高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.3 函数的奇偶性与周期性课件 文 北师大版.ppt

2 3函数的奇偶性与周期性 第二章函数概念与基本初等函数 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 奇函数 偶函数的概念图像关于对称的函数叫作奇函数 图像关于对称的函数叫作偶函数 2 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性 一般都按照定义严格进行 一般步骤是 1 考察定义域是否关于原点对称 2 考察表达式f x 是否等于f x 或 f x 若f x 则f x 为奇函数 若f x 则f x 为偶函数 知识梳理 y轴 原点 f x f x 若f x f x 且f x f x 则f x 既是奇函数又是偶函数 若f x f x 且f x f x 则f x 既不是奇函数又不是偶函数 既非奇非偶函数 3 周期性 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的任何值时 都有 那么就称函数y f x 为周期函数 称t为这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个的正数 那么这个就叫作f x 的最小正周期 f x t f x 最小 最小正数 1 函数奇偶性常用结论 1 如果函数f x 是偶函数 那么f x f x 2 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性 偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 3 在公共定义域内有 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 知识拓展 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 偶函数图像不一定过原点 奇函数的图像一定过原点 2 若函数y f x a 是偶函数 则函数y f x 关于直线x a对称 3 函数f x 在定义域上满足f x a f x 则f x 是周期为2a a 0 的周期函数 4 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件 5 若t是函数的一个周期 则nt n z n 0 也是函数的周期 基础自测 1 2 3 4 5 6 题组二教材改编2 已知函数f x 是定义在r上的奇函数 且当x 0时 f x x 1 x 则f 1 答案 2 解析f 1 1 2 2 又f x 为奇函数 f 1 f 1 2 1 解析 1 2 3 4 5 6 4 设奇函数f x 的定义域为 5 5 若当x 0 5 时 f x 的图像如图所示 则不等式f x 0的解集为 解析由图像可知 当0 x 2时 f x 0 当2 x 5时 f x 0 又f x 是奇函数 当 2 x 0时 f x 0 当 5 x0 综上 f x 0的解集为 2 0 2 5 解析 1 2 3 4 5 6 答案 2 0 2 5 解析依题意得f x f x b 0 又a 1 2a 解析 1 2 3 4 5 6 答案 题组三易错自纠5 已知f x ax2 bx是定义在 a 1 2a 上的偶函数 那么a b的值是 6 偶函数y f x 的图像关于直线x 2对称 f 3 3 则f 1 解析 1 2 3 4 5 6 3 答案 解析 f x 为偶函数 f 1 f 1 又f x 的图像关于直线x 2对称 f 1 f 3 f 1 3 题型分类深度剖析 典例判断下列函数的奇偶性 题型一判断函数的奇偶性 师生共研 解答 f x f x 且f x f x 函数f x 既是奇函数又是偶函数 解答 函数f x 为奇函数 解答 解显然函数f x 的定义域为 0 0 关于原点对称 当x 0时 x 0 则f x x 2 x x2 x f x 当x 0时 x 0 则f x x 2 x x2 x f x 综上可知 对于定义域内的任意x 总有f x f x 函数f x 为奇函数 判断函数的奇偶性 其中包括两个必备条件 1 定义域关于原点对称 这是函数具有奇偶性的必要不充分条件 所以首先考虑定义域 2 判断f x 与f x 是否具有等量关系 在判断奇偶性的运算中 可以转化为判断奇偶性的等价关系式f x f x 0 奇函数 或f x f x 0 偶函数 是否成立 跟踪训练 1 下列函数中 既不是奇函数 也不是偶函数的是a y x sin2xb y x2 cosxc y 2x d y x2 sinx 解析 答案 解析对于a f x x sin2 x x sin2x f x 为奇函数 对于b f x x 2 cos x x2 cosx f x 为偶函数 对于d y x2 sinx既不是偶函数也不是奇函数 故选d 2 函数f x lg sinx 是a 最小正周期为 的奇函数b 最小正周期为2 的奇函数c 最小正周期为 的偶函数d 最小正周期为2 的偶函数 解析易知函数的定义域为 x x k k z 关于原点对称 又f x lg sin x lg sinx lg sinx f x 所以f x 是偶函数 又函数y sinx 的最小正周期为 所以函数f x lg sinx 是最小正周期为 的偶函数 解析 答案 解析 答案 题型二函数的周期性及其应用 自主演练 解析由于函数f x 是周期为4的奇函数 2 2017 山东 已知f x 是定义在r上的偶函数 且f x 4 f x 2 若当x 3 0 时 f x 6 x 则f 919 解析 f x 4 f x 2 f x 2 4 f x 2 2 即f x 6 f x f x 是周期为6的周期函数 f 919 f 153 6 1 f 1 又f x 是定义在r上的偶函数 f 1 f 1 6 即f 919 6 解析 答案 6 3 定义在r上的函数f x 满足f x 6 f x 当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x 则f 1 f 2 f 3 f 2018 解析 