高考数学 黄金易错点专题汇编 专题10 空间直线与平面.doc

专题10 空间直线与平面1如图，在四棱锥p-abcd中，底面abcd是正方形，侧棱pd底面abcd，pd=dc，e是pc的中点，作efpb于点f.（1）证明：pa/平面edb；（2）证明：bp平面efd；（3）求二面角cpdd的大小.2下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点m、n、p分别为其所在棱的中点，能得出l面mnp的图形的序号是_.(写出所有符合要求的图形序号)3如图10-8，在三棱锥sabc中，abc是边长为4的正三角形，平面sac平面abc，sa=sc=2，m、n分别为ab、sb的中点。（1）证明：acsb；（2）求二面角ncmb的大小； （3）求点b到平面cmn的距离。4在长方体abcda1b1c1d1中，已知ab=4，ad=3，aa1=2，e、f分别是线段ab、bc上的点，且eb=fb=1。 （1）求二面角cdec1的正切值 （2）求直线ec1与fd1所成角的余弦值。5在空间中，与一个abc三边所在直线距离都相等的点的集合是 （ ）a一条直线b两条直线c三条直线d四条直线6如图10-15，在棱长为4的正方体abcda1b1c1d1中，o是正方形a1b1c1d1的中心，点p在棱cc1上，且cc1=4cp。（1）求直线ap与平面bcc1b1所成角的大小（结果用反三角表示）；（2）设o点在平面d1ap上的射影为h，求证：d1hap；（3）求点p到平面abd1的距离。7如图10-22，在正三棱柱abca1b1c1中，ab=3，aa1=4，m为aa1的中点，p是bc上一点，且由p沿棱柱侧面经过棱cc1到m的最短路线长为，设这条最短路线与cc1的交点为n。 求：（1）该三棱柱侧面展开图的对角线长；（2）pc与nc的长；（3）平面nmp与平面abc所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）。2【错误解答】由于l在mn、np、mp所在的面内的射影分别为各面正方形的对角线，由正方形的性（3）在rtnef中，nf=scmn=cmnf=，scmb=bmcm=2.设点b到平面cmn的距离为h, vbcmn=vn-cmb,ne平面cmb，scmnh=scmbne，h=即点b到平面cmn的距离为。 （2）设ec1与fd1所成的角为，则cos=正解二：（1）以、分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间坐标系，ab平面bcc1b1，角）。在rtphc中，pch=pcp1=60，ch=、在rtnch中tannhc=nhc=arctan平面nmp与平面abc所成二面角（锐角）的大小为arctan。解法2：mpn在abc上的射影为apc，设所求的角为则cos=.故平面nmp与平面abc所成二面角（锐角）的大小为arccos.易错起源1、空间直线与平面的位置关系 例1如图10-4所示，在正三棱锥abcd中，bac=30，ab=a，平行于ad、bc的截面efgh分别交ab、bd、dc、ca于e、f、g、h。（1）判定四边形efgh的形状，并说明理由；（2）设p是棱ad上的点，当ap为何值时，平面pbc平面efgh，请给出证明。（2）作cpad于p点，连接bp，adbc，ad面bcp，hgad，hg面bcp，又hg面efgh，面bcp面efgh，在rtapc中，cap=30，ac=a, ap=.解线面位置关系的题目，首先要熟悉各种位置关系的判定方法及性质，其次解题时应将判定与性质结合起来，多用分析法，如要证a则过a作一平面，使=b，再证ab；第三要善于转化，如两条羿面直线是否垂直，要用三垂线定理将其转化为两相交直线是否垂直。线面的位置关系是立体几何的基础，学习时应予以重视。易错起源2、空间角 例2如图10-11，四棱锥pabcd的底面是正方形，pa底面abcd，aepd，efcd，am=ef。 （1）证明mf是异面直线ab与pc的公垂线； （2）若pa=3ab，求直线ac与平面eam所成角的正弦值。（2）解法一：连接bd交ac于o，连接be，过o作ohbe，h为垂足，aepd，cdpd，efcd，efpd，pd平面mae，又ohbe，ohde，oh平面mae。连接ah，则hao是直线ac与平面mae所成的角，设ab=a则pa=3a，ao=ac=，因rtadertpda,故ed=从而rtaho中，sinhao=空间的各种角是对点、直线、平面所组成的穿间图形的位置关系进行定性分析和宣量计算的重要组成部分，空间角的度量都是转化为平面角来实现的，要熟练掌握种类角转化为平面角的常用方法，为了实现这种转化，一是靠经验和知识的积累；二是利禄识图和画图的训练；三要以推理为主要依据，求角的一般步骤是：（1）找出或作出要求的角；（2）证明它符合定义；（3）在某一三角形中进行计算，得结果，当然在解选择或填空题时，一些间接方法也经常用。易错起源3、空间距离 例3如图10-17，在三棱锥vabc中，底面abc是以b为直角的等腰直角三角形，又v在底面abc上的射影在线段ac上且靠近c点，且ac=4，va=，vb与底面abc成45角。（1）求v到底面abc的距离；（2）求二面角vabc的大小。