高考数学一轮复习 第十章 概率与统计 第三节 几何概型课件 文.ppt

第三节几何概型 总纲目录 教材研读 1 几何概型 考点突破 2 几何概型的概率公式 考点二与面积有关的几何概型 考点一与长度 角度有关的几何概型 考点三与体积有关的几何概型 1 几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度 面积或体积 成比例 则称这样的概率模型为几何概率模型 简称为几何概型 教材研读 2 几何概型的概率公式p a 1 如图 转盘的指针落在a区域的概率为 a b c d c 答案c 2 有四个游戏盘 将它们水平放稳后 向转盘上投掷一颗玻璃小球 若小球落在阴影部分 则可中奖 小明要想增加中奖机会 应选择的游戏盘是 a 答案aa b c d中阴影部分分别占整体的 故选a 3 2016课标全国 8 5分 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现 红灯持续时间为40秒 若一名行人来到该路口遇到红灯 则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 a b c d b 答案b行人在红灯亮起的25秒内到达该路口 即满足至少需要等待15秒才出现绿灯 根据几何概型的概率公式知所求事件的概率p 故选b 4 如图所示 矩形长为6 宽为4 在矩形内随机地撒300颗黄豆 数得落在椭圆外的黄豆颗数为96 以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为 16 32 答案16 32 解析由随机模拟的思想方法 可得黄豆落在椭圆内的概率为 0 68 由几何概型的概率计算公式 可得 0 68 而s矩形 6 4 24 则s椭圆 0 68 24 16 32 典例1 1 2016课标全国 4 5分 某公司的班车在7 30 8 00 8 30发车 小明在7 50至8 30之间到达发车站乘坐班车 且到达发车站的时刻是随机的 则他等车时间不超过10分钟的概率是 a b c d 考点一与长度 角度有关的几何概型 考点突破 2 如图 四边形abcd为矩形 ab bc 1 以a为圆心 1为半径作四分之一个圆弧 在 dab内任作射线ap 则射线ap与线段bc有公共点的概率为 答案 1 b 2 解析 1 7 30的班车小明显然是坐不到的 当小明在7 50之后8 00之前到达 或者8 20之后8 30之前到达时 他等车的时间将不超过10分钟 故所求概率为 故选b 2 因为在 dab内任作射线ap 则等可能基本事件为 dab内作射线ap 所以它的所有等可能事件所在的区域h是 dab 当射线ap与线段bc有公共点时 射线ap落在 cab内 区域h为 cab 所以射线ap与线段bc有公共点的概率为 方法技巧与长度 角度有关的几何概型的求法 1 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围 当考查对象为点 且点的活动范围在线段上时 以 线段长度 为测度计算概率 求解的核心是确定点的边界位置 2 当涉及射线的转动 扇形中有关落点区域问题时 应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率 事实上 当半径一定时 曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比 易错警示第 2 题易出现 以线段bd为测度 计算几何概型的概率 导致错求p 1 1设a为圆周上一点 在圆周上等可能地任取一点与a连接 则弦长超过半径的倍的概率是 a b c d b 答案b如图 作等腰直角 aoc和 amc b为圆上任一点 则当点b在上运动时 不包含m c 弦长 ab r p 1 2在区间 0 5 上随机地选择一个数p 则方程x2 2px 3p 2 0有两个负根的概率为 答案 解析要使方程x2 2px 3p 2 0有两个负根 必有解得 p 1或p 2 结合p 0 5 得p 2 5 故所求概率为 典例2 2016课标全国 10 5分 从区间 0 1 随机抽取2n个数x1 x2 xn y1 y2 yn 构成n个数对 x1 y1 x2 y2 xn yn 其中两数的平方和小于1的数对共有m个 则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为 a b c d 考点二与面积有关的几何概型命题方向一与随机模拟相关的几何概型 c 答案c 解析如图 数对 xi yi i 1 2 n 表示的点落在边长为1的正方形oabc内 包括边界 两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆 阴影部分 内 则由几何概型的概率公式可得 故选c 典例3 1 2017课标全国 4 5分 如图 正方形abcd内的图形来自中国古代的太极图 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 在正方形内随机取一点 则此点取自黑色部分的概率是 a b c d 命题方向二与平面图形面积有关的几何概型 2 一只受伤的丹顶鹤在如图所示 直角梯形 的草原上空飞过 其中ad dc 2 bc 1 它可能随机落在草原上任何一处 点 若落在扇形沼泽区域ade以外丹顶鹤能生还 则该丹顶鹤生还的概率是 a b 1 c 1 d 1 答案 1 b 2 b 解析 1 设正方形的边长为2 则正方形内切圆的半径为1 其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称 则黑色部分的面积为 所以在正方形内随机取一点 此点取自黑色部分的概率p 故选b 2 过点d作df ab于点f 在rt afd中 易知af 1 a 45 梯形的面积s1 2 2 1 1 扇形ade的面积s2 2 则丹顶鹤生还的概率p 1 故选b 典例4 2017河北石家庄调研 在满足不等式组的平面内随机取一点m x0 y0 设事件a y0 2x0 那么事件a发生的概率是 a b c d 命题方向三与线性规划交汇的几何概型 b 答案b 解析作出不等式组的平面区域即 abc 其面积为4 事件a y0 2x0 表示的区域为 aoc 其面积为3 所以事件a发生的概率是 规律总结 1 与面积有关的平面图形的几何概型 解题的关键是对所求的事件a构成的平面区域形状的判断及面积的计算 基本方法是数形结合 2 解题时可根据题意构造两个变量 把变量看成点的坐标 找到全部试验结果构成的平面图形 以便求解 2 1如图 矩形abcd中 点a在x轴上 点b的坐标为 1 0 且点c与点d在函数f x 的图象上 若在矩形abcd内随机取一点 则此点取自阴影部分的概率等于 a b c d b 答案b易知点c的坐标为 1 2 点d的坐标为 2 2 所以矩形abcd的面积为6 阴影部分的面积为 故所求概率为 2 2 2018河北石家庄教学质量检测 如图 圆c内切于扇形aob aob 若向扇形aob内随机投掷600个点 则落入圆内的点的个数估计值为 a 100b 200c 400d 450 c 答案c如图所示 作cd oa于点d 连接oc并延长交扇形于点e 设扇形半径为r 圆c半径为r r r 2r 3r 落入圆内的点的个数估计值为600 400 考点三与体积有关的几何概型 d 答案d 解析因为vf amcd s四边形amcd df a3 vadf bce a3 所以蝴蝶飞入几何体f amcd内的概率为 规律总结解决与体积有关的几何概型问题的关键是计算问题的总体积 总空间 以及事件的体积 事件