第11届景润杯 第二讲 函数和函数的连续性答案.doc

第二讲 函数的连续性一、 函数的极限与连续性例1 已知当时，对于其它满足，试求常数，使在连续。解：当时，则，于是，所以，因，所以由 ，即得.例3、设在上连续，且有反函数存在，证明在上严格单调.证：假设在上非严格单调，则存在，使得或。（1）若，取，由于在上连续，由介值定理存在使得,又在上连续，由介值定理存在使得,此即，但，这与有反函数矛盾。（2）若，取，由于在上连续，由介值定理存在使得,又在上连续，由介值定理存在使得,此即，但，这又与有反函数矛盾。例4、设定义在上且只有第一类间断点，证明在上有界.证明：反证法.假设在上无界，即对任意的M，存在，使.由M的任意性，取M=n，相应地存在，使得，此时即有.又因为，存在收敛的子列且，若是连续点，则，矛盾，若是的第一类间断点，则其值都是一个有限数,存在子列使或,但，因而，或此也构成矛盾！故在上有界.例5、设为上的增函数，其值域为，证明在上连续.证明：反证法.假设在处间断，由于在上单调增，故只能是第一类间断点，则及中至少有一个大于零，不妨设，由的单调性知，无法取到和之间的数值，这与题设的值域为矛盾，从而在上连续.例6、设在上连续且无上界，对在上无最小值，证明在在上严格递增。证明：由在上连续且无上界，知只能在的左邻域内无上界，（否则与连续矛盾）.假设在上不是严格递增，即,且,但有，由于只能在的左邻域内无上界，故存在，使得，此时有，由于在上连续，故有最小值存在，其中，即在上取到了最小值，与题设条件矛盾，所以在上严格递增。例7、证明非常值的连续周期函数必有最小正周期. 证：设，令,即为集合的下确界，显然.由下确界的定义，必存在单调下降的，使得.又由的连续性，首先对，有，即为的周期，下证，即。假如，则，对，存在正整数和，使，因而，所以故，这与是非常值函数矛盾，所以，故，即是周期连续函数最小正周期.例8、设在内每一点的左右极限都存在，且，都有，证明在上连续.证明：任取，则对有 ，令，而，所以，即 （1）类似地，令令，得，即 （2）另一方面在中，令，且令，得，而因此 ，即 而由（1）和（2）可知，所以，即在连续，由的任意性知，在上连续.二、 函数的连续性及其性质例1 设是上的非负连续函数，且。求证：对任意的实数，必存在，使得，且解：构造辅助函数，显然在上连续，且，因此，再由连续函数的零点定理得，存在，使得.例2 设是上的连续函数，存在，且的最小值，求证：至少在两个点处取到的最小值。分析：若能证明存在，使得，则有.为证成立，就要利用介值定理，寻找，使同时寻找，使.解：(i)由，则必存在，满足，于是有，由的连续介值定理，存在，使得，从而(ii)由,必存在，满足，于是有，由的连续函数的介值定理得，存在，使得，从而，因而在处取到了的最小值。例3 设是上的连续函数，且有唯一的取到最大值的点(最大值点)，又设, 使得，求证: .证：采用反证法。假设不存在，因为有界，所以必存在两个子列，有，且，则，再由f的连续性知，, ，此即都是的最大值点，与题设条件矛盾。因此极限存在，再由等式得到 。例4 设是上单调上升的连续函数，且对，任取，由递推公式产生序列，求证极限存在，且其极限值满足方程 。证：首先证明递推数列单调。(1) 若,由于f(x)的单调上升，则，因此单调升;(2) 若,由于f(x)的单调上升，则，因此单调降;又由题设条件知有界，因此单调有界，故存在，不妨设其极限为，再利用f的连续性，则。例5 设对于任意，函数f(x)满足，(称之为lipschitz条件)，证明存在唯一的，使。证：构造递推数列，。(1)首先证明满足lipschitz条件的递推数列是有界变差数列。(2)再由柯西收敛准则证明有界变差数列是收敛的。令，显然是单调增的且有上界M，所以存在当对任意自然数p有由柯西收敛准则得收敛。(3)由f(x)的连续性可证的存在不动点。不妨设.例6 证明：对每个正整数n，方程在上有且只有一根，并求。解：记，当n=1时，显然的根,对任意的正整数n1，由连续函数的介值定理知，至少存在一点，使，即在中至少有一根，又因为所以在上严格增加，故它在上只能有一个根。又因为，由函数的单调性得数列是单调下降，注意到，所以存在。不妨设其极限为A，由两边求极限得，解得.例7. 设函数在区间上连续可导，且，证明：存在，使得 .证明：不妨设 ，若，则取，显然成立.若，再设 ，则有即 , 又因为在区间上连续，因而也在上连续，由连续函数的介值定理，存在，使得.本题去掉导函数的连续性结论也成立。例8.设函数在上连续，如果存在数列，使得，求证：存在，使得。证：由连续函数的最值性知，存在，使得因为，在上式中，令，得，由连续函数的介值性知，存在，使得。另证：利用抽子列的方法证明。例10、设函数在上可导，证明：（1）若，则至少存在一点，使得；（2）若，则是区间上的单调函数。证明：（1）由题设，即，不妨设,由定义有，由极限的保号性知，存在使得内有，同理，存在使得内有。可见均不是的最大值，于是连续函数在闭区间上的最大值点必在内取到，由费马定理得，在最大值点处，有。（2）若是区间内可导，且，下证用反证法证。若存在，使得，由（1）中已证结论知，至少存在一点，使得，这与题设条件矛盾，故，因而是区间上的单调函数。例11、设为有界闭区间上的连续函数，且有数列使，证明：至少存在一点，使.证1：令,显然也是上的连续函数，对，不妨设，则（1） 若存在某个使得，则命题得证；（2） 若存在某个使得,则由连续函数的零点定理，存在一点，使，则命题得证.（3） 若对任意的，即，因为，所以函数列单调下降，因为，所以函数列也单调下降，因为都是上的连续函数，所以和有界，故，都存在，记。由于，所以存在收敛的子列，有，则由的连续性得 .证2 令,显然在上连续,由介值定理知存在，使得有界数列必存在收敛的子列，使，两边取极限，令得 ，即得，即。证3 用反证法 假设结论不真，即恒不为零，则不妨设，由连续函数的最值性知，的最小值大于0，则存在，从而，于是单调下降有下界，故,则由得,矛盾。故得证。举一反三练习：1、 设函数在上连续，且（n是正整数）证明：（1）当n是奇数时，存在，使得；（2）当n是偶数时，存在，使得对一切有2、设函数 ，又设分别是的反函数的最小不可导点和最大不可导点，求极限，其中数列定义如下：3、设在