高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第三节 导数与函数的极值与最值课件 文.ppt

第三节导数与函数的极值与最值 总纲目录 教材研读 1 函数的极值与导数 考点突破 2 函数的最值与导数 考点二利用导数研究函数的最值 考点一运用导数研究函数的极值 考点三函数的极值与最值的综合问题 1 函数的极值与导数 1 函数的极小值若函数y f x 在点x a处的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值 都小 f a 0 而且在点x a附近的左侧 f x 0 则点a叫做函数y f x 的极小值点 f a 叫做函数y f x 的极小值 2 函数的极大值若函数y f x 在点x b处的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值 教材研读 都大 f b 0 而且在点x b附近的左侧 f x 0 右侧 f x 0 则点b叫做函数y f x 的极大值点 f b 叫做函数y f x 的极大值 极大值和 极小值统称为极值 2 函数的最值与导数 1 函数f x 在 a b 上有最值的条件 一般地 如果在区间 a b 上 函数y f x 的图象是一条连续不断的曲线 那么它必有最大值和最小值 2 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤 i 求函数y f x 在 a b 内的 极值 ii 将函数y f x 的各极值与 端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 1 函数f x 的定义域为r 导函数y f x 的图象如图所示 则函数f x a 无极大值点 有四个极小值点b 有三个极大值点 一个极小值点c 有两个极大值点 两个极小值点d 有四个极大值点 无极小值点 c 答案c设f x 的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1 x2 x3 x4 当x0 f x 为增函数 当x1 x x2时 f x 0 f x 为减函数 则x x1为极大值点 同理 x x3为极大值点 x x2 x x4为极小值点 故选c 2 函数y xex的最小值是 a 1b ec d 不存在 答案c y xex y ex xex 1 x ex 当x 1时 y 0 当x 1时 y 0 当x 1时函数取得最小值 且ymin 故选c c 3 2017北京海淀期中 已知函数y f x 的导函数有且仅有两个零点 其图象如图所示 则函数y f x 在x 处取得极值 答案 1 解析由题图知 x 1时 f x 0 所以函数y f x 在x 1处取得极值 1 4 2015北京顺义一模 已知函数f x x3 6x2 9x 则f x 在闭区间 1 5 上的最小值为 最大值为 答案 16 20 考点一运用导数研究函数的极值 考点突破 典例1 2016北京海淀期末 已知函数f x klnx 其中k 0 1 当k 1时 求函数f x 的单调区间和极值 2 若关于x的方程f x k有解 求实数k的取值范围 解析函数f x klnx的定义域为 0 f x 1 当k 1时 f x 令f x 0 得x 1 f x f x 随x的变化情况如下表 所以f x 在x 1处取得极小值 极小值为f 1 1 无极大值 f x 的单调递减区间为 0 1 单调递增区间为 1 2 因为关于x的方程f x k有解 所以可令g x f x k klnx k 则问题转化为函数g x 在 0 内存在零点 g x 令g x 0 得x 当k0 g k k 1 1 0 所以函数g x 存在零点 当k 0时 g x g x 随x的变化情况如下表 所以函数g x 的最小值为g k k kln klnk 当g 0 即00 所以函数g x 存在零点 综上 实数k的取值范围是k 0或k 1 方法技巧运用导数求可导函数y f x 极值的步骤 先求函数的定义域 再求函数y f x 的导数f x 求方程f x 0的根 检查f x 在方程根的左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 如果左右符号相同 则此根处不是f x 的极值点 1 1 2017北京丰台期末 已知函数f x x3 3ax a r 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 若函数f x 在区间 1 2 上仅有一个极值点 求实数a的取值范围 3 若a 1 且方程f x a x在区间 a 0 上恰有两个不相等的实数根 求实数a的最小值 解析 1 因为f x 3 x2 a 所以f 0 3a 因为f 0 0 所以曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y 3ax 2 因为f x 3 x2 a 所以当a 0时 f x 0在r上恒成立 所以f x 在r上单调递增 f x 没有极值点 不符合题意 当a 0时 令f x 0得x 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表所示 方程f x a x在 a 0 上恰有两个不相等的实数根等价于函数h x 在 a 0 上恰有两个不同零点 h x 3x2 1 3a 因为a 1 令h x 0 得x 所以所以 所以因为a 1 所以 a 0恒成立 所以a 2 所以实数a的最小值为2 考点二利用导数研究函数的最值 典例2 2017北京 20 13分 已知函数f x excosx x 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 求函数f x 在区间上的最大值和最小值 方法技巧求函数f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 1 求函数在 a b 内的极值 2 求函数在区间端点的函数值f a f b 3 将函数f x 的极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 2 1 2017北京海淀期中 已知函数f x 1 当a 1时 求函数f x 的单调区间 2 当a 0时 求函数f x 在区间 0 1 上的最小值 解析 1 当a 1时 f x x r f x 令f x 0 解得x2 f x 在 2 上递增 在 2 上递减 2 由f x 得f x x 0 1 令f x 0 解得x 1 1 a 0 当1 0 即 1 a 0时 f x 0在x 0 1 上恒成立 f x 在 0 1 上递增 f x min f 0 1 当0 1 1 即a 1时 f x f x 在 0 1 上的情况如下 f x min f 综上 1 a 0时 f x min 1 a 1时 f x min 解析 1 由f x x3 ax2 bx c 得f x 3x2 2ax b 由曲线y f x 在点x 1处的切线l的斜率为3 可得3 1 2a b 3 当x 时 y f x 有极值 则f 0 即3 2a b 0 由 解得a 2 b 4 由于切点的横坐标为1 所以f 1 4 所以1 a b c 4 得c 5 2 由 1 可得f x x3 2x2 4x 5 f x 3x2 4x 4 令f x 0 解得x1 2 x2 f x f x 的取值及变化情况如下表 所以y f x 在 3 1 上的最大值为13 最小