高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数课件 理 北师大版.ppt

4 1任意角 弧度制及任意角的三角函数 第四章三角函数 解三角形 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 角的概念 1 任意角 定义 角可以看成平面内绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 分类 角按旋转方向分为 和 2 所有与角 终边相同的角 连同角 在内 构成的角的集合是s 3 象限角 使角的顶点与重合 角的始边与重合 那么 角的终边在第几象限 就说这个角是第几象限角 如果角的终边在坐标轴上 就认为这个角不属于任何一个象限 知识梳理 一条射线 图形 正角 负角 零角 原点 x轴的非负半轴 k 360 k z 2 弧度制 1 定义 把长度等于长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角 用符号rad表示 读作弧度 正角的弧度数是一个 负角的弧度数是一个 零角的弧度数是 2 角度制和弧度制的互化 180 rad 1 rad 1rad 3 扇形的弧长公式 l 扇形的面积公式 s 半径 正数 负数 0 r 3 任意角的三角函数任意角 的终边与单位圆交于点p x y 时 则sin cos tan x 0 三个三角函数的性质如下表 y x r r 4 三角函数线如下图 设角 的终边与单位圆交于点p 过p作pm x轴 垂足为m 过a 1 0 作单位圆的切线与 的终边或终边的反向延长线相交于点t mp om at 几何画板展示 1 三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号 一全正 二正弦 三正切 四余弦 2 任意角的三角函数的定义 推广 设p x y 是角 终边上异于顶点的任一点 其到原点o的距离为r 知识拓展 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 锐角是第一象限的角 第一象限的角也都是锐角 2 角 的三角函数值与其终边上点p的位置无关 3 不相等的角终边一定不相同 4 若 为第一象限角 则sin cos 1 基础自测 1 2 3 4 5 6 7 8 解析 题组二教材改编2 角 225 弧度 这个角在第象限 3 设角 的终边经过点p 4 3 那么2cos sin 二 答案 4 一条弦的长等于半径 这条弦所对的圆心角大小为弧度 1 2 3 4 5 6 7 8 解析 答案 题组三易错自纠5 2018 秦皇岛模拟 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是a 2k 45 k z b k 360 k z c k 360 315 k z d k k z 1 2 3 4 5 6 7 8 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 解析 7 已知角 0 的终边与单位圆交点的横坐标是 则sin 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 解析 8 2018 济宁模拟 函数y 的定义域为 答案 1 2 3 4 5 6 7 解析 2cosx 1 0 由三角函数线画出x满足条件的终边范围 如图阴影部分所示 8 几何画板展示 题型分类深度剖析 a m nb m nc n md m n 题型一角及其表示 自主演练 答案 解析 因此必有m n 故选b 2 若角 是第二象限角 则是a 第一象限角b 第二象限角c 第一或第三象限角d 第二或第四象限角 解析 解析 是第二象限角 答案 3 2018 宁夏质检 终边在直线y x上 且在 2 2 内的角 的集合为 解析 答案 1 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角 方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合 然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角 典例 1 2017 珠海模拟 已知扇形的周长是4cm 则扇形面积最大时 扇形的圆心角的弧度数是a 2b 1c d 3 解析 题型二弧度制 师生共研 解析设扇形的半径为r 则弧长l 4 2r 扇形面积s lr r 2 r r2 2r r 1 2 1 当r 1时 s最大 此时l 2 扇形圆心角为2弧度 答案 2 若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长 则其圆心角的弧度数是 解析设圆半径为r 则圆内接正方形的对角线长为2r 解析 答案 应用弧度制解决问题的方法 1 利用扇形的弧长和面积公式解题时 要注意角的单位必须是弧度 2 求扇形面积最大值的问题时 常转化为二次函数的最值问题 3 在解决弧长问题和扇形面积问题时 要合理地利用圆心角所在的三角形 跟踪训练 1 2018 湖北七校联考 若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长 则其圆心角的弧度数为 解析 答案 解析如图 等边三角形abc是半径为r的圆o的内接三角形 作om ab 垂足为m 2 已知圆o与直线l相切于点a 点p q同时从a点出发 p沿着直线l向右 q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动 当q运动到点a时 点p也停止运动 连接oq op 如图 则阴影部分面积s1 s2的大小关系是 s1 s2 解析 答案 解析设运动速度为m 运动时间为t 圆o的半径为r 则 ap tm 根据切线的性质知oa ap s1 s2恒成立 命题点1三角函数定义的应用典例 1 2018 山东重点中学模拟 已知角 的终边过点p 8m 6sin30 且cos 则m的值为 解析 题型三三角函数的概念及应用 多维探究 答案 a 第一象限角b 第二象限角c 第三象限角d 第四象限角 答案 解析 解析 命题点2三角函数线的应用典例函数y lg 2sinx 