狭义相对论公式及证明.doc

狭义相对论公式及证明单位符号单位符号坐标：m(x, y, z)力：NF(f)时间：st(T)质量:kgm(M)位移：mr动量:kg*m/sp(P)速度：m/sv(u)能量:JE加速度：m/s2a冲量：N*sI长度：ml(L)动能：JEk路程：ms(S)势能：JEp角速度：rad/s力矩：N*mM角加速度:rad/s2功率：WP一：牛顿力学（预备知识）(一)：质点运动学基本公式：(1)v=dr/dt, r=r0+rdt(2)a=dv/dt, v=v0+adt(注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式)当v不变时，(1)表示匀速直线运动。当a不变时，(2)表示匀变速直线运动。只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。(二)：质点动力学：(1)牛一：不受力的物体做匀速直线运动。(2)牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。F=ma=mdv/dt=dp/dt(3)牛三：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。(4)万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。F=GMm/r2,G=6.67259*10-11m3/(kg*s2)动量定理：I=Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化)动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。动能定理：W=Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于动能的变化)机械能守恒：只有重力做功时，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2(注：牛顿力学的核心是牛二：F=ma,它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t),若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。)二：狭义相对论力学：(注：=1/sqr(1-u2/c2),=u/c, u为惯性系速度。)(一)基本原理：(1)相对性原理：所有惯性系都是等价的。 (2)光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。(此处先给出公式再给出证明)(二)洛仑兹坐标变换：X=(x-ut)Y=yZ=zT=(t-ux/c2)(三)速度变换：V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c2)V(y)=v(y)/(1-v(x)u/c2)V(z)=v(z)/(1-v(x)u/c2)(四)尺缩效应：L=l/或dL=dl/(五)钟慢效应：t=或dt=d/(六)光的多普勒效应：(a)=sqr(1-)/(1+)(b)(光源与探测器在一条直线上运动。)(七)动量表达式：P=Mv=mv, 即M=m.(八)相对论力学基本方程：F=dP/dt(九)质能方程：E=Mc2(十)能量动量关系：E2=E02+P2c2(注：在此用两种方法证明，一种在三维空间内进行，一种在四维时空中证明，实际上他们是等价的。)三：三维证明：(一)由实验总结出的公理，无法证明。(二)洛仑兹变换：设(x, y, z, t)所在坐标系(A系)静止，(X,Y, Z,T)所在坐标系(B系)速度为u,且沿x轴正向。在A系原点处，x=0,B系中A原点的坐标为X=-uT,即X+uT=0。可令x=k(X+uT),(1).又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数(广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。)同理，B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K.故有X=k(x-ut),(2).对于y, z, Y, Z皆与速度无关，可得Y=y,(3).Z=z(4).将(2)代入(1)可得：x=k2(x-ut)+kuT,即T=kt+(1-k2)/(ku)x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理，要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct, X=cT.代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u), cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u2/c2)=.将反代入(2)(5)式得坐标变换：X=(x-ut)Y=yZ=zT=(t-ux/c2)(三)速度变换：V(x)=dX/dT=(dx-ut)/(dt-udx/c2)=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c2)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c2)同理可得V(y),V(z)的表达式。(四)尺缩效应：B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由X=(x-ut)得：X=(x-ut),又t=0(要同时测量两端的坐标)，则X=x,即：l=L,L=l/(五)钟慢效应：由坐标变换的逆变换可知，t=(T+Xu/c2),故t=(T+Xu/c2),又X=0,(要在同地测量)，故t=T.(注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。)(六)光的多普勒效应：(注：声音的多普勒效应是：(a)=(u+v1)/(u-v2)(b).)B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。B系中光源频率为(b),波数为N，B系的钟测得的时间是t(b),由钟慢效应可知，A系中的钟测得的时间为t(a)=t(b),(1).探测器开始接收时刻为t1+x/c,最终时刻为t2+(x+vt(a)/c,则t(N)=(1+)t(a),(2).相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即(b)t(b)=(a)t(N),(3).由以上三式可得：(a)=sqr(1-)/(1+)(b).(七)动量表达式:(注：dt=d,此时，=1/sqr(1-v2/c2)因为对于动力学质点可选自身为参考系，=v/c)牛二在伽利略变换下，保持形势不变，即无论在那个惯性系内，牛二都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。牛顿力学中，v=dr/dt, r在坐标变换下形式不变，（旧坐标系中为（x, y, z）新坐标系中为(X,Y,Z)）只要将分母替换为一个不变量（当然非固有时d莫属）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/d=dr/dt=v为相对论速度。牛顿动量为p=mv, 将v替换为V，可修正动量，即p=mV=mv。定义M=m(相对论质量)则p=Mv.这就是相对论力学的基本量：相对论动量。（注：我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算）(八)相对论力学基本方程：由相对论动量表达式可知：F=dp/dt,这是力的定义式，虽与牛二的形式完全一样，但内涵不一样。（相对论中质量是变量）(九)质能方程：Ek=Fdr=(dp/dt)*dr=dp*dr/dt=vdp=pv-pdv=Mv2-mv/sqr(1-v2/c2)dv=Mv2+mc2*sqr(1-v2/c2)-mc2=Mv2+Mc2(1-v2/c2)-mc2=Mc2-mc2即E=Mc2=Ek+mc2(十)能量动量关系：E=Mc2,p=Mv, =1/sqr(1-v2/c2),E0=mc2,可得：E2=E02+p2c2四：四维证明：(一)公理，无法证明。(二)坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt,即dx2+dy2+dz2+(icdt)2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔，dS2=dx2+dy2+dz2+(icdt)2,(1).则对光信号dS恒等于0，而对于任意两时空点的dS一般不为0。dS20称类空间隔，dS20称类时间隔，dS2=0称类光间隔。相对论原理要求（1）式在坐标变换下形式不变，因此（1）式中存在与坐标变换无关的不变量，dS2dS2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。因此在两个原理的共同制约下，可得出一个重要的结论：dS是坐标变换下的不变量。由数学的旋转变换公式有：（保持y, z轴不动，旋转x和ict轴）X=xcos+(ict)sinicT=-xsin+(ict)cosY=yZ=z当X=0时，x=ut,则0=utcos+ictsin得：tan=iu/c,则cos=, sin=iu/c反代入上式得：X=(x-ut)Y=yZ=zT=(t-ux/c2)(三)(四)(五)(六)(八)(十)略。(七)动量表达式及四维矢量：(注：=1/sqr(1-v2/c2),下式中dt=d)令r=(x, y, z, ict)则将v=dr/dt中的dt替换为d，V=dr/d称四维速度。则V=(v, ic)v为三维分量，v为三维速度，ic为第四维分量。（以下同理）四维动量：P=mV=(mv, icm)=(Mv, icM)四维力：f=dP/d=dP/dt=(F, icdM/dt)(F为三维力)四维加速度：=/d=(4a,4iva/c)则f=mdV/d=m(九)质能方程：fV=mV=m(5va+i25va)=0故四维力与四维速度永远“垂直”，（类似于洛伦兹磁场力）由fV=0得：2mFv+ic(dM/dt)(icm)=0(F, v为三维矢量，且Fv=dEk/dt(功率表达式)故dEk/dt=c2dM/dt即dEk=c2dM,即:Ek=Mc2-mc2故E=Mc2=Ek+mc2关于第六条：通过速度变换和质能方程（E=Mc2）可以导出两个坐标系间的能量变换公式（证明很简单，但很繁琐，就不写了）：E=E(1-u*v/c2)(注：u、v都是矢量，u为参考系速