答案 339 解析 f x 6 f x 周期t 6 当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x f 1 1 f 2 2 f 3 f 3 1 f 4 f 2 0 f 5 f 1 1 f 6 f 0 0 f 1 f 2 f 6 1 f 1 f 2 f 3 f 2015 f 2016 1 336 又f 2017 f 1 1 f 2018 f 2 2 f 1 f 2 f 3 f 2018 339 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质 对函数周期性的考查 主要涉及函数周期性的判断 利用函数周期性求值 题型三函数性质的综合应用 多维探究 命题点1求函数值或函数解析式典例 1 2017 全国 已知函数f x 是定义在r上的奇函数 当x 0 时 f x 2x3 x2 则f 2 解析方法一令x 0 则 x 0 f x 2x3 x2 函数f x 是定义在r上的奇函数 f x f x f x 2x3 x2 x 0 f 2 2 23 22 12 方法二f 2 f 2 2 2 3 2 2 12 12 答案 解析 2 2016 全国 改编 已知f x 为偶函数 当x 0时 f x e x 1 x 则f x 解析 当x 0时 x 0 f x f x ex 1 x 解析 答案 命题点2求参数问题 典例 1 设函数f x 为奇函数 则k 解析 f x 为奇函数 f x f x 2 答案 解析 x 2 x k 2 x k x x2 2x kx 2k 2k kx 2x x2 k 2 解析 10 答案 解析因为f x 是定义在r上且周期为2的函数 即3a 2b 2 即b 2a 由 得a 2 b 4 从而a 3b 10 命题点3利用函数的性质解不等式 典例 1 已知定义在r上的偶函数f x 对任意x1 x2 0 x1 x2 有 0 则a f 3 f 2 f 1 b f 1 f 2 f 3 c f 2 f 1 f 3 d f 3 f 1 f 2 解析 答案 解析由题意知f x 为偶函数 所以f 2 f 2 又x 0 时 f x 为减函数 且3 2 1 f 3 f 2 f 1 即f 3 f 2 f 1 故选a 2 若f x 为奇函数 且在 0 上是减函数 又f 2 0 则x f x 0的解集为 解析 答案 2 2 f x 为奇函数 在 0 上是减函数 f 2 0 x f x 0的解集为 2 2 1 关于奇偶性 单调性 周期性的综合性问题 关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题 2 掌握以下两个结论 会给解题带来方便 f x 为偶函数 f x f x 若奇函数在x 0处有意义 则f 0 0 跟踪训练 1 已知f x 是定义在r上的奇函数 且在 0 上是增加的 若f lgx 0 则x的取值范围是a 0 1 b 1 10 c 1 d 10 解析 答案 解析由题意 函数f x 在r上是增函数 且f 0 0 不等式f lgx 0 f 0 等价于lgx 0 故0 x 1 故选a 2 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增函数 则a f 25 f 11 f 80 b f 80 f 11 f 25 c f 11 f 80 f 25 d f 25 f 80 f 11 解析 答案 解析因为f x 满足f x 4 f x 所以f x 8 f x 所以函数f x 是以8为周期的周期函数 则f 25 f 1 f 80 f 0 f 11 f 3 由f x 是定义在r上的奇函数且满足f x 4 f x 得f 11 f 3 f 1 f 1 因为f x 在区间 0 2 上是增函数 f x 在r上是奇函数 所以f x 在区间 2 2 上是增函数 所以f 1 f 0 f 1 所以f 25 f 80 f 11 函数的性质 高频小考点 函数的奇偶性 周期性及单调性是函数的三大性质 在高考中常常将它们综合在一起命题 解题时 往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性 即实现区间的转换 再利用单调性解决相关问题 考点分析 一 函数性质的判断典例1 1 2017 北京 已知函数f x 3x则f x a 是偶函数 且在r上是增函数b 是奇函数 且在r上是增函数c 是偶函数 且在r上是减函数d 是奇函数 且在r上是减函数 解析 答案 解析 函数f x 的定义域为r 函数f x 是奇函数 又 y 3x在r上是增函数 2 2017 荆州模拟 下列函数 y sin3x 3sinx 解析 答案 其中是奇函数且在 0 1 上是减函数的个数为a 1b 2c 3d 4 解析易知 中函数在 0 1 上为增函数 中函数不是奇函数 满足条件的函数为 3 定义在实数集r上的函数f x 满足f x f x 2 0 且f 4 x f x 现有以下三个命题 8是函数f x 的一个周期 f x 的图像关于直线x 2对称 f x 是偶函数 其中正确命题的序号是 解析 答案 解析由f x f x 2 0可得f x 4 f x 2 f x 函数f x 的周期是4 对 由f 4 x f x 可得f 2 x f 2 x f x 的图像关于直线x 2对称 对 f 4 x f x 且f 4 x f x f x f x f x 为偶函数 对 二 函数性质的综合应用 解析 答案 解析由f x 2 f x 2 可知函数f x 的最小正周期t 4 又由于该函数是奇函数 解析 1 2019 答案 a 1 又由当x 1时 y 1 2018 a 0 得a 2019 a的取值范围是 1 2019 3 已知f x 是定义在r上的偶函数 且在区间 0 上是增加的 若实数a满足f 2 a 1 f 则a的取值范围是 解析 答案 又由已知可得f x 在 0 上是减少的 课时作业 1 下列函数为偶函数的是a f x x 1b f x x2 xc f x 2x 2 xd f x 2x 2 x 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析函数f x x 1和f x x2 x既不是偶函数也不是奇函数 