格产品与20个产品中至少有一个废品. 解 对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件.对立事件和互不相容事件的共同特点是事件间没有公共的样本点，但两个对立事件的并(和)等于样本空间，即若A与是两个对立事件，则A，A；而两个互不相容事件的并(和)被样本空间所包含，即若A与B是两个互不相容事件，则AB，且.(1)由于aa，且aa，所以事件a与a是互不相容事件；(2)由于，且，所以事件与20是对立事件；(3)由于18，且18R，所以事件x与x是互不相容事件；(4)，所以事件与是相容事件； (5)设事件个产品全是合格品，事件20个产品中只有一个废品，显然，个产品，所以A与B是互不相容事件；(6)设事件20个产品全是合格品，事件B20个产品中至少有一个废品，显然AB，+20个产品，所以A与B是对立事件.3写出下列随机试验的样本空间.(1)10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只(取出后不放回)，直到将3只次品都取出，记录抽取的次数；(2)生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数；(3)测量一汽车通过给定点的速度. 解 (1)将3只次品都取出，至少要抽取3次，而最多抽取10次即可，故所求样本空间 ，;(2)最理想的情形是开始生产的10件产品都是正品，故所求样本空间 ，;(3)若不考虑汽车的运动方向，则所求样本空间 vv.若考虑汽车的运动方向，表示该运动方向与正东方向之间的夹角，则所求样本空间 （v，v）v，.4事件A表示在三件被检验的仪器中至少有一件为废品，事件B表示所有的仪器为合格品，问事件(1)；（）各表示什么意义? 解 (1); （）.5设A，B，C为三个随机事件，试将下列事件用A，B，C来表示：(1)仅仅A发生； (2)三个事件都发生；(3)至少有两个事件发生；(4)恰有一个事件发生；(5)没有一个事件发生；(6)不多于两个事件发生. 解 （）； （）； （）；（）；（）； （）. 7袋内装有5个白球，3个黑球，从中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率. 解 随机试验是从8个球中任取2个，样本空间所包含的样本点总数为n=C28. 设事件A=取出两个球均为白球，此时，事件A包含的样本点数为k=C25，故 P(A)= k / n = C25 / C280.357.8一批产品共200个，其中有6个废品，求：(1)这批产品的废品率；(2)任取3个恰有一个是废品的概率；(3)任取3个全是废品的概率. 解 随机试验是从200个产品中任取3个，样本空间所包含的样本点总数为n=C3200. 设事件Ai=取出的3个产品中含有i个废品,i=1,3,事件B=这批产品的废品率.若取出的3个产品中含有i个废品，则i个废品必须从6个废品中获得，3-i个合格品必须从194个合格品中获得，从而事件Ai所包含的样本点数为ki=Ci6C3-i194 ,i=1,3.故 P(B)= 6 / 200 =0.03,P(A1)=k1 / n=C16C2194/C32000.086,P(A3)=k3 /n=C36/C32000.000 02.9两封信随机地向四个邮筒投寄，求第二个邮筒恰好投入一封信的概率. 解 将两封信随机地投入四个邮筒，共有4种投法，即.设第二个邮筒恰好投入一封信，此时，需将两封信中的一封放入第二个邮筒，共有2种放法，剩下的一封放入其他三个邮筒中的一个，共有3种放法，从而事件A包含的样本点数为，故 （）/ .10在房间里有10个人，分别佩带着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码.(1)求最小号码为5的概率；(2)求最大号码为5的概率. 解 设事件A最小号码为5，事件B最大号码为5，则 （）/0/， （） /.11把10本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率. 解 设事件指定的三本书放在一起，将指定的三本书作为一个整体，10本书成为8本，故 （）k/n=A33A88/A1010.12甲、乙二人约定1点到2点之间在某处会面，约定先到者等候10分钟即离去.