高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第七节 抛物线课件 理.ppt

第七节抛物线 总纲目录 教材研读 1 抛物线的定义 考点突破 2 抛物线的标准方程与几何性质 考点二抛物线的标准方程及性质 考点一抛物线的定义及其应用 考点三直线与抛物线的位置关系 教材研读 1 抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线 1 在平面内 2 与一个定点f和一条定直线l距离 相等 3 l不经过点f 2 抛物线的标准方程与几何性质 1 抛物线y x2的准线方程为 a y 1b y 2c x 1d x 2 a 答案a由y x2得x2 4y 所以抛物线的准线方程为y 1 2 抛物线y 4x2上的一点m到焦点f的距离为1 则点m的纵坐标是 a b c d 0 b 答案b设m x y 且抛物线方程可化为x2 y 则必有 mf y y 1 所以y 3 已知点a 2 3 在抛物线c y2 2px的准线上 记c的焦点为f 则直线af的斜率为 a b 1c d c 答案c由点a 2 3 在抛物线c y2 2px的准线上 得焦点f 2 0 kaf 故选c 4 2017北京石景山一模 11 若抛物线y2 2px的焦点与双曲线 y2 1的右顶点重合 则p 4 答案4 解析易知双曲线的右顶点的坐标为 2 0 2 p 4 5 2018北京海淀高三期末 11 设抛物线c y2 4x的顶点为o 经过抛物线c的焦点f且垂直于x轴的直线和抛物线交于a b两点 则 2 答案2 解析如图 作出抛物线y2 4x的图象 抛物线c的焦点f 1 0 a 1 2 b 1 2 1 2 1 2 2 0 2 考点一抛物线的定义及其应用 考点突破 典例1已知直线l1 4x 3y 6 0和直线l2 x 1 抛物线y2 4x上一动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 a b 2c d 3 答案b 解析由题可知l2 x 1是抛物线y2 4x的准线 设抛物线的焦点为f 则f 1 0 则动点p到l2的距离等于 pf 则动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值 即焦点f到直线l1 4x 3y 6 0的距离 所以最小值是 2 b 方法技巧与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一 将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离 利用 两点之间线段最短 使问题得解 转化策略二 将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离 利用 与直线上所有点的连线中垂线段最短 原理解决 1 1已知点p是抛物线y2 2x上的一个动点 则点p到点 0 2 的距离与点p到该抛物线准线的距离之和的最小值为 a b 3c d 答案a抛物线y2 2x的焦点为f 由抛物线的定义知点p到焦点f的距离等于它到准线的距离 因此要求点p到点 0 2 的距离与点p到抛物线的准线的距离之和的最小值 可以转化为求点p到点 0 2 的距离与点p到焦点f的距离之和的最小值 结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点f与点 0 2 的距离 因此所求的最小值等于 选a a 典例2 1 已知点a 1 y0 y0 0 为抛物线y2 2px p 0 上一点 若点a到该抛物线焦点的距离为3 则y0 a b 2c 2d 4 2 抛物线y2 4x的焦点为f 经过f的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点a 与准线l交于点b 且ak l于k 如果 af bf 那么 akf的面积是 a 4b 3c 4d 8 考点二抛物线的标准方程及性质 c c 答案 1 c 2 c 解析 1 抛物线的焦点为 点a为 1 它们的距离为 3 则 p 4 p 8 0 又因为p 0 所以p 4 所以y0 2 2 设准线l与x轴的交点为m 则 mf p 因为 af bf 所以 ak 2 mf 2p 由抛物线定义知 af ak 所以 af bf 2p 在rt akb中 kb 2p 所以 kaf 60 所以 akf为等边三角形 因此三角形akf的面积为s 2p 2 p2 4 故选c 方法技巧 1 求标准方程要先确定形式 必要时要进行分类讨论 标准方程有时可设为y2 mx或x2 my m 0 2 抛物线的标准方程有四种不同的形式 焦点到准线的距离为p 顶点到准线 焦点的距离为 通径长为2p 2 1 2017北京丰台一模 9 抛物线y2 2x的准线方程是 答案x 解析根据抛物线方程可知2p 2 p 1 准线方程为x x 典例3 2017北京 18 14分 已知抛物线c y2 2px过点p 1 1 过点作直线l与抛物线c交于不同的两点m n 过点m作x轴的垂线分别与直线op on交于点a b 其中o为原点 1 求抛物线c的方程 并求其焦点坐标和准线方程 2 求证 a为线段bm的中点 考点三直线与抛物线的位置关系 解析 1 由抛物线c y2 2px过点p 1 1 得p 所以抛物线c的方程为y2 x 抛物线c的焦点坐标为 准线方程为x 2 证明 由题意 设直线l的方程为y kx k 0 l与抛物线c的交点为m x1 y1 n x2 y2 由得4k2x2 4k 4 x 1 0 则x1 x2 x1x2 因为点p的坐标为 1 1 所以直线op的方程为y x 点a的坐标为 x1 x1 直 线on的方程为y x 点b的坐标为 因为y1 2x1 0 所以y1 2x1 故a为线段bm的中点 方法技巧 1 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆 双曲线的位置关系类似 一般要用到一元二次方程的根与系数的关系进行解题 2 有关直线与抛物线相交的弦长问题 要注意直线是否过抛物线的焦点 若过抛物线的焦点 可直接用公式 ab xa xb p或 ab ya yb p 若不过焦点 则必须用一般弦长公式 3 涉及抛物线的弦长 弦中点等相关问题时 一般采用 设而不求 整体代入 的解法 提醒涉及弦的中点 弦所在直线的斜率时一般用 点差法 求解 3 1已知抛物线y2 2px p 0 过点c 2 0 的直线l交抛物线于a b两点 坐标原点为o 12 1 求抛物线的方程 2 当以ab为直径的圆与y轴相切时 求直线l的方程 解析 1 显然直线l的斜率存在 设l x my 2 代入y2 2px中 得y2 2pmy 4p 0 设a x1 y1 b x2 y2 则y1 y2 2pm y1y2 4p 则x1x2 4 因为 12 所以x1x2 y1y2 12 即4 4p 12 解得p 2 故抛物线的方程为y2 4x 2 1 中 可化为