广东省潮州市彩塘中学高二数学上学期期中试卷（含解析）.doc

2015-2016学年广东省潮州市彩塘中学高二（上）期中数学试卷一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1由a1=1，d=3确定的等差数列an中，当an=298时，序号n等于( )a99b100c96d1012在abc中，如果sina：sinb：sinc=2：3：4，那么cosc等于( )abcd3等比数列an中，a2=9，a5=243，an的前4项和为( )a81b120c168d1924在abc中，若a=2，a=30则b为( )a60b60或120c30d30或1505等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( )a130b170c210d2606已知an是等差数列，且a2+a3+a8+a11=48，则a5+a7=( )a12b16c20d247已知数列bn中，b1=4，且bn+12bn4=0，则b8=( )a284b2104c2124d2948在abc中，则abc一定是( )a等腰三角形b直角三角形c等腰直角三角形d等边三角形9不等式ax2+bx+c0（a0）的解集为r，那么( )aa0，0ba0，0ca0，0da0，010已知点（3，1）和（4，6）在直线3x2y+a=0的两侧，则a的取值范围是( )aa7或 a24ba=7 或 a=24c7a24d24a711设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为( )a10b8c2d712如果方程x2+（2m3）x+m215=0的两个实根一个大于2，另一个小于2，那么实数m的取值范围是( )ab（，1）c（5，+）d（1，5）二、填空题：（每小题5分，共20分）13不等式：x2+4x+50的解集是_14已知数列an中a1=1，且，则an=_15若x，y满足约束条件则的最大值为_16若xr，ax2+4x+42x2+1恒成立，则a的取值范围是_三、解答题（本大题共6个小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（1）求不等式的解集；（2）若不等式ax2+bx+20的解集为x|，求a+b的值18已知a、b、c为abc的三内角，且其对边分别为a、b、c，若cosbcoscsinbsinc=（）求a； （）若a=2，b+c=4，求abc的面积19（）若x0，求f（x）=的最小值（）已知0x，求f（x）=x（13x）的最大值20正数数列an的前n项和为sn，且4sn=试求数列an的通项公式设，bn前n项和sn，求证：21建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的猪圈，底面为长方形的猪圈正面的造价为120元/m2，侧面的造价为80元/m2，屋顶造价为1120元如果墙高3m，且不计猪圈背面的费用，问怎样设计能使猪圈的总造价最低，最低总造价是多少元？22（1）求证：（2），若2015-2016学年广东省潮州市彩塘中学高二（上）期中数学试卷一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1由a1=1，d=3确定的等差数列an中，当an=298时，序号n等于( )a99b100c96d101【考点】等差数列的通项公式【专题】计算题【分析】先根据a1=1，d=3确定的等差数列的通项，再求项数【解答】解：由题意，an=3n2，故有3n2=298，n=100，故选b【点评】本题主要考查等差数列的通项公式及其运用，属于基础题2在abc中，如果sina：sinb：sinc=2：3：4，那么cosc等于( )abcd【考点】余弦定理【专题】计算题【分析】由正弦定理可得；sina：sinb：sinc=a：b：c，可设a=2k，b=3k，c=4k（k0），由余弦定理可求得答案【解答】解：由正弦定理可得；sina：sinb：sinc=a：b：c=2：3：4可设a=2k，b=3k，c=4k（k0）由余弦定理可得，=故选：d【点评】本题主要考查了正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题3等比数列an中，a2=9，a5=243，an的前4项和为( )a81b120c168d192【考点】等比数列的性质【专题】计算题【分析】根据等比数列的性质可知等于q3，列出方程即可求出q的值，利用即可求出a1的值，然后利用等比数列的首项和公比，根据等比数列的前n项和的公式即可求出an的前4项和【解答】解：因为=q3=27，解得q=3又a1=3，则等比数列an的前4项和s4=120故选b【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的前n项和的公式化简求值，是一道中档题4在abc中，若a=2，a=30则b为( )a60b60或120c30d30或150【考点】正弦定理【专题】计算题【分析】利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得b【解答】解：由正弦定理可知 =，sinb=b（0，180）b=60或120故选b【点评】本题主要考查了正弦定理的应用正弦定理常用来运用a：b：c=sina：sinb：sinc解决角之间的转换关系属于基础题5等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( )a130b170c210d260【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质【专题】计算题【分析】利用等差数列的前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，用m表示出a1、d，进而求出s3m；或利用等差数列的性质，sm，s2msm，s3ms2m成等差数列进行求解【解答】解：解法1：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由题意得方程组，解得d=，a1=，s3m=3ma1+d=3m+=210故选c解法2：设an为等差数列，sm，s2msm，s3ms2m成等差数列，即30，70，s3m100成等差数列，30+s3m100=702，解得s3m=210故选c【点评】解法1为基本量法，思路简单，但计算复杂；解法2使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前n项和为sn，则sn，s2nsn，s3ns2n，成等差数列6已知an是等差数列，且a2+a3+a8+a11=48，则a5+a7=( )a12b16c20d24【考点】等差数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】把已知条件用首项和公差表示，求出2a1+10d=24，而a5+a7=2a1+10d，则答案可求【解答】解：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由a2+a3+a8+a11=48，得4a1+20d=48，2a1+10d=24而a5+a7=a1+4d+a1+6d=2a1+10d，a5+a7=24故选：d【点评】本题考查了等差数列的通项公式，关键是把已知和要求的式子都化为首项和公差的形式，是基础题7已知数列bn中，b1=4，且bn+12bn4=0，则b8=( )a284b2104c2124d294【考点】数列递推式【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】把已知数列递推式变形，可得bn+4构成以8为首项，以2为公比的等比数列由此求出数列bn的通项公式得答案【解答】解：由bn+12bn4=0，得bn+1=2bn+4，bn+1+4=2（bn+4），又b1=4，b1+4=80，则=2bn+4构成以8为首项，以2为公比的等比数列则b8=2104故选：b【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，是中档题8在abc中，则abc一定是( )a等腰三角形b直角三角形c等腰直角三角形d等边三角形【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用【专题】解三角形【分析】把已知的等式利用正弦定理化简，再利用同角三角函数间的基本关系得到tana与tanb相等，根据a和b都为三角形的内角，得到a与b相等，根据等角对等边得到a=b，即三角形abc为等腰三角形【解答】解：根据正弦定理：=化简已知等式得：=，即tana=tanb，由a和b都为三角形的内角，得到a=b，则abc一定为等腰三角形故选a【点评】此题考查了三角函数中的恒等变换应用，以及正弦定理学生做题时注意角度a和b都为三角形的内角这个条件9不等式ax2+bx+c0（a0）的解集为r，那么( )aa0，0ba0，0ca0，0da0，0【考点】二次函数的性质【专题】计算题【分析】由不等式ax2+bx+c0（a0）的解集为r，知a0，且=b24ac0【解答】解：不等式ax2+bx+c0（a0）的解集为r，a0，且=b24ac0，综上，不等式ax2+bx+c0（a0）的解集为的条件是：a0且0故选a【点评】此题考查了分类讨论及函数的思想解决问题的能力，考查学生掌握解集为r的意义及二次函数的图象与性质，是一道基础题10已知点（3，1）和（4，6）在直线3x2y+a=0的两侧，则a的取值范围是( )aa7或 a24ba=7 或 a=24c7a24d24a7【考点】二元一次不等式的几何意义【专题】不等式的解法及应用【分析】根据二元一次不等式组表示平面区域，以及两点在直线两侧，建立不等式即可求解【解答】解：点（3，1）与b（4，6），在直线3x2y+a=0的两侧，两点对应式子3x2y+a的符号相反，即（92+a）（1212+a）0，即（a+7）（a24）0，解得7a24，故选：c【点评】题主要考查二元一次不等式表示平面区域，利用两点在直线的两侧得对应式子符号相反是解决本题的关键11设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为( )a10b8c2d7【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=3x+z，平移直线y=3x+z，由图象可知当直线y=3x+z，经过点a时，直线y=3x+z的截距最小，此时z最小由，解得，即a（22），此时z的最小值为z=232=8，故选：b【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法12如果方程x2+（2m3）x+m215=0的两个实根一个大于2，另一个小于2，那么实数m的取值范围是( )ab（，1）c（5，+）d（1，5）【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】计算题；函数思想；试验法；函数的性质及应用【分析】由题意得（2）2+（2m3）（2）+m2150，从而解得【解答】解：方程x2+（2m3）x+m215=0的两个实根一个大于2，另一个小于2，（2）2+（2m3）（2）+m2150，m（1，5），故选：d【点评】本题考查了方程与函数的关系应用二、填空题：（每小题5分，共20分）13不等式：x2+4x+50的解集是x|x1或x5【考点】一元二次不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】