空间结构程序设计课件-第五章.doc

第五章 桥梁结构空间稳定 极限承载力分析第一节 非线性有限元计算基本理论和公式 单拱面预应力混凝土系杆拱桥或斜拉桥稳定承载力计算需考虑几何非线性和材料非线性。对于非线性问题通常不能用一步求解方案，必须分成若干个加载步，按各个阶段不同的非线性性质逐步求解，也就是采用增量求解方案，把一个非常复杂的非线性加载过程，分割成若干非线性程度不是十分严重的小段逐步求解，从而得出结构极限承载力。1,2,3,4为了描述时刻的平衡状态，对结构节点位移一般有两种描述方法，以t=0时刻状态为度量基准的完全拉格朗日(T.L)法和t=t时刻状态为度量基准的修正的拉格朗日(U.L)法。由于后者求解更为有效，在求解拱肋稳定承载力时，多采用U.L方法。一、增量形式平衡方程 基本假定：结构在变形前、后的截面积和体积相同，大变形小应变，变形前垂直于中性轴的截面变形后仍为平截面。 将时刻t视为外荷载作用下有初应力的结构。 由t至时刻，外荷载增量为P1，应力增量为，应变增量为，位移增量为u；如图5-1-1。 则t至时刻结构的总势能增量 ( 5-1-1) 将应力增量，应变增量划分为线性与非线性两部分即： （5-1-2） (5-1-3) 又 （5-1-4) 图5-1-1 空间梁元的位形及局部坐标系 以t时刻位形为参考态，时刻的格林应变即为格林应变增量，其中线性和非线性部分可写成下式： (5-1-5) (5-1-6) 将式5-1-2至5-1-4代入5-1-1式并略去，高阶项得： (5-1-7) 由势能驻值原理，则U.L法描述的平衡方程： (5-1-8) 上式中 增量应力一定变材料特性张量 线性应变增量张量 t时刻柯西应力张量 非线性应变增量张量 为时刻外荷载向量式5-1-8即为三维连续体U.L列式的增量平衡方程。将结构进行有限元离散，由左边第一项即可得到弹性或弹塑性刚度矩阵，由第二项可得出几何刚度矩阵，又称初应力矩阵，右边第一项为时刻外荷载等效节点力向量，第二项为t时刻初应力引起的等效节点力向量。二、非线性问题的有限元方程 (一) 单元截面增量位移描述 根据式5-1-8增量形式的平衡方程，把结构进行离散，从而得到U.L列式非线性有限元基本方程，对于图5-1-1所示两节点梁元t至时刻的增量，用u，v，w表示x，y，z轴的位移，表示截面扭转角，则截面上任一点的位移可描述为： 其中，为截面形心处位移增量。 为绕x，y，z轴的转角增量。 (二) 增量位移应变关系 对于一维空间梁单元，只有，三个应变分量，其余分量均为0，在进行杆系结构非线性有限元分析时，若不考虑剪切变形的影响，则假定=0，由式5-1-5及5-1-6得： (5-1-9) (5-1-10) 一般说，高阶项对切线刚度的影响低于，高阶项的影响，所以忽略轴向位移高阶项后得： (5-1-11) (三) 单元位移模式 对空间梁元结点位移增量向量及节点力增量向量为： 若梁单元任一点位移增量为，则当该位移用节点位移表示时，取单元位移模式 (5-1-12) 上式中各参数由节点位移边界条件确定，于是 (5-1-13) 其中N与第三章中第一节所述相同，将上式代入式5-1-10及式5-1-11得 (5-1-14) (四) 空间梁元U.L增量平衡方程 将式5-1-14代入式5-1-8，得到空间梁元U.L增量平衡方程 (5-1-15) 其中 (5-1-16) 当梁处于弹性时，即为单元弹性刚度矩阵，同3-1-7式，其显式同3-1-8式： (5-1-17) 为单元几何刚度矩阵。 (5-1-18) 为时等效节点力向量 (5-1-19)为初始不平衡修正力上述各式即为考虑几何非线性的有限元方程，将单元局部坐标系下的各量进行转换，即可得到整体坐标下结构的有限元几何非线性基本方程，用牛顿拉夫逊方法即可求得几何非线性问题的结果。 若梁单元截面应力应变为非线性时，则=，即考虑材料非线性项，求解材料非线性问题的关键在于建立弹塑性刚度矩阵。第二节 钢筋混凝土结构弹塑性分析的内力塑性系数法一、截面内力塑性系数法原理 钢筋混凝土结构极限承载力分析需考虑几何非线性和材料非线性的影响，其几何非线性计算通过考虑有限变形的几何非线性关系来实现，对于钢筋混凝土梁元的材料非线性分析，一般应用分段线性法或折减刚度的办法5,6,7。由于混凝土材料抗拉强度低，工作阶段可能在受拉区开裂，梁元分块变刚度法，在梁元中难以实现，所以一些大型分析程序如ADINA、ANASIS等都没有钢筋混凝土梁元的弹塑性分析功能8,9。为了解决钢筋混凝土梁元弹塑性刚度矩阵的计算问题，采用曾庆元教授等提出的截面内力塑性系数法，该法在计算钢压杆及钢斜拉桥弹塑性分析中获得了很大成功10,11，将该法用于钢筋混凝土结构分析更显现出其特点。 从力的概念来说，式5-1-15表示的单元平衡方程应是单元两端等效节点力与单元节点截面内力的平衡，单元材料随荷载变化而产生的弹塑性变化集中反映在其节点截面内力的降低，此种降低是相对于节点截面完全弹性时的内力而言的。若定义节点截面弹塑性内力与弹性内力的比值为截面内力塑性系数，由此系数来确定梁单元塑性刚度矩阵。下面扼要介绍其过程。 当梁处在弹性阶段时，单元的增量平衡方程可表示为： (5-2-1) 上式中右端项为单元等效节点荷载，左端二项为单元截面抵抗力，上式表示单元节点截面抵抗力与单元等效节点荷载的平衡。若设单元外荷载只作用在节点上如图5-2-1，单元节点截面抵抗力向量可用节点荷载向量表示为： (5-2-2) 其中 图5-2-1 单元内力平衡 下标e表示时刻单元节点截面弹性内力。 当梁处在弹塑性工作阶段时，式5-2-2则表示时刻单元节点截面弹塑性内力，即 (5-2-3) 其中 若令弹塑性内力与弹性内力之比为截面内力塑性系数，则i端截面塑性内力系数为： 同理也可得j端截面内力塑性系数。 则式5-2-3可表示为： (5-2-4) 其中单元截面内力塑性系数矩阵 又由5-2-2知 (5-2-5) 代入5-2-4得(5-2-6) 由对应项相等得 (5-2-7) (5-2-8) (5-2-9) 分析中直接计算几何刚度矩阵及等效节点力列阵比按式5-2-8及式5-2-9简便，可直接由积分求得，而在多次迭代计算中，只需算一次，计算比直接计算省时，故最后得梁元弹塑性增量平衡方程为： (5-2-10)二、空间梁元弹塑性刚度矩阵 由式5-2-10知，单元弹塑性刚度矩阵可表示为： (5-2-11) 由式3-1-7知为对称矩阵，而上式为非对称矩阵，为了保证弹塑性刚度矩阵的对称性，设各单元内由i端至j端截面内力塑性系数是线性变化的即： (5-2-12) 将上式代入3.1.7式，则空间梁元弹塑性刚度矩阵为 (5-2-13) 若忽略剪切变形的影响 (5-2-14) 其中经上述变换后，式5-2-13则为对称矩阵，即钢筋混凝土梁元弹塑性刚度矩阵。三、材料模型 (一) 混凝土应力应变曲线 在计算截面的弹塑性内力时，根据截面上任一点应变状态，可以判断该点是否退出工作，然后由应力应变曲线求得该点应力，在截面上积分则得截面弹塑性内力，混凝土应力应变曲线采用RUSH曲线，如式5-2-15及图5-2-2。 