广东省珠海四中高三数学理二轮专题复习 立体几何(1).doc

2014高三数学（理）专题复习-立体几何一、选择题1、（2013广东高考）某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )a . b c d2、（2013广东高考）设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )a . 若,则 b若,则c若,则 d若,则3、（2012广东高考）某几何体的三视图如图1所示，它的体积为（ ）a.b.c.d.4、（2011广东高考）如图1 3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为a b c d图15、（2014江门高三12月调研）如图1，、分别是正方体中、上的动点（不含端点），则四边形的俯视图可能是a b c d6、（2014揭阳一模）一简单组合体的三视图如图（1）所示，则该组合体的体积为 a. b. c. d.二、解答题7、（2014广东高考）如图1,在等腰直角三角形中,分别是上的点,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.() 证明:平面； () 求二面角的平面角的余弦值.cobdeacdobe图1图28、（2012广东高考）如图5所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面.（）证明：平面；（）若，求二面角的正切值.9、图5（2011广东高考）如图5，在锥体中，是边长为1的菱形，且，分别是的中点（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值10、已知梯形abcd中，adbc，abc =bad =，ab=bc=2ad=4，e、f分别是ab、cd上的点，efbc，ae = x，g是bc的中点沿ef将梯形abcd翻折，使平面aefd平面ebcf （如图）.（1）当x=2时，求证：bdeg ；（2）若以f、b、c、d为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；（3）当取得最大值时，求二面角d-bf-c的余弦值11、（2014广州一模）图5如图5，在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在棱上，且满足（1）求证：；（2）在棱上确定一点， 使，四点共面，并求此时的长；（3）求平面与平面所成二面角的余弦值12、（2014揭阳一模）如图(6)，四棱锥sabcd的底面是正方形，侧棱sa底面abcd，过a作ae垂直sb交sb于e点，作ah垂直sd交sd于h点，平面aeh交sc于k点，且ab=1，sa=2（1）设点p是sa上任一点，试求的最小值；（2）求证：e、h在以ak为直径的圆上；（3）求平面aekh与平面abcd所成的锐二面角的余弦值13、已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形()求此几何体的体积；()求异面直线与所成角的余弦值；()探究在上是否存在点q，使得，并说明理由14、（2014江门高三12月调研）如图2，直三棱柱中，棱，、分别是、的中点 求证：平面； 求直线与平面所成角的正弦值15已知正方形abcd的边长为1，将正方形abcd沿对角线折起，使，得到三棱锥abcd，如图所示（i）若点m是棱ab的中点，求证：om平面acd；（ii）求证：；（iii）求二面角的余弦值 答案：1、b2、d3、c4、b5、d6、选d。由三视图知，此组合体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体、中心去除一个半径为1的圆柱，故其体积为7、() 在图1中,易得cdobeh连结,在中,由余弦定理可得由翻折不变性可知,所以,所以,理可证, 又,所以平面.() 传统法:过作交的延长线于,连结,因为平面,所以,所以为二面角的平面角.结合图1可知,为中点,故,从而cdoxe向量法图yzb所以,所以二面角的平面角的余弦值为.向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,所以,设为平面的法向量,则,即,解得,令,得由() 知,为平面的一个法向量,所以,即二面角的平面角的余弦值为.9、解析：（）因为平面，平面，所以.又因为平面，平面，所以.而，平面，平面，所以平面.（）由（）可知平面，而平面，所以，而为矩形，所以为正方形，于是.法1：以点为原点，、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.则、，于是，.设平面的一个法向量为，则，从而，令，得.而平面的一个法向量为.所以二面角的余弦值为，于是二面角的正切值为3.法2：设与交于点，连接.因为平面，平面，平面，所以，于是就是二面角的平面角.又因为平面，平面，所以是直角三角形.