排除选项a和b 选项c中 f x 2x 2 x 则f x 2 x 2x f x 且定义域为r 所以f x 2x 2 x为奇函数 排除选项c 选项d中 f x 2x 2 x 则f x 2 x 2x f x 所以f x 2x 2 x为偶函数 故选d 解析 答案 2 设函数f x ln 1 x ln 1 x 则f x 是a 奇函数 且在 0 1 上是增函数b 奇函数 且在 0 1 上是减函数c 偶函数 且在 0 1 上是增函数d 偶函数 且在 0 1 上是减函数 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析易知函数定义域为 1 1 f x ln 1 x ln 1 x f x 由复合函数单调性判断方法知 f x 在 0 1 上是增函数 故选a 3 2017 江西南城一中模拟 已知r上的奇函数f x 满足 当x 0时 f x x2 x 1 则f f 1 等于a 1b 1c 2d 2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 y f x 是奇函数 f 1 f 1 1 f f 1 f 1 1 解析 4 已知函数f x 是定义在r上的奇函数 其最小正周期为4 且当x 时 f x log2 3x 1 则f 2021 等于a 4b 2c 2d log27 解析 答案 解析 函数f x 是定义在r上的奇函数 其最小正周期为4 f 2021 f 4 505 1 f 1 f 1 f x log2 3x 1 f 1 log2 3 1 1 2 f 2021 f 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 若f x ex ae x为奇函数 则f x 1 e 的解集为a 2 b 1 c 2 d 1 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析因为f x ex ae x为奇函数 所以f 0 1 a 0 6 已知偶函数f x 对于任意x r都有f x 1 f x 且f x 在区间 0 1 上是增加的 则f 6 5 f 1 f 0 的大小关系是a f 0 f 6 5 f 1 b f 6 5 f 0 f 1 c f 1 f 6 5 f 0 d f 1 f 0 f 6 5 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由f x 1 f x 得f x 2 f x 1 f x 函数f x 的周期是2 函数f x 为偶函数 f 6 5 f 0 5 f 0 5 f 1 f 1 f x 在区间 0 1 上是增加的 f 0 f 0 5 f 1 即f 0 f 6 5 f 1 7 若f x ln e3x 1 ax是偶函数 则a 解析函数f x ln e3x 1 ax是偶函数 故f x f x 即ln e 3x 1 ax ln e3x 1 ax 解析 答案 整理得e3x 1 e2ax 3x e3x 1 所以2ax 3x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 已知函数f x 在r上为奇函数 且当x 0时 f x 1 则当x 0时 f x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 当x0 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析依题意知 函数f x 为奇函数且周期为2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 若函数f x 是定义在r上的偶函数 且在区间 0 上是增函数 如果实数t满足f lnt 2f 1 那么t的取值范围是 解析由于函数f x 是定义在r上的偶函数 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 得f lnt f 1 又函数f x 在区间 0 上是增函数 11 已知函数f x 是奇函数 1 求实数m的值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解设x0 所以f x x 2 2 x x2 2x 又f x 为奇函数 所以f x f x 于是x 0时 f x x2 2x x2 mx 所以m 2 2 若函数f x 在区间 1 a 2 上是增加的 求实数a的取值范围 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解要使f x 在 1 a 2 上是增加的 所以1 a 3 故实数a的取值范围是 1 3 12 设f x 是定义域为r的周期函数 最小正周期为2 且f 1 x f 1 x 当 1 x 0时 f x x 1 判断f x 的奇偶性 解 f 1 x f 1 x f x f 2 x 又f x 2 f x f x f x 又f x 的定义域为r f x 是偶函数 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 试求出函数f x 在区间 1 2 上的表达式 解当x 0 1 时 x 1 0 则f x f x x 从而当1 x 2时 1 x 2 0 f x f x 2 x 2 x 2 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 技能提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即函数f x 的周期是4 所以f 2019 f 505 4 1 f 1 因为函数f x 为偶函数 所以f 2019 f 1 f 1 由f x 0 得f 1 1 所以f 2019 f 1 1 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14 设函数f x 是定义在r上的偶函数 且对任意的x r恒有f x 1 f x 1 已知当x 0 1 时 f x 2x 则有 2是函数f x 的周期 函数f x 在 1 2 上是减函