图5-2-2 混凝土应力应变曲线 图5-2-3 钢筋应力应变曲线 时 (5-2-15) (二) 钢筋应力应变曲线 钢筋应力应变曲线采用理想弹塑性曲线，不考虑钢筋的应力强化如图5-2-3 时 (5-2-16) 在进行结构弹塑性分析时，假定受拉区混凝土不参加工作，钢筋和混凝土之间没有滑移。四、拱稳定性分析的计算方法 前文已指出，以增量形式表示的计及初始不平衡效应的有限元公式为： (5-2-17) 式中： 为切线刚度矩阵 为增量节点位移 是基准荷载 是初始不平衡荷载 载荷增量参数 从结构失稳的载荷位移关系曲线可以发现，随着载荷的增加，结构的当前刚度参数也随之变化，所谓当前刚度参数是指与当前刚度矩阵有关的能量和与起始刚度矩阵有关的能量之比，当前刚度参数可以定义为： (5-2-18)式中上标i表示第i个增量步，表示第i个增量步的载荷增量，表示第i个增量步的位移增量。 很显然，以后将逐步减小，到达极值点=0，这种外载与的关系如图5-2-4所示。在本程序中，让相邻两个增量步的载荷增量因子与其相对应的当前刚度参数成正比，即 (N2) (5-2-19) 因为，上式可以写为 (N1) (5-2-20)这样即形成了一种自动加载系统。 图5-2-4 当前刚度参数与临界力 由式5-1-17可知，如果非奇异，则给定载荷增量参数，即可采用某种迭代解法(本程序用修正的NewtonRaphson法)而求得增量位移。然而在极值点附近，如继续用上述方法，将无法得到收敛的结果。为此在极值点附近一个选定的区域里终止迭代，即认为结构已发生了极值点失稳。该区域的确定，可通过下述条件来实现： (5-2-21)式中是根据问题的需要而任意选定的正实数，一般可取0.1即可。 由上述可知，在计算中可采用下述两个原则来判定结构是否失稳： (1)奇异，但此时，此种情况多由物理非线性所致，属分叉型失稳。(2)，结构软化，此种情况多由物理非线性和几何非线性共同作用所致，属极值点型失稳。 算例1 两端铰支浅拱如图5-2-5所示为两端铰支浅拱，拱顶受集中力P作用。在这里只考虑几何非线性，该结构已被其它许多算法所考证，由图5-2-5可知，本文方法给出了令人满意的结果。其中所取的控制参数=0.1，得出的极值载荷Pmax=3060.16，与文献131415接近。图5-2-5 铰支浅拱及其荷载挠度曲线 算例2 wiliams曲拐图5-2-6所示即为wiliams曲拐，由图5-2-6可知，本文结果与wilaims的理论解十分相近。在这里只考虑几何非线性影响，得出的极值载荷Pmax=34.448N。图5-2-6 刚架及其荷载挠度曲线算例3 RC简支梁图5-2-7所示为钢筋混凝土两端简支模型梁。由图5-2-7可知，本文数值分析与模型实验得出的极限荷载相近。在这里同时考虑了几何非线性和物理非线性的影响。图5-2-7 RC简支梁及其荷载挠度曲线第三节 单拱面系杆拱桥空间稳定极限承载力分析一、计算模型 用前节所述的考虑几何非线性和材料非线性的空间杆系的有限单元法对结构进行离散，即可计算单拱面系杆桥拱肋空间稳定承载力。用空间梁元模拟梁和拱肋，用杆元模拟柔性吊杆，用空间梁元模拟刚性吊杆，这样即可得到考虑梁拱吊杆共同作用下空间承载力。若材料为弹性的则分析结果为弹性稳定承载力，若材料为弹塑性的，则分析结果为弹塑性稳定承载力。结构的失稳状态，是面内失稳还是面外失稳，根据拱肋在竖向和水平方向的荷载变位曲线来确定，若达到承载力时竖向位移和荷载关系为非线性而水平位移与荷载关系为线性，且竖向位移比水平位移大得多，则可定义为面内失稳破坏，否则为面外失稳破坏。理论分析结果和本项目两个模型试验结果均表明，用以上方法判别结构失稳状态是符合实际的。 