【错误解答】（1）过v作vdac，垂足为d，连接bd，由已知有vd平面abc，在直角三角形vbd中，vbd为直线vb与底面abc所成的角，vbd=45，bd=v到底面abc的距离等于2。空间中的距离以点到面的距离为中心内容，大多数距离问题都可以转化为点到面的距离，求法比较灵活，主要有：（1）直接法。过该点作面的垂线，求出垂线段的长度，不过不能只顾作，计算不出来，应先利用线面的位置关系判断垂足的位置；（2）间接解法：利用三棱锥的体积进行等积变换来求解；（3）利用空间向量求解，公式是，其中n为平面的法向量，a为过该点的平面的一条斜线段所确定的一个向量。易错起源4、简单几何体 例4如图，直四棱柱abcda1b1c1d1的底面abcd为平行四边形，其中ab=，bd=bc=1，aa1=2，e为dc中点，点f在dd1上，且df=。（1）求异面直线bd与a1d1的距离；（2）ef与bc1是否垂直？请说明理由；（3）求二面角efbd的正切值。同正解一；由已知可得adb=90，dd1平面abcd，以、分别为x,轴y轴,z轴的正方向，建立空间坐标系，f（0，0，）、e（）、a（1，0，0）、d1（0，0，2），= =（-1，0，2）又bc1ad1，efad1。可以得平面bdf的一个法向量为=（-1，0，0），b（0，1，0），设平面bef的一个法向量为n=(x,y,z)由n,令x=1,得y=-1,z=-4, 平面bef的一个法向量为n=（1，-1，-4），cos=，所求二面角efbd的大小为arccos棱柱、棱锥、球是几何中的重要载体，学习中除了牢固掌握有关概念、性质、面积体积公式之外，还要灵活运用有关知识进行位置益寿延年 判断与论证，进而达到计算的目的，在计算时要注意把某些平面图形分离现来运用平面几何的知识来进行计算，这是立体几何中计算问题的重要方法和技巧。 1.已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）abc d2.已知平面平面，= l，点a，al，直线abl，直线acl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）a. abmb. acmc. abd. ac3.在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别为棱aa1，cc1的中点，则在空间中与三条直线a1d1，ef，cd都相交的直线（ ）a不存在 b有且只有两条c有且只有三条d有无数条4.设直线平面，过平面外一点与都成角的直线有且只有：( )（）条 （）条 （）条 （）条5.如图，ab是平面的斜线段，a为斜足，若点p在平面内运动，使得abp的面积为定值，则动点p的轨迹是a.圆 b.椭圆 c.一条直线 d.两条平行直线6.对两条不相交的空间直线和，必定存在平面，使得（ ）（a） （b）（c） （d）。7 如图，在正四棱锥sabcd中，e是bc的中点，p点在侧面scd内及其边界上运动，并且总有peac。（1）证明sbac；（2）指出动点p的轨迹，并证明你的结论；（3）以轨迹上的动点p为顶点的三棱锥pcde的最大体积为v1，正四棱锥sabcd的体积为v，则v1：v等于多少？8、如图，正三棱柱abca1b1c1底面边长为a，侧棱长为，d是a1c1的中点。（1）求证：bc1平面b1da；（2）求证：平面ab1d平面a1acc1；（3）求二面角a1ab1d的大小。9 菱形abcd的边ab=5，对角线bd=6，沿bd折叠得四面体abcd，已知该四面体积不小于8，求二面角abcc的取值范围。10 已知bcd中，bcd=90，bc=cd=1，ab平面bcd，adb=60e、f分别是ac、ad上的动点，且（01），如图。（1）求证：不论为何值，恒有平面bef平面abc；（2）当为何值时，平面bef平面acd。11 如图，直三棱柱abca1b1c1中，底面是以abc为直角的等腰直角三角形，ac=2a,bb=3a,do a1c1的中点。（1）求be与a1c所成的角；（2）在线段aa1上是否存在点f，使cf平面b1df，若存在，求出af；若不存在，请说明理由。12、如图，直三棱柱abca1b1c1中，acb=90，bc=ac=2，aa1=4，d为棱cc1上一动点，m、n分别为abd、a1b1r的重心。（1）求证：mnbc；（2）若二面角cabd的大小为arctan,求c1到平面a1b1d的距离；（3）若点c在平面abd上的射影恰好为m，试判断点c1在平面a1b1d上的射影是否为n？并说明理由。13 如图，在直三棱柱abca1b1c1中，acb=90，b1b=bc=ca=4，d1是a1b1中点e是bc1的中点，bd1交ab1于点f（1）求证：ab1bc1；（2）求二面角bab1c的大小；（3）求点c到平面bef的距离。14.在四面体abcd中，cb=cd，且e，f分别是ab，bd的中点，求证（i）直线； （ii）。解析：本小题主要考查立体几何中线面关系问题。两条不相交的空间直线和，存在平面，使得。（3）答案：过a1作a1fad于f，由（2）知a1f平面ab1d，过f作fgab1于g，依据三垂线定理，a1gab，a1gf为二面角a1-ab1-d的平面角.在rtaa1d中，a