高考数学一轮复习 第五章 数列 第7讲 数学归纳法配套课件 理.ppt

第7讲数学归纳法 1 运用数学归纳法证明命题要分两步 第一步是归纳奠基 或递推基础 第二步是归纳递推 或归纳假设 两步缺一不可 2 用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题 其中包括恒等式 不等式 数列通项公式 整除性问题 几何问题等 解析 观察数列的通项公式 可得分母n n 1 n 2 n2构成以n为首项 以1为公差的等差数列 项数为n2 n 1 故选d 答案 d 答案 c 3 凸n边形有f n 条对角线 则凸n 1边形有对角线数 f n 1 为 b f n nd f n n 2 a f n n 1c f n n 1 c 上述证法 a 过程全都正确c 归纳假设不正确 b n 1验得不正确d 从n k到n k 1的推理不正确 故当n k 1时 不等式成立 解析 上述证明过程中 在由n k变化到n k 1时 不等式的证明使用的是放缩法而没有使用归纳假设 故选d 答案 d 考点1 用数学归纳法证明恒等式命题 所以当n k 1时 等式也成立 由 1 2 可知 对于一切n n 等式都成立 规律方法 1 用数学归纳法证明等式问题 要 先看项 弄清等式两边的构成规律 等式两边各有多少项 初始值n0是多少 2 由n k时等式成立 推出n k 1时等式成立 一要找出等式两边的变化 差异 明确变形目标 二要充分利用归纳假设 进行合理变形 正确写出证明过程 不利用归纳假设的证明 就不是数学归纳法 互动探究 2 假设当n k k n 时等式成立 即有 所以当n k 1时 等式也成立 由 1 2 可知 对一切n n 等式都成立 考点2 用数学归纳法证明不等式命题 例2 2016年山东潍坊模拟 等比数列 an 的前n项和为sn 已知对任意的n n 点 n sn 均在函数y bx r b 0 且b 1 b r均为常数 的图象上 1 求r的值 2 当b 2时 记bn 2 log2an 1 n n 证明 对任意的 1 解 由题意 sn bn r r 1 当n 2时 sn 1 bn 1 r 所以an sn sn 1 bn 1 b 1 因为b 0 且b 1 所以当n 2时 an 是以b为公比的等比数列 规律方法 应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 当遇到与正整数n有关的不等式证明时 应用其他办法 不容易证 则可考虑应用数学归纳法 用数学归纳法证明不等式的关键是由n k成立 推证n k 1时也成立 证明时用上归纳假设后 可采用分析法 综合法 求差 求商 比较法 放缩法等证明方法 互动探究 2 2012年大纲 函数f x x2 2x 3 定义数列 xn 如下 x1 2 xn 1是过两点p 4 5 qn xn f xn 的直线pqn与x轴交点的横坐标 1 证明 2 xn xn 1 3 2 求数列 xn 的通项公式 即2 xk 1 3也成立 综上可知2 xn 3对任意正整数恒成立 下面证明xn xn 1 由2 xn0 即xn xn 1 综上可知2 xn xn 1 3恒成立 考点3 用数学归纳法证明整除性命题 例3 试证 当n为正整数时 f n 32n 2 8n 9能被64整除 证明 方法一 1 当n 1时 f 1 34 8 9 64 命题显然成立 2 假设当n k k 1 k n 时 f k 32k 2 8k 9能被64整除 32 k 1 2 8 k 1 9 9 32k 2 8k 9 9 8k 9 9 8 k 1 9 9 32k 2 8k 9 64 k 1 即f k 1 9f k 64 k 1 当n k 1时命题也成立 根据 1 2 可知 对任意的n n 命题都成立 方法二 1 当n 1时 f 1 34 8 9 64 命题显然成立 2 假设当n k k 1 k n 时 f k 32k 2 8k 9能被64整除 由归纳假设 设32k 2 8k 9 64m m为大于1的自然数 将32k 2 64m 8k 9代入f k 1 中 得f k 1 9 64m 8k 9 8 k 1 9 64 9m k 1 故当n k 1时命题成立 根据 1 2 可知 对任意的n n 命题都成立 互动探究 3 求证 二项式x2n y2n n n 能被x y整除 证明 1 当n 1时 x2 y2 x y x y 能被x y整除 命题成立 2 假设当n k k 1 k n 时 x2k y2k能被x y整除 则当n k 1时 x2k 2 y2k 2 x2 x2k y2 y2k x2x2