高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 2.9函数与方程.doc

2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.9函数与方程1、零点的判定相关链接（1）解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断。（2）用定理：零点存在性定理。注：如果函数在a,b上的图象是连续不断的曲线，且是函数在这个区间上的一个零点，但不一定成立。(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断例题解析例判断下列函数在给定区间是否存在零点。（1） f(x)=x2-3x-18,x1,8;（2） f(x)=log2(x+2)-x,x1,3分析：第（1）问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第（2）问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解。解答：（1）方法一：f(1)=12-31-18=-200f(1)f(8)log22-1=0,f(3)=log25-3log28-3=0,（3） f(1)f(3)0,故f(x)=log2(x+2)-x,x1,3存在零点。方法二：设y=log2(x+2),y=x,，在同一直角坐标系中画出它们的图象，从图象中可以看出当时，两图象有一个交点，因此f(x)=log2(x+2)-x,x1,3存在零点。注：(1)判断函数零点所在的区间，当方程f(x)=0无法解出或函数y=f(x)的图象不易作出时，常用函数零点存在的判定定理判断.(2)判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题.2、函数零点个数的判定相关链接函数零点个数的判定有下列几种方法：(1)解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a,b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. 例题解析判断函数在区间上零点的个数，并说明理由。分析：求的值判断函数在上的单调性函数零点个数。解答：注：在判断函数y=f(x)零点个数时，若方程f(x)=0易解，则用解方程法求解；否则若可转化为两熟悉函数图象交点问题，用图象法求解，但图象画的太粗糙易出现失误；若图象不易画则可利用零点存在的判定定理及函数的性质综合求解.3、与二次函数有关的零点分布问题相关链接设是实系数一元二次方程的两实根，下面为几类常见二次函数零点分布情况需满足于的条件：根的分布（且均为常数）图象满足的条件只有一根在之间或例题解析例（1）m为何值时，f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点；有两个零点且均比-1大；（2）若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点，求褛a 取值范围。分析：（1）二次函数结合图象求解，也可用方程思想求解；（2）利用函数图象求解。解答：（1）若函数f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点，则等价于=4m2-4(3m+4)=0,即4m2-12m-16=0,即m2-3m-4=0,解得m=4或m=-1方法一：方程思想若f(x)有两个零点且均比-1大，设两零点分别为x1,x2,则x1+ x2=-2m, x1x2=3m+4,故只需，故m的取值范围是方法二：函数思想若f(x)有两个零点且均比-1大，结合二次函数图象可知只需满足，故m的取值范围是。（2）若f(x)=|4x-x2|+a有4个零点，即4x-x2|+a=0有四个根，即|4x-x2|=-a有四个根，令g(x)= |4x-x2|,h(x)=-a.则作出g(x)的图象,由图象可知要使|4x-x2|=-a有四个根，则g(x)与h(x)的图象应有4个交点。故需满足0-a4,即-4a2e,即m-e2+2e+1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)-f(x)=0有两个相异实