漫谈力学的思想方法.doc

漫谈力学的思想方法山东省金乡县第二中学(272200) 刘翠芝子曰：“学而不思则罔，思而不学则殆”力学是高中物理的基石，学完了高中物理，你是否能高屋建瓴，总结体会力学的思想方法？笔者不妨把自己的体会，拿来与同学们共同探讨一、矢量和标量物理量分为两类，一类是矢量，既有大小，又有方向，如位移、速度、加速度、力等另一类是标量，只有大小，没有方向，如长度、时间、质量等矢量和标量最大的区别就是运算方法不一样，标量可以直接相加减，但矢量运算遵循平行四边形定则因此，描述一个矢量，不仅要指明它的大小，更要特别指明它的方向可以说，矢量的“方向比大小更重要!”，至少同等重要我们都熟悉南辕北辙的故事，故事中的人之所以被后人嗤笑，被当作愚蠢的代名词，就是因为他没有注意速度的方向我们在分析物理问题时如果不注意矢量的方向，同样会犯错误二、绝对与相对运动是绝对的，静止是相对的同一个物体由于选择不同的参考系运动状态不同所以要描述一个物体的运动首先要选择参考系一般情况下，描述运动的物理量速度v、位移s、加速度a都是以地面为参考系的，物理量中反是涉及到v、s的，如EK()、W（Fs）都是相对地面这个参考系的除了描述运动的物理量及与运动量有关的物理量外，在势能的表达式EPmgh中，由于h是相对的，所以势能也是相对的，但势能的变化（重力做的功），由于h是绝对的，所以势能的变化与选择的参考平面无关与此类似，电势能EPq与零势面的选择有关，但电势能的变化与零电势能面的选择无关三、“变”与“不变”教材本着两个原则编排了确定的五种运动模型这两个原则是：简单到复杂的原则；同类取简单的原则匀速直线运动(或静止)F合大小恒定且v F合=0F合=恒量F合与速度v不在同一直线F合与速度v在同一直线天体运动问题分析基本方法匀变速直线运动匀速圆周运动物 体 的 运 动直线运动曲线运动平抛、斜抛物体的运动运动的合成与分解 F合=恒量匀变速曲线运动五种模型：平衡；匀速速直线运动；平抛运动（抛体运动）；圆周运动(包括天体运动)；简谐运动（此模型在选修部分，这里暂不涉及）知识结构如下：抓住“变”和“不变”，是掌握每一运动模型特点的金钥匙1匀速运动（包括静止）受力特点：F合0（不变）加速度特点a=0（不变）速度特点：v=C（常数），匀速运动的位移随时间均匀增大2匀变速直线运动：受力特点：合外力F合恒量且与速度在一条直线上加速度特点：加速度a恒量，与速度同直线速度特点：大小变化，方向不变运动的研究方法：先选定正方向，确定速度、位移、加速度的正负；再分析运动过程，选用恰当的匀变速直线运动的公式解题3匀变速曲线运动的典型例子：平抛运动和类平抛运动受力特点：F合恒量且合外力方向与初速度方向垂直加速度特点：加速度a恒量速度特点：速度大小和方向都改变运动的研究方法：先根据运动的分解，将曲线运动进行分解为两个已知规律的简单的直线运动来研究4匀速圆周运动受力特点：合外力大小恒定，方向时刻指向圆心加速度特点：大小恒定，方向始终指向圆心，改变速度的方向速度特点：线速度大小不变，方向沿切线方向，时刻发生变化运动的研究方法：动力学问题的研究方法，即：明确研究对象；分析物体的受力情况；求物体在圆心方向的合外力；列牛顿第二定律方程；解方程或进行必要的讨论【例1】（07年高考广东文科基础卷56）图1是描述质点a、b、c、d做直线运动的速度图象和位移图象根据图象，下列判断正确的是图 1Aa匀加速运动，b静止不动，c匀加速运动，d静止不动Ba静止不动，b匀速运动，c匀速运动，d匀加速运动Ca静止不动，b匀速运动，c静止不动，d匀加速运动Da匀速运动，b匀加速运动，c静止不动，d匀速运动【解析】在左边的速度图象中，a是一条时间轴的平行线，表示速度不随时间发生变化，即匀速直线运动；b是一条倾斜向上的直线，其斜率表示加速度，即a不变，物体做匀加速直线运动在右边的位移图象中，c是一条时间轴的平行线，表示位移不随时间发生变化，即静止不动，d是一条倾斜向上的直线，其斜率不变表示速度，物体做匀速直线运动【答案】D【点评】复习时将比较相似又容易弄错的知识放在一起对比、总结，抓住各种运动模型中什么“不变”，什么“变化”，可以达到事半功倍的效果【例2】（07年全国卷第23）甲、乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