设想两个人各自随意地在1点到2点之间选一个时刻到达该处，问“甲乙二人能会面”这事件的概率是多少? 解 记事件A两人能会面，以，分别表示两人到达时刻，则两人能会面的充要条件为，即 （，）：.这是一个几何概率问题，样本空间为 （，）：，（）（）/（）/11/36. 13在一间房里有四个人，问至少有两人的生日是在同一个月的概率是多少? 解 四个人在12个月中任一月出生的可能性是相等的，故基本事件的总数为12.设事件四个人生日均不在同一个月，则 （）（）A/12/.14设有10件样品，编以号码09，随机地抽取1件样品，以B表示“取到号码为偶数的样品”；A表示“取到号码为1的样品”，A表示“取到号码为2的样品”，表示“取到号码大于7的样品”，分别求A，A，的概率和A，A，对B的条件概率，并将条件概率与无条件概率做一比较. 解 由题设可知: （A）1/10，（A2）1/10，（A3）2/10=1/5， （A），（A2） 1/5，（A3） 1/5 . 15某人忘了电话号码的最后一个数字，因而随意拨号，不超过三次而接通所需要电话的概率是多少?如果已知最后一个数是奇数，那么此概率是多少? 解 (1)设A=三次中至少有一次接通, =三次每次都不通,Ai=第i次接通 (i=1,2,3).易知， = 123，故 P(1)=9/10, P(21)=8/9,P(3|12)=7/8, 从而， P()= P(1) P(21)P(3|12)= 9/108/97/8=7/10. 故 P(A)=1- P()=1-7/10=3/10.(2)若已知最后一个数字是奇数，从0到9有十个数，其中五个是奇数，则 P(1)=4/5, P(21)=3/4,P(3|12)=2/3, 从而， P()= P(1) P(21)P(3|12)= 4/53/42/3=2/5. 故 P(A)=1- P()=1-2/5=3/5. 16考察甲、乙两地出现春旱的情况，以A，B分别表示甲、乙两地出现春旱这一事件.根据以往气象记录知（），（），（），求（），（）及（）. 解 由题设可知: （）（）/（）./.8/15，（）（）/（./0./，（）（）（）（）.17掷三个均匀骰子，已知第一粒骰子掷出幺点(事件B)，问“掷出点数之和不小于10”这个事件A的条件概率是多少? 解 设事件B第一粒骰子掷出幺点，事件掷出点数之和不小于10，由题设可知，若第一粒掷出幺点，第二粒可能掷出3、4、5、6点；若第二粒掷出3点，第三粒必掷出6点；第二粒掷出4点，第三粒可能为5、6点；第二粒掷出5点，第三粒可能掷出4、5、6点；第二粒掷出6点，第三粒可能掷出3、4、5、6点，则 （）（）/（）=10/36=5/18. 18甲、乙二人射击，甲击中的概率为08，乙击中的概率为07，二人同时射击，并假定中靶与否是独立的，求：(1)中靶的概率；(2)甲中、乙不中的概率；(3)甲不中、乙中的概率. 解 设A、B分别表示甲中靶、乙中靶两事件，则事件A与B独立，又（），（），于是，所求概率为(1)（）（）（）（）（）（）（）（）； (2)（）（）（）（）；(3)（）（）（）（）.19从厂外打电话给这个工厂某一车间要由工厂的总机转进，若总机打通的概率为0.6，车间的分机占线的概率为0.3，假定二者是独立的，求从厂外向该车间打电话能打通的概率. 解 设A，B分别表示从厂外打电话总机打通、分机打通两事件，则事件A，B独立，又（），（），所求概率为 （）（）（）.20设事件A，B的概率均不为0，证明事件A与B独立及互不相容不会同时成立. 证 若（），（），则有(1)因A，B两事件相互独立，且（），（）0，有P（）（）（），故，即A、B不互不相容;(2)因，故（）（），而（），（），故（）（），于是（）（）（），即A与B不相互独立.21有四个大小质地一样的球，分别在其上写有数字1，2，3和“1，2，3”，令随机抽出一球，球上有数字 (，3).试证明A，A，两两独立而不相互独立. 证 由题设可知（A）1/2，（A2）1/2，（A3）1/2,且（AA）1/4= 1/21/2, （AA3）1/4= 1/21/2, （A2A3）1/4= 1/21/2 .以上等式说明A，A，两两独立.但 （AA）1/41/21/21/2（A）（A2）（A3）.可见事件AA不相互独立.22加工某一零件共需四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2，3，5，3，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率. 