由可得，而，所以，而，所以，于是，而，于是二面角的正切值为.9、（1）证明：取的中点，连接，在边长为1的菱形中，是等边三角形，平面分别是的中点，平面（2）解：由（1）知，是二面角的平面角易求得二面角的余弦值为xyz10、（1）方法一：平面平面，aeef，ae平面，aeef，aebe，又beef，故可如图建立空间坐标系e-xyz ，又为bc的中点，bc=4，则a（0，0，2），b（2，0，0），g（2，2，0），d（0，2，2），e（0，0，0），（2，2，2），（2，2，0），（2，2，2）（2，2，0）0，4分方法二：作dhef于h，连bh，gh， 由平面平面知：dh平面ebcf，而eg平面ebcf，故egdhh为平行四边形，且，四边形bghe为正方形，egbh，bhdhh，故eg平面dbh， 而bd平面dbh， egbd4分（2）ad面bfc，所以 =va-bfc，即时有最大值为 8分（3）设平面dbf的法向量为，ae=2， b（2，0，0），d（0，2，2），h_emfdbacgf（0，3，0）， （2，2，2）， 则 ，即，取，面bcf一个法向量为 则cos=，13分由于所求二面角d-bf-c的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为14分11、推理论证法：（1）证明：连结，因为四边形是正方形，所以 在正方体中，平面，平面，所以 因为，平面，所以平面 因为平面，所以（2）解：取的中点，连结，则 在平面中，过点作，则连结，则，四点共面 因为，所以故当时，四点共面 （3）延长，设，连结， 则是平面与平面的交线过点作，垂足为，连结，因为，所以平面因为平面，所以所以为平面与平面所成二面角的平面角 因为，即，所以 在中，所以 即因为，所以所以所以故平面与平面所成二面角的余弦值为空间向量法：（1）证明：以点为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，则，所以， 因为，所以所以 （2）解：设，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以（所以存在实数，使得因为，所以所以，所以故当时，四点共面（3）解：由（1）知，设是平面的法向量，则即取，则，所以是平面的一个法向量而是平面的一个法向量，设平面与平面所成的二面角为，则故平面与平面所成二面角的余弦值为12、（1）将侧面sab绕侧棱sa旋转到与侧面sad在同一平面内，如右图示，则当b、p、h三点共线时，取最小值，这时，的最小值即线段bh的长，设,则，在中，,-2分在三角形bah中，有余弦定理得：.-4分（2）证明：sa底面abcd，sabc，又abbc，bc平面sab，又平面sab，eabc，又aesb，ae平面sbc ，又平面sbc，eaek， 同理 ahkh，e、h在以ak为直径的圆上（3）方法一：如图，以a为原点,分别以ab、ad、as所在的直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如右图示，-10分则s（0，0，2），c（1，1，0），由（1）可得aesc，ahsc，sc平面aekh，为平面aekh的一个法向量，-11分为平面abcdf的一个法向量，-12分设平面aekh与平面abcd所成的锐二面角的平面角为，则-13分平面aekh与平面abcd所成的锐二面角的余弦值-14分【方法二： 由可知,故,又面aekh，面aekh, 面aekh. -10分设平面aekh平面abcd=l，面aekh，-11分bdac，ac，又bdsa，bd平面sac，又平面sac，bdak， ak， 为平面aekh与平面abcd所成的锐二面角的一个平面角，-13分平面aekh与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为-14分】13解：（）由该几何体的三视图可知垂直于底面，且，此几何体的体积为； 解法一：（）过点作交于，连接，则或其补角即为异面直线与所成角，在中，；即异面直线与所成角的余弦值为。（）在上存在点q，使得；取中点，过点作于点，则点为所求点；连接、，在和中，以为圆心，为直径的圆与相切，切点为，连接、，可得；，； 14分解法二：（）同上。（）以为原点，以、所在直线为、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，得，又异面直线与所成角为锐角，异面直线与所成角的余弦值为。（）设存在满足题设的点，其坐标为，则， ；点在上，存在使得，即，化简得， ，代入得，得，；满足题设的点存在，其坐标为。14、证明与求解：，底面，1分，2分，因为，所以平面3分，4分，因为，所以平面5分（方法一）以c为原点，ca、cb、cc1在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系6分，则、7分，、8分，、9分，设平面的一个法向为，则10分，即，取11分，所以12分，13分。（方法二），6分，所以，7分，由知，所以平面8分。延长到，延长到，使，连接、9分，在中，10分，11分，是平面的法向量，由所作知，从而，所以13分。其他方法，例如将直三棱柱补成长方体，可参照给分。15、解：(i) 在正方形abcd中，