9m/s的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记在某次练习中，甲在接力区前S0=13.5m处作了标记，并以v=9m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒已知接力区的长度为L=20m求：（1）此次练习中乙在接棒前的加速度a；x113.5mx2s接力区20m图2（2）在完成交接棒时乙离接力区末端的距离【解析】(1)设经过时间t，甲追上乙，在这段时间内甲做匀速运动，位移x1=vt，乙做匀加速运动，位移x2=vt/2，两人的运动位移情况如图2所示，则根据题意有x1-x2=vt-vt/2=13.5将v=9代入得到：t=3s,对乙，再有 v=at，解得：a=3m/s2(2)设在追上乙的时候，乙走的距离为s2=vt/2=13.5m，所以乙离接力区末端的距离为s=20-13.5=6.5（m）【点评】本题以大家耳熟能祥的体育项目为依托，考查运动学中常见的运动模型追及问题分析清楚每个物体运动的特点，找出其运动量间的联系（位移关系和速度关系），画好运动情况草图，是解题的关键【例3】如图3所示，光滑斜面长为c，宽为b，倾角为,一小物体在斜面上方左端顶点P水平射入，恰能从右下方端点Q离开斜面，试求：(1)其入射的初速度v0.（2）到达底端Q点时的速度大小【解析】（1）物体受到两个力的作用：重力和斜面对物体的支持力，这两个力的合力大小一定，方向沿斜面向下，与速度方向垂直，所以物体的运动形式与平抛运动类似，可称为“类平抛运动”处理平抛和类平抛运动的方法是运动的合成与分解在平行于斜面方向上不受力的作用，所以做匀速直线运动，有b=v0tQbv0cP图3在垂直于斜面方向：F合mgsin=ma，c=由得：（2）由动能定理：mgcsin=由两式得：物体运动到底端Q点时的速度点评：这是一道将平抛运动的特点、规律迁移到斜面上的典型的“类平抛”的题目分析时抓住物体抛出后在斜面上的受力情况，分析出合力恒定、方向与初速度方向垂直，所以它遵循和平抛运动相似的规律比较典型的“类平抛运动”还有带电粒子垂直进入匀强电场中的运动平抛和类平抛运动都是高考考查的重点和热点【例4】狗拉着雪撬在水平冰面上沿着圆弧形的道路匀速行驶，图4为四个关于雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的示意图(O为圆心)，其中正确的是 ( )ABACAD A图4【解析】雪橇在水平面上受到拉力和摩擦力作用，两个力的合力提供雪橇做圆周运动的向心力，由于拉力方向与运动方向一致，沿圆周的切线方向，所以摩擦力的方向应如D图所示【答案】D【易错警示】由于物体做匀速圆周运动，其所受的合外力提供向心力，所以摩擦力的方向并不指向圆心，也不与速度方向反向通过此题可以加深对匀速圆周运动的受力特点的理解此题有的同学认为摩擦力的方向与运动方向相反，错选A，也有同学套用只有摩擦力提供向心力的情况而错选B四、状态与过程1物理量力学中的物理量，有些与某一状态对应，我们称为状态量，如动能EK，势能EP等；有些是和某一过程对应的，如功WFS2物理规律解决力学问题有两大规律体系：动力学观点和能量观点动力学观点的核心是牛顿第二定律，牛顿第二定律是力和加速度的瞬时对应关系，是对某一状态来列式的；功能关系中主要规律有动能定理和机械能守恒定律，它们是对某一过程来说的（1）动力学观点牛顿第二定律F合=ma是力的瞬时作用规律，它给出的是加速度和力的瞬时关系，包含两个方面的含义：无论物体所受的F合的方向如何变化，物体运动的加速度a的方向总是现F合方向相同；无论物体所受的合外力F合的大小如何变化，物体运动的加速度a总是和F合同步变化由此看出，用牛顿第二定律解题时，要求考虑具体的受力情况和运动细节所以题目中对应某一瞬时的情况必须用牛顿第二定律，如果用牛顿第二定律解决一个过程的问题，该过程必须加速度a保持不变，如匀变速直线运动过程【例5】质量均为m的A、B两球之间连有一轻弹簧，放在光滑的水平台面上，A球紧靠墙壁，如图5所示今用力F将B球向左推压弹簧，静止后，突然将力F撤去的瞬间()图5AA的加速度大小为BA的加速度为零CB的加速度大小为DB的加速度大小为【解析】当用F压B球时，B水平方向上受到一对平衡力，即弹簧的弹力(- F)和外力F，A水平方向上也受到一对平衡力，即弹簧的弹力和墙壁对A球的弹力当F撤去的瞬间A、B球由于惯性保持静止状态，所以弹簧的形变量未发生变化，即弹簧的弹力不变，对于A球受力情况不变，所以仍加速度为零，对于B球由于外力F撤去，仅剩弹簧弹力- F，所以aB =本题正确选项BD【答案】BD【点评】由于加速度和力具有瞬时对应关系，所以当力发生变化时，加速度会随之发生变化解决此类问题，应先分析变化前物体的受力情况，再分析变化对各力的影响，是否变，变化后为多少，从而求出变化后各物体的合外力注意弹簧、橡皮绳产生的弹力一般不能发生突变，故在其它外力变化的瞬时认为弹簧弹力不变化(2)能量观点以功能关系及能量守恒为依据处理力学问题的观点称之为能量观点功和能转化并守恒的思想不仅为解决力学问题开辟了一条新途径，同时也是分析解决电磁学、热学等领域中问题的重要依据力学中常用的功能关系：a.合外力做的功等于物体动能的增量(此即动能定理)，即W合=Ek=Ek2-Ek1b.重力做的功等于重力势能增量的负值，即WG=-EPc.弹簧弹力做的功等于弹簧弹性势能增量的负值，即W弹=-EPd.除系统内的重力和弹力外，其它力做功的代数和等于系统机械能的增量，即W其它=Ee.由于滑动摩擦力而产生的内能Q=f滑S相对=E，式中E为系统机械能的减小量，S相对是相对路程动能定理是功、能关系的核心：合外力做的功等于物体动能的变化（这里的合外力指物体受到的所有外力的合力，包括重力）表达式为W合=EK=动能定理也可以表述为：外力对物体做的总功等于物体动能的变化，即W总W1W2W3=EK=实际应用时，后一种表述比较好操作不必求合力，特别是在全过程的各个阶段受力有变化的情况下，只要把各个力在各个阶段所做的功都按照代数和加起来，就可以得到总功动能定理建立起过程量（功）和状态量（动能）间的联系这样，无论求合外力做的功还是求物体动能的变化，就都有了两个可供选择的途径所要注意的是：功和动能都是标量，动能定理表达式是一个标量式，不能在某一个方向上应用动能定理动能定理应用时掌握八个字“一个过程，两个状态”机械能守恒定律：内容：在只有重力、弹力做功的情形下，物体的动能和势能（包括重力势能和弹性势能）发生相互转化，但机械能的总量保持不变机械能守恒定律的常见的两种表达形式(a).，即；(b).； 用(a)时，需要规定重力势能的参考平面用(b)时则不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系尤其是用E增=E减，只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了图6【例6】（07高考山东卷24）如图6所示，一水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动，圆盘边缘有一质量m=1.0kg的小滑块当圆盘转动的角速度达到某一数值时，滑块从圆盘边缘滑落，经光滑的过渡圆管进入轨道ABC以知AB段斜面倾角为53，BC段斜面倾角为37，滑块与圆盘及斜面间的动摩擦因数均=0.5，A点离B点所在水平面的高度h=1.2m滑块在运动过程中始终未脱离轨道，不计在过渡圆管处和B点的机械能损失，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，取g=10m/s2,sin37=0.6; cos37=0.8（1）若圆盘半径R=0.2m，当圆盘的角速度多大时，滑块从圆盘上滑落？