解 设第道工序出次品，.又设零件为次品，则有AA.由题知， A，A，相互独立，1 ，2 ，3 ，4也相互独立，于是 （）（AA）（）（123 4）（1）（2）（3）（4）.23掷三枚均匀骰子，记B至少有一枚骰子掷出1，三枚骰子掷出的点数中至少有两枚一样，问A，B是否独立? 解 考虑P(A)，若发生，则三枚骰子都不出现幺点，那么，它们都只有5种可能性(2，3，4，5，6)，比不知发生时可能取的点数1，2，3，4，5，6少了一个.从5个数字取3个(可重复取)，其中有两个一样的可能性，应比6个数字中取3个时，有两个一样的可能性要大些，即（）（).由此推出（）（），故A，B不独立.24一批玉米种子，其出芽率为09，现每穴种5粒，问“恰有3粒出芽”与“不大于4粒出芽”的概率是多少? 解 设恰有3粒出芽了，不大于4粒出芽.把穴中每一粒种子是否发芽看作一次试验，而各粒种子发芽与否是互不影响的，所以5次试验是相互独立的，故 （）（，）.（），（）（，）（）.25某一由9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的百分比是70，现在该机构对某事件可行与否个别征求各位顾问意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率. 解 显然本问题是：如果9人中超过4人作出正确决策，则可对该事件可行与否作出正确决策，从而设事件作出正确决策，由题设知，p，于是 （，）（，）(，)，所以5次试验是相互独立的，故 （）0.901.26电灯泡使用寿命在1 000小时以上的概率为02，求3个灯泡在使用1 000小时后，最多只有一个坏了的概率. 解 利用二项概型，有 Pn(k1)=b0(3,0.8)+b1(3,0.8).27用三台机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为0.5，0.3，0.2，各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94，0.9，0.95，求全部产品中的合格率. 解 设事件A、B、C分别表示三台机床加工的产品，事件E表示合格品.依题意， （），（），（）,（），（），（）， 由全概率公式 （）（）（）（）（）（）（） .2812个乒乓球中有9个新的，3个旧的，第一次比赛时，同时取出了3个，用完后放回去.第二次比赛时，又同时取出3个，求第二次取出3个球都是新球的概率. 解 以A（，）表示事件“第一次比赛从盒中任取的3个球中有个新球”.可知 ,A ,A ,是样本空间的一个划分.以B表示事件“第二次取出的球都是新球”.则 （）/220， （A）1923/27/200, （A2）2913/27/55,（A3）39/21/55,（）39/21/55,（1）38/14/55,（2）37/35/220,（3）36/1/11. 由全概率公式，得 （）（）（）/22021/55+27/22014/55+27/5535/220+21/551/111746/121000.146 29发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“”和“-”.由于通信系统受到干扰，当发出信号“”时，收报台以概率08及02收到信号“”和“-”；当发出信号“-”时，收报台以概率09及01收到信号“-”和“”.求：(1)收报台收到信号“”的概率；(2)当收报台收到信号“”时，发报台确系发出信号“”的概率. 解 设事件B收到信号“”，发出信号“”，A发出信号“-”.显然 ,A构成一个完备事件组，且 （），（A）， （），（A）.(1)应用全概率公式，有 （）（）（）.(2)应用贝叶斯公式有 （）（0）（0）/（）（） 0.60.8/0.52.30设某种病菌在人口中的带菌率为0.83.当检查时，带菌者未必检出阳性反应，而不带菌者也可能呈阳性反应，假定（阳性带菌），P(阴性带菌)，（阳性不带菌）05P(阴性不带菌)95.设某人检出阳性，问他“带菌”的概率是多少? 解 设A某人检出阳性，带菌，2不带菌.由题设知（1），（2），（1），（2），故所求的概率为 （1）（1）/（）（B1）（B1）/（Bj）（Bj） (.)/(.) ./(.) .31设有五个袋子，其中两个袋子(品种A1)每