利用一元二次不等式的解法即可求出【解答】解：x2+4x+50，x24x50，（x5）（x+1）0，x1，或x5，原不等式的解集为x|x1或x5【点评】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键14已知数列an中a1=1，且，则an=【考点】数列递推式【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】由已知数列递推式，利用累加法求得数列的通项公式【解答】解：由，得，（n2）累积得：（n2）a1=1，（n2）验证n=1时，上式成立（nn*）故答案为：【点评】本题考查数列递推式，考查了累积法求数列的通项公式，是中档题15若x，y满足约束条件则的最大值为3【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分abc）设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知oa的斜率最大，由，解得，即a（1，3），则koa=3，即的最大值为3故答案为：3【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法16若xr，ax2+4x+42x2+1恒成立，则a的取值范围是【考点】函数恒成立问题【专题】计算题【分析】可得（a+2）x2+4x+30恒成立，分类讨论：当a+2=0时，4x+30不恒成立，a+20时，由题意可得，解不等式可求a的范围【解答】解：由ax2+4x+42x2+1恒成立可得（a+2）x2+4x+30恒成立当a+2=0时，4x+30不恒成立，故a=2舍去a+20时，由题意可得，解可得，a综上可得，a故答案为：a【点评】本题主要考查了函数的恒成立为题的求解，解题中要注意考虑二次项系数是否为0，三、解答题（本大题共6个小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（1）求不等式的解集；（2）若不等式ax2+bx+20的解集为x|，求a+b的值【考点】其他不等式的解法【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用【分析】（1）通分后问题转化为解不等式x（x1）0，解出即可；（2）根据一元二次不等式和方程的根的关系，解关于a，b的不等式组，解出即可【解答】解：（1）1，10，0，x（x1）0，解得：0x1，不等式的解集是x|0x1；（2）由题意得：，解得，a+b=14【点评】本题考查了解不等式问题，考查一元二次不等式和方程的关系，是一道基础题18已知a、b、c为abc的三内角，且其对边分别为a、b、c，若cosbcoscsinbsinc=（）求a； （）若a=2，b+c=4，求abc的面积【考点】解三角形；三角函数的恒等变换及化简求值【专题】综合题【分析】（）根据两角和的余弦函数公式化简已知的等式，得到cos（b+c）的值，由b+c的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出b+c的度数，然后由三角形的内角和定理求出a的度数；（）根据余弦定理表示出a的平方，配方变形后，把a，b+c及cosa的值代入即可求出bc的值，然后由bc及sina的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形abc的面积【解答】解：（），又0b+c，a+b+c=，（）由余弦定理a2=b2+c22bccosa得 即：，bc=4，【点评】此题考查了三角函数的恒等变换及化简求值，余弦定理及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键19（）若x0，求f（x）=的最小值（）已知0x，求f（x）=x（13x）的最大值【考点】基本不等式在最值问题中的应用【专题】计算题；构造法；不等式的解法及应用【分析】（1）先分析各数为正数，且积为定值，直接使用基本不等式求最小值；（2）先分析各数为正数，且和为定值，直接使用基本不等式求最大值【解答】解：（1）若x0，则3x0，f（x）=+3x2=12，当且仅当：=3x，即x=2时，取“=”，因此，函数f（x）的最小值为12；（2）若，f（x）=x（13x）=，当且仅当：3x=13x，即x=时，取“=”，因此，函数f（x）的最大值为【点评】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，注意其前提条件为“一正，二定，三相等”缺一不可，属于中档题20正数数列an的前n项和为sn，且4sn=试求数列an的通项公式设，bn前n项和sn，求证：【考点】数列的求和；数列的函数特性【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】依题意，可求得a1=1；当n2时，易求anan1=2，从而知数列an是首项为1，公差为2的等差数列，继而可求其通项；利用裂项法可求得bn=（），从而可求其前n项和【解答】解：4sn=，（1）4a1=，即得a1=1；当n2时，4sn1=，（2）（1）（2）得：4an=+2an2an1，（an+an1）（anan1）=2（an+an1），又an0，anan1=2，数列an是首项为1，公差为2的等差数列，an=1+（n1）2=2n1证明：bn=（），sn=b1+b2+bn=（1+）=（1）=（证毕）【点评】本题考查数列的求和，着重考查等差数列的判定与其通项公式的应用，考查裂项法求和，属于中档题21建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的猪圈，底面为长方形的猪圈正面的造价为120元/m2，侧面的造价为80元/m2，屋顶造价为1120元如果墙高3m，且不