1 的定义域为 答案 如图 在单位圆中作出相应的三角函数线 1 利用三角函数的定义 已知角 终边上一点p的坐标可求 的三角函数值 已知角 的三角函数值 也可以求出点p的坐标 2 利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍 结合三角函数的周期性写出角的范围 跟踪训练 1 2017 济南模拟 已知点p tan cos 在第三象限 则角 的终边在a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 解析 答案 解析 tan 0 cos 0 在第二象限 2 2017 石家庄模拟 若从单位圆中的三角函数线观察sin cos tan 的大小是a sin tan cos b cos sin tan c sin cos tan d tan sin cos 答案 解析 解析如图 作出角 的正弦线mp 余弦线om 正切线at 观察可知sin cos tan 典例 1 如图 在平面直角坐标系xoy中 一单位圆的圆心的初始位置在 0 1 此时圆上一点p的位置在 0 0 圆在x轴上沿正向滚动 当圆滚动到圆心位于c 2 1 时 的坐标为 数形结合思想在三角函数中的应用 思想方法 思想方法指导 思想方法指导在坐标系中研究角就是一种数形结合思想 利用三角函数线可直观得到有关三角函数的不等式的解集 2 2017 合肥调研 函数y lg 3 4sin2x 的定义域为 答案 解析 2 sin2 1 cos2 几何画板展示 解析 1 如图所示 过圆心c作x轴的垂线 垂足为a 过p作x轴的垂线与过c作y轴的垂线交于点b 因为圆心移动的距离为2 所以劣弧 2 即圆心角 pca 2 所以xp 2 cb 2 sin2 yp 1 pb 1 cos2 2 因为3 4sin2x 0 利用三角函数线画出x满足条件的终边范围 如图阴影部分所示 课时作业 1 角 870 的终边所在的象限是a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由 870 1080 210 知 870 角和210 角的终边相同 在第三象限 解析 答案 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 3 2017 福州模拟 已知角 的终边经过点p 4 m 且sin 则m等于a 3b 3c d 3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 4 2018 广州质检 点p的坐标为 2 0 射线op顺时针旋转2010 后与圆x2 y2 4相交于点q 则点q的坐标为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由题意得q 2cos 2010 2sin 2010 5 已知扇形的面积为2 扇形圆心角的弧度数是4 则扇形的周长为a 2b 4c 6d 8 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析设扇形的半径为r r 1 弧长l 4 扇形的周长为l 2r 6 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 2017 怀化模拟 sin2 cos3 tan4的值a 小于0b 大于0c 等于0d 不存在 答案 解析 sin2 0 cos30 sin2 cos3 tan4 0 8 给出下列命题 第二象限角大于第一象限角 三角形的内角是第一象限角或第二象限角 不论是用角度制还是用弧度制度量一个角 它们与扇形的半径的大小无关 若sin sin 则 与 的终边相同 若cos 0 则 是第二或第三象限的角 其中正确命题的个数是a 1b 2c 3d 4 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析举反例 第一象限角370 不小于第二象限角100 故 错 当三角形的内角为90 时 其既不是第一象限角 也不是第二象限角 故 错 正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当cos 1 时 其既不是第二象限角 也不是第三象限角 故 错 综上可知只有 正确 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 2017 河南八市联考 已知角 的顶点在原点 始边与x轴非负半轴重合 点p 4m 3m m 0 是角 终边上的一点 则2sin cos 解析设扇形半径为r 弧长为l 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析利用三角函数线 如图 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 12 满足cos 的角 的集合为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 连接oc od 则oc与od围成的区域 图中阴影部分 即为角 终边的范围 故满足条件的角 的集合为 技能提升练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 13 已知sin sin 那么下列命题成立的是a 若 是第一象限的角 则cos cos b 若 是第二象限的角 则tan tan c 若 是第三象限的角 则cos cos d 若 是第四象限的角 则tan tan 解析如图 当 在第四象限时 作出 的正弦线m1p1 m2p2和正切线at1 at2 观察知当sin sin 时 tan tan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14 已知点p sin cos tan 在第四象限 则在 0 2 内 的取值范围是 答案 解析 得 1 tan 0或tan 1 15 2017 烟台模拟 若角 的终边与直线y 3x重合 且sin 0 又p m n 是角 终边上一点 且 op 则m n 拓展冲刺练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16