（2）若取圆盘所在平面为零势能面，求滑块到达B点时的机械能（3）从滑块到达B点时起，经0.6s正好通过C点，求BC之间的距离【解析】(1)滑块在圆盘上做圆周运动时，静摩擦力充当向心力，根据牛顿第二定律，可得：mg=m2R代入数据解得：=5rad/s（2）滑块在脱离A点时的速度：vA=R=1m/s从A到B的运动过程由动能定理，由此解得：vB=4m/s，在B点时的机械能EB=-mgh=-4J（3）滑块沿BC段向上运动时的加速度大小：a1=g（sin37+cos37）=10m/s2返回时的速度大小：a2=g（sin37-cos37）=2m/s2BC间的距离：sBC=0.76m【点评】圆周运动、平抛运动、匀变速直线运动等运动形式经常相组合考查，综合考查同学们运用力学基本观点解题的能力注意体会本题的研究方法和选用的物理观点：求某一时刻力和瞬时速度（角速度等，实际上是向心加速度)的对应关系，应用牛顿第二定律，如本题的第（1）小问；在一个过程中往往应用动能关系列方程，如第（2）小问；如果一个过程是匀变速直线运动，则可根据解决问题的方便，或用动能定理，或用牛顿第二定律与匀变速直线运动的公式相结合解题，如第（3）小问五、个体与整体此话题说一说研究对象的选取问题1用牛顿第二定律解题要灵活选用整体法和隔离法【例7】如图7所示，在光滑水平面上有一小车A，其质量为mA=2.0kg，小车上放一个物体B，其质量为mB=1.0kg，如图甲所示，给B一个水平推力F，当F增大到稍大于3.0N时，A、B开始相对滑动，如果撤去F，对A施加一个水平推力F，如图乙所示，要使A、B不相对滑动，求F的最大值Fm.FAB甲BAF乙图7【解析】对甲中情况，设A、B间的静摩擦力达到最大值时，系统的加速度为a，根据牛顿第二定律有：代入数据解得：根据题图乙，设A、B刚开始滑动时系统的加速度为,根据牛顿第二定律有：解得：Fm6.0 N【答案】6.0 N【点评】具有相同加速度的连接体问题，解题时一般先利用整体法求加速度，再用隔离法求物体之间的作用力但也不尽然，如果连接体中的某一个物体的受力情况确定，也可以选隔离这一个物体，求出加速度，再求其他外力2动能定理的应用应用动能定理解题的研究对象一般是对单个物体来说的，但特殊情况下也可以选物体系为研究对象【例8】、（2005全国）如图8所示，在水平桌面的边角处有一轻质光滑的定滑轮K，一条不可伸长的轻绳绕过K分别与物块A、B相连，A、B的质量分别为mA、mB开始时系统处于静止状态现用一水平恒力F拉物块A，使物块B上升已知当B上升距离为h时，B的速度为v求此过程中物块A克服摩擦力所做的功（重力加速度为g）FKBAFBKA图8解析：在此过程中，B克服重力所做的功为，A、B动能增量为：，恒力F所做的功为，用表示A克服摩擦力所做的功，根据动能定理有：解得：点评：对于这样多物体的问题，过程繁琐，用牛顿运动定律解题往往相当复杂，而用能量观点解题往往可以简化但从能量角度看，如果对个体列方程往往是用动能定理，对系统往往需从总体能量守恒的观点来分析3机械能守恒定律的应用机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内通常我们说“小球的机械能守恒”其实中包括地球在内的，因为重力势能就是小球和地球所共有的，只是中国人说话崇尚简略，而只突出了“小球”而没有特别指出地球另个，除地球外，对解决两个或两个以上的物体组成的物体系，应用机械能守恒定律解题更为简便图9【例9】如图9所示，一根长为1m，可绕O轴在竖直平面内无摩擦转动的细杆AB，已知，质量相等的两个球分别固定在杆的A、B端，由水平位置自由释放，求轻杆转到竖直位置时两球的速度？【解析】由于A、B球在同一杆上，所以两球具有相同的角速度，所以有由于A、B组成的系统机械能守恒，所以系统重力势能的减少量等于动能的增加量，则：因为，即：所以有：【点评】对A、B单独一个物体来说，其机械能并不守恒，但选A、B（包括地球）为系统，机械能守恒，所以解此题应用系统的机械能守恒列方程另外注意两球的角速度相等，其线速度不相等，由角速度相等得出两球的线速度关系是解本题的第二个关键点六、基本方法与结论物理公式可以定量地表示概念和规律，可以说物理公式构成了物理学的框架，必须熟记、理解和应用在学习中还会遇到一些式子和结论，虽不属于物理公式、定理，但由于分析问题时用的多，某些时候可直接应用，起到了公式的作用，熟记这些结论可以起到灵活解题、快速解题的效用1公式的由来：汽车以额定功率启动，设额定功率为Pm，牵引力为F，有Pm=Fv，随着速度的增大，牵引力不断减小，汽车的加速度随速度的增大而不断减小，当a=0时，汽车的速度达到最大值，此时由于Ff,故行驶的最大速度，以后汽车将做匀速运动【例10】质量为m的汽车，沿平直的公路加速行驶，当汽车的速度为v1时，汽车立