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高等代数习题课正交矩阵的性质讲课 杨忠鹏制作 林志兴杨忠鹏2003 06 05 习题课正交矩阵的性质 一 正交矩阵的定义及简单性质 二 有限维欧氏空间里的正交矩阵 三 正交矩阵的特征根 一 正交矩阵的定义及简单性质 问题 正交矩阵之和 1定义 若称A为正交矩阵 2运算性质 正交矩阵之积为正交阵 正交矩阵的转置为正交阵 正交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵 数乘正交矩阵 A为正交矩阵 A为正交矩阵 A为正交矩阵 3正交矩阵的判定 的关系如何 元素与其余子式 代数余子式 当某时 的上界 问题 的上界 二 有限维欧氏空间里的正交矩阵 空间的一组标准正交基 A为正交矩阵A的行 列 向量组是n维行 列 向量 1矩阵 则 2n维欧氏空间的一组标准正交基 矩阵满足 则为标准正交基A为正交矩阵 A是正交变换A为正交矩阵 则 标准正交基 若 3A为n维欧氏空间的线性变换 是一组 A A为第二类的 若 A为第一类的 旋转 若 4n维欧氏空间的正交变换的分类 使 即 对角矩阵 向量 即A在下的矩阵为实 存在标准正交基是A的特征 A为对称变换 则 标准正交基 且A 5A为n维欧氏空间的线性变换 为一组 1在不同的教材上曾出现下面的命题 三 正交矩阵的特征根 正交矩阵的特征根的模等于1 正交矩阵的实特征根为1或 1 正交变换的特征根为1或 1 可得 即 注意此时由 1 和 2 对 1 两边取共轭转置 2 1 的证明 设为维非零复向量 为复数 且 2正交矩阵A的特征根 共轭出现的 当时 由 3 知A的非实的复特征根是成对 这里为矩阵A的所有特征根 iii ii i 3 特征多项式 正交矩阵的特征根 这里 为非负整数 且 非实特征根 负特征根 4 正特征根 ii 可设 非实特征根为成对共轭与出现 且 实特征根为1或 1 i 分类 3正交矩阵A的行列式 是 1作为A的特征根的重数 5 即 在 4 之下 或 1 简单证明 由定义给出 4正交矩阵的三类特征根 特征根为1或 1 n为奇数时 与的奇偶性相反 且至少有1个 n为偶数时 与的奇偶性相同 5n维欧氏空间中的正交变换A特征根的存在情况 若A有特征根 则特征根1的重数与n的奇偶性相同 相同 A必以 1为特征根且重数为奇数 特征根1的重数与n的奇偶性 A为第二类的即 若A有特征根 则特征根 1的重数为偶数 特征根1的重数 与n的奇偶性相同 A为第一类的即 才是A的特征根 约定当不是特征根时 其重数为0 注意此时A与在标正基下的正交矩阵A的对应关系 A的实特征根 设A是33正交阵且证明A的特征多项式为 这里 证明第二类正交变换一定以 1作为它的一个特征值 特征值 证
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