弹塑性力学讲义 第四章应力应变关系.pdf

1 第四章第四章 应力应变关系 本构方程 应力应变关系 本构方程 本章讨论弹性力学的第三个基本规律 应力 应变之关系 这是变形体力学研究问题基础之一 在前面第二 三章分别讨论了变形体的平衡规律和几何规律 包括协调条件 ji j fi 0 ij ui j uj i 2 共 9 个方程 但需确定的未知函数共 15 个 ui ij ji ij ji 还需要根据材料的物理性质来建立应力与应变间的关系 ij ji fij kl 第 1 节 应变能 应变能密度与弹性材料的本构关系 第 1 节 应变能 应变能密度与弹性材料的本构关系 1 1 应变能应变能U和应变能密度和应变能密度W 比能 比能 如果弹性体的外力的施加是缓慢进行的 物体无动能 物体发生变 形 产生变性能 也无热能耗散 则根据能量守恒 外力实功转化成应变 能贮存在弹性体中 外力做实功A A U 物体的应变能U VWdV U W 应变能密度 单位体积的应变能 1 2 应变能密度应变能密度W与材料的本构关系与材料的本构关系 当外载 iie ff iie FF 缓慢施加过程中 考察外力施加过程中 瞬时 2 外力功增量变化 在某一时刻t iie ff iie FF 产生 iie uu jiij ee jiij ee 时刻达到t t 位移有增量 iie uu 应变增量 jiij ee 外力功增量 SV dSuFdVufA 函数增量 V i s iii V WdVUdSuFdVuf 应变能增量 A中有体积分和面积分 利用柯西公式和散度定理将面积分换成 体积分 dVudSnudSuF ji V ji S jiiji S i 上式代入外力功增量 UWdVdVdVudVufA V ij V ij V jijiijji V i ijij W W为 ij的函数 因为W只取决于弹性体的初始应变状态和最终应变状态 与变形过 x2 x1 x3 o F f 3 程 加载路线 无关 所以 W为它的全微分 ij ij W W 比较上面二式 得 klij ij ij f W 本构关系 方程 本构关系 方程 适用于各种弹性情况 线性 非线性 适用于各种弹性情况 线性 非线性 由 ijij W 积分得 ijij ij WW 0 应变能密度定义式应变能密度定义式 一些书上写为 ijijd dWW ij 0 第 2 节 第 2 节 线弹性体的本构关系线弹性体的本构关系 2 1 各向异性材料各向异性材料 在线弹性体应力与应变为线性关系 材料均匀和小变形情况 以及 当 ij 0 时 ij 0 用指标符号表示 ij Eijkl kl Eijkl共有 81 个元素 四阶张量常数 ij ij ij d ij dW W 4 由于 ij ji kl lk Eijkl 减少为 6 6 36 个独立系数 用矩阵表示本构关系 c T 123123332211 T 123123332211 666261 262221 161211 CCC CCC CCC C 根据 ij ij W 得 ij kl klijkl ij W 2 则 C 为对称矩阵 C C T 最后Eijkl的独立系数为 21 个 材料为各向异性线弹性材料各向异性线弹性材料 对各向异性材料的本构关系可见 剪应变引起正应力 正应变也产生 剪应力 弹性材料性质一般都具有某些对称性 利用对称可简化 C 中系数 2 2 具有一个弹性对称面的材料具有一个弹性对称面的材料 若物体内各点都有这样一个平面 对此平面对称方向其弹性性质相同 则 称此平面为弹性对称面 垂直弹性对称面 的方向称为弹性主轴 如取弹性对称面为x1 x2面 x3为弹性主轴或材料主轴 并取另一坐标系x i 且x 1 x1 x 2 x2 x 3 x3 x2 x1 x3 弹性主轴弹性主轴 x3 5 在两个坐标下 弹性关系保持不变 则 C 中元素减少为 13 个独立系数 Qi j x1 x2 x3 x 1 x1 1 0 0 x 2 x2 0 1 0 x 3 x3 0 0 1 代入 kl ljkiji QQ kl ljkiji QQ 得 1 1 x x 2 2 x x 3 3 x x 21 2 1 xx xx 13 1 3 xx xx 23 2 3 xx xx 应变分量具有相同关系式 代入两组坐标系下的弹性方程 c 比较得 66 55 4544 3633 262322 16131211 0 0 00 00 00 C C CC CC CCC CCCC C 称对 2 3 具有三个正交弹性对称面的材料 正交各向异性材料具有三个正交弹性对称面的材料 正交各向异性材料 木材 增强纤维复合材料属此种材料 取x1 x2 x3为弹性主 轴 C 中独立系数减少为 9 个 6 66 55 44 33 2322 131211 0 00 000 000 000 C C C C CC CCC C 称对 特点 正应变仅引起正应力 剪应变仅产生剪应力 2 4 横观各向同性材料 弹性体对一个轴对称横观各向同性材料 弹性体对一个轴对称 若通过物体每一点可作这样的轴 如x3轴 在此轴成垂直的 平面内 所有射线方向的弹性性质都是相同的 称这个平面为各向同性面 如地层属于此类 C 中独立系数为 5 个 0 00 000 000 000 1211 44 44 33 1311 131211 CC C C C CC CCC C 称对 2 5 各向同性材料各向同性材料 各个方向弹性性质一样 C 中仅有 2 个独立系数 x1 x2 x3 x1 x2 各向同性面各向同性面 7 G G G G G G GCGCCC CC CC CC C CC CCC C 2 02 002 0002 0002 0002 2 2 0 00 000 000 000 11121112 1211 1211 1211 11 1211 121211 称对 则另 称对 第3节第3节 各向同性材料弹性常数 各向同性材料弹性常数 3 1 本构关系用本构关系用 G 表示表示 采用指标符号表示 ijijkkijijij GG 22 或 kkijijkkijijij GGGG 232 1 22 1 其中 G kk kk 23 或 G e 23 1 e kk 应变第一不变量 体积应变 kk 应力第一不变量 3 2 本构关系用弹性模量本构关系用弹性模量 E 和泊松系数和泊松系数 表示表示 8 令 21 1 E 1 2 E G 或 23 G GG E 2G 则本构关系变为材料力学中最初见到的广义虎克定理的形式 1 zyxx E 1 xzyy E 1 yxzz E yzyz E 1 2 zxzx E 1 2 xyxy E 1 2 采用指标符号表示 kkijijij E 1 1 或 kkijijij E 211 其中 kkkk E 21 或 e 21 E 3Kee 21 3 3 E 3 23 21 3 GE K 体积压缩模量 E 拉压实验测定 G 扭转测定 压缩实验测定 K 静水压力实验测定 9 作业 1 证明 对各向同性弹性体 若主应力 1 2 3 则相应的 主应变 1 2 3 2 将一小物体放在高压容器内 在静水压力为q 0 5N mm2作 用下 测得体积应变为