即以不变的功率P继续行驶，经过距离s，速度达到最大值v2设汽车行驶过程中受到的阻力始终不变，求汽车的速度从v1增至最大值v2的过程中，牵引力所做的功以及所经历的时间【解析】汽车是以恒定的功率从v1增到最大速度的，在此过程中牵引力一直在减小，可见牵引力做功不能根据功的公式直接求出，所经历的时间也不能根据牛顿定律和运动学公式得到，均需从动能定理入手设汽车的最大行驶速度为v2，汽车行驶过程中受到的阻力为Ff，则有：PFv2=Ffv2由动能定理得：W牵Ffs=mv22-mv12由两式解得：W牵mv22-mv12由于汽车是以恒定的功率P行驶，所以有：W牵Pt解得：t=【点评】：该类问题一般涉及两种情况：一是以额定功率起动的汽车运动问题，再是以恒定牵引力起动的汽车运动问题不管哪一类问题，汽车能达到的最大行驶速度都为，其中Ff为阻力2公式的由来：绳牵引小球在竖直面内(或小球在竖直圆轨道的内侧)运动，上升到最高点的临界速度设为v，设此时的拉力为F，根据牛顿第二定律，有F+mg=m，随着速度v的减小，F减小，当F=0时，v即为小球能够通过最高点的最小(临界)速度，vmin=图10【例11】（07年全国高考卷23）如图10所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动要求物块能通过圆形轨道的最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg（g为重力加速度）求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围【解析】设物块在圆形轨道最高点的速度为v，由机械能守恒得物块在最高点受的力为重力mg、轨道的压力N重力与压力的合力提供向心力，有 物块能通过最高点的条件是，即当N0，只有重力提供向心力时为通过最高点的临界条件，有mg由可得由式得按题的要求，由式得由式得h的取值范围是：Rh5R【答案】Rh5R【点评】解本题的关键是对小球运动到最高点临界条件的分析要注意小球在竖直面内做圆周运动，不同条件下有不同的临界速度，如轻杆连接的物体做圆周运动刚好能到达最高点的临界条件是，杆的支持力等于重力，小球临界速度等于零；绳拉物体运动（或圆形轨道的内侧），能够通过最高点的临界条件是拉力（或轨道向下的压力）等于零，此时有通过最高点的最小速度vmin=；在圆形轨道的外侧做圆周运动的物体，能够通过最高点的临界条件是，支持力等于零，物体不飞出而做圆周运动的最大速度vmax=所以分析问题要仔细，要具体问题具体分析，不能乱套公式3g=公式的由来：由于物体随地球自转的向心加速度很少，可以近似认为地球对物体的万有引力近似等于其所受的重力，有mg=，可得：g=或在题给条件中，若地球质量未知，而给出地球表面的重力加速度g和地球半径R，则可用gR2替代GM，此式在天体和卫星运动等问题中被广泛使用，因此被冠以“黄金代换”的美称【例12】下面为某报纸的一篇科技报道，你能发现其中的科学性问题吗？请通过必要的计算加以说明下面的数据在你需要时可选用本报讯 国家天文台台长、中科院院士艾国祥22日说，首个中国人研制的目前世界上口径最大的空间太阳望远镜将于2008年升空这标志着中国科学家将全面参与全球科学领域最尖端的太阳探测活动据悉，这座口径为1m的热光学望远镜将安装在一颗天文探测卫星上，被运载火箭送入离地面735公里的地球同步轨道它将用于全面观测太阳磁场、太阳大气的精细结构、太阳耀斑能量的积累和释放以及日地空间环境等引力常量G=6.710-11Nm2/kg2；地球表面重力加速度g=10m/s2；地球半径R=6.4106m；地球自转周期T=8.6104s(7080的立方根约取4.2)【解析】本报道中，地球同步卫星高度735公里的数据出错，以下的计算可以说明由同步卫星的周期T(等于地球自转的周期)，可以求出同步的高度设卫星的质量为m，离地面高度为h在地球同步轨道上，卫星受地球的万有引力提供卫星绕地球运转所需的向心力，有：G在地球表面上，质量为m0的物体，受地球的万有引力等于物体的重力，有：，得：GM=gR2由式可得h=，代入数据得：h=3.6107m=3.6104km，所以报道中的数据h=735公里比同步卫星的高度小了