拱肋结构在施工阶段和运营阶段不可避免的会出现实际拱轴线偏离设计拱轴线的情况，这对拱肋的稳定承载力影响较大。我们用半正弦波分别模拟这种偏差情况，即设拱面偏差为x0，y0，z0则拱轴的半正弦波描述为 (5-3-1)在结构分析时，用上述方法修正拱肋轴线坐标。二、施工过程的稳定性 施工过程的稳定性计算应首先确定结构受力图式，因为吊杆是逐根张拉的，施工过程中尚未形成拱、吊杆、主梁受力体系，吊杆作用应为该阶段前已张拉的吊杆。在该阶段张拉吊杆时，应将该阶段的张拉力作为外荷载考虑，同时还应考虑施工阶段可能出现的不平衡，从而得出该阶段的稳定性安全系数。三、成桥阶段的稳定性 在成桥阶段，由于结构体系已经完成，受力图式为梁、拱、吊杆共同作用。在这种状态下，应考虑车辆偏载作用、风载作用、拱轴偏心等，计算出在各种最不利荷载作用下的承载力与使用荷载之比，从而得到运营阶段结构稳定安全系数。第四节 关于单拱面系杆拱桥面内、面外稳定性的讨论一、面内稳定 1. 弹性稳定和弹塑性稳定的比较 图5-4-1为弹性稳定和弹塑性稳定承载力分析时，拱顶位移荷载曲线，由此可以看出弹塑性分析结果远小于弹性分析结果，两者之比为29，而弹塑性分析结果与试验值均吻合很好，由此说明，对拱肋稳定性分析应以弹塑性分析为基础才能反映结构的实际工作性能。“桥规”中稳定安全系数是以弹性分析为基础的，对于钢筋混凝土结构来说是不合适的。图5-4-2为弹塑性分析的失稳模态图。 2. 吊杆的影响 图5-4-3中为没有吊杆的裸拱及有吊杆的系杆拱稳定分析结果，图中表示先张拉边吊杆或先张拉中吊杆时系杆拱稳定分析结果，由此可见：吊杆明显提高了结构的稳定性，先装中吊杆时稳定承载力高于先装边吊杆时的稳定承载力。 3. 安装误差的影响图5-4-4为不同施工误差z0对稳定性影响分析结果，从图中可以看出施工误差对面内稳定性的影响。二、面外稳定 1. 弹性稳定和弹塑性稳定分析结果比较 图5-4-5为弹性和弹塑性稳定分析结果，由此可见对于侧倾稳定，弹塑性分析结果小于弹性分析结果，弹塑性分析结果与试验值吻合较好。 2. 吊杆的影响 图5-4-6为没有吊杆的裸拱与有吊杆的系杆拱稳定分析结果，由图可以看出，无论弹性稳定还是弹塑性稳定，吊杆对侧倾荷载影响较大。 3. 安装误差影响 图5-4-7为水平安装误差对稳定承载力的影响，从图中可以看出，对于单拱面系杆拱桥安装误差对稳定性影响较大。 4. 水平力影响 图5-4-8为拱顶有水平力时的分析结果，从图可知当水平力仅5KN时，承载力就降低了。 5. 稳定安全系数讨论 桥规中规定当B/L小于时应进行稳定检算，而且一般侧倾稳定安全系数为K=4.5，实桥分析结果表明，若将失稳时拱轴力与恒载、活载作用下拱轴力之比作为安全系数，弹性稳定计算结果为4.8，而弹塑性稳定分析结果仅有1.9。 可见上述规定偏于不安全，这主要是由于试验数据不足和分析手段不够而造成的。因此，要想得到一个较为合理的设计方法还应加强理论和试验方面的研究。 图5-4-1 弹性和弹塑性面内稳定承载力 图5-4-2 失稳模态图图5-4-3 吊杆对面内稳定承载力影响图5-4-4 安装误差对面内稳定 图5-4-5 弹性和弹塑性面外承载力的影响 稳定承载力 图5-4-6 吊杆对面外稳定 图5-4-7 安装误差对面外稳定承载力影响 承载力影响图5-4-8 水平力作用与面外稳定承载力参考文献1. 王德荣译. 矩阵结构分析理论. 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