正弦定理、余弦定理、解三角形 (修改的).doc

解三角形正弦定理（一）正弦定理：，(2)推论：正余弦定理的边角互换功能 ， ， = 典型例题:1在ABC中，已知，则B等于（ ）A B C D2在ABC中，已知，则这样的三角形有_1_个3在ABC中，若,求的值解由条件同理可得练习: 一、 选择题1一个三角形的两内角分别为与，如果角所对的边长是，那么角所对的边的边长为（） 2在ABC中，若其外接圆半径为，则一定有（） 3在ABC中，则ABC一定是（）等腰三角形 直角三角形等腰直角三角形 等腰三角形或直角三角形解：在ABC中，由正弦定理，得。2A2B或2A2B180，AB或AB90。故ABC为等腰三角形或直角三角形。二、填空题4在ABC中，已知且ABC，则_5如果，那么ABC是_等腰三角形_三、解答题6在ABC中，若，面积ABC，求的值解由条件ABC 当B为锐角时，由当B为钝角时，由7在ABC中，分别为内角，的对边，若,求的值解 又 又 8在ABC中，求证：解：.111正弦定理（二）三角形的面积公式：（1）= （2）s=（3）典型例题:【例1】在ABC中，已知，则的值为 （ ） 【例2】在ABC中，已知，则此三角形的最大边长为_答案：【例3】ABC的两边长分别为3cm,5cm,夹角的余弦是方程的根，求ABC的面积解 设两边夹角为,而方程的两根ABC 【例4】在锐角三角形ABC中，A=2B，、所对的角分别为A、B、C，试求的范围。分析：本题由条件锐角三角形得到B的范围，从而得出的范围。【解】在锐角三角形ABC中，A、B、Cc新的三角形的三边长为ax、bx、cx，知cx为最大边，其对应角最大而(ax)2(bx)2(cx)2x22(abc)x0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形5.在ABC中，cos2，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为 ()A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形解析：cos2，cosB，a2c2b22a2，即a2b2c2，ABC为直角三角形答案：B二、填空题6ABC中，ABC，则_7. 在ABC中，已知,ABC,则_三、解答题8在ABC中，角A、B、C对边分别为，证明。解由余弦定理,知，9已知圆内接四边形的边长，求四边形的面积解如图，连结，则四边形面积ABD+BCD=A+C=1800 sin= sin C=16 sin由余弦定理,知在ABC中，在CDB中,又120016sin10、 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，（1）求角C的大小；（2）求ABC的面积解：（1）由 4cos2C4cosC解得 0C180,C=60 C60（2）由余弦定理得C2a2b22ab cos C 即 7a2b2ab 又ab5 a2b22ab25 由得ab6 SABC113正、余弦定理的综合应用典型例题:例题在中，若，则的大小是_.解： a:b:c5:7:8设a5k，b7k，c8k，由余弦定理可解得的大小为.例题.在ABC中，满足条件，则_ ，ABC的面积等于_ 答案：；例题3在ABC中，A60，b1，求的值。错解：A60，b1，又，解得c4。由余弦定理，得又由正弦定理，得。辨析：如此复杂的算式，计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。正解：由已知可得。由正弦定理，得。例题4. 在ABC中，角A、B、C对边分别为，已知，（）求的大小；（）求的值解 （）在ABC中，由余弦定理得 （）在ABC中，由正弦定理得 练习:一、 选择题在ABC中，有一边是另一边的倍，并且有一个角是，那么这个三角形（）一定是直角三角形 一定是钝角三角形可能是锐角三角形 一定不是锐角三角形点评：三角形形状判定方法：角的判定、边的判定、综合判定、余弦定理判定；其中余弦定理判定法：如果是三角形的最大边，则有：三角形是锐角三角形；三角形是直角三角形；三角形是钝角三角形。在ABC中，角A、B、C所对的边分别为，且，则的值为（）A B C D已知ABC中，（）成立的条件是（） 且 或4.ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为()A . B . C . D9解析：由余弦定理得：三角形第三边长为 3，且第三边所对角的正弦值为 ，所以2RR.二、填空题5已知在ABC中，最大边和最小边的长是方程的两实根，那么边长等于_7_6已知锐角的三内角A、B、C的对边分别是 则角A的大小_； 7在ABC中，是其外接圆弧上一点，且，则的长是_5_三、解答题8在ABC中，角A、B、C对边分别为，为ABC的面积，且有，（）求角的度数；（）若，求的值解 由二倍角公式，已知等式化简为或120当时，由余弦定理,得当120时，由余弦定理,得9ABC中的三和面积满足，且，求面积的最大值。解由余弦定理,得 02当时，max =10在中，已知内角，边.设内角,面积为.(1) 求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值解：（1）的内角和，由得应用正弦定理，知，因为，所以，（2）因为 ，所以，当，即时，取得最大值11在中, 角A、B、C的对边分别为、.若的外接圆的半径,且, 求B 解析：由，代入得整理得即12 应用举例（一）典型例题:图1ABCD例1 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得CAB=30，CBA=75，AB=120cm，求河的宽度。分析：求河的宽度，就是求ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、CAB、CBA，这个三角形可确定。解析：由正弦定理得，AC=AB=120m，又，解得CD=60m。点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”210在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为300,600,则塔高为( )A米 B米 C米 D米A3在湖面上高h处，测得云彩仰角为a，而湖中云彩影的俯角为b，求云彩高.解 C、C解关于点B对称，设云高CE = x 则CD = x - h，CD = x + h，在RtACD中， 在RtACD中，, 解得 .4、如图，为了测量塔的高度，先在塔外选和塔脚在一直线上的三点、，测得塔的仰角分别是，求求的大小及塔的高。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4， = 。 因为 sin4=2sin2cos2cos2=,得 2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h 在 RtACE中,(10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10) 两式相减，得x=5,h=15在 RtACE中,tan2=2=30,=15 答：所求角为15，建筑物高度为15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得BAC=， CAD=2，AC = BC =30m , AD = CD =10m在RtACE中，sin2= - 在RtADE中，sin4=, - 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=155.为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。解： 方案一：需要测量的数据有：点到，点的俯角；点到，的俯角；的距离（如图所示）第一步：计算由正弦定理；第二步：计算由正弦定理；第三步：计算由余弦定理方案二：需要测量的数据有：点到点的俯角；点到，的俯角；的距离（如图所示）第一步：计算由正弦定理；第二步：计算由正弦定理；第三步：计算由余弦定理练习:一、选择题1海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B、C间的距离是( )A.10海里 B.海里C. 5海里 D.5海里2海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B、C间的距离是 ( )A.10海里 B.海里 C. 5海里 D.5海里3如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得 ACB=60，BCD=45，ADB=60，ADC=30，则AB的距离是（ ）.（A）20（B）20（C）40（D）204、甲船在岛B的正南方A处，AB10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）A分钟B分钟C21.5分钟D2.15分钟二、填空题5一树干被台风吹断折成与地面成30角，树干底部与树尖着地处相距20米，则树干原来的高度为 6甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是 三、解答题7如图：在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45，假设建筑物高50m，求此山对于地平面的斜度q解：在ABC中，AB = 100m , CAB = 15, ACB = 45-15 = 30由正弦定理： BC = 200sin15 在DBC中，CD = 50m , CBD = 45, CDB = 90 + q, 由正弦定理： cosq =q = 42.94北乙甲8如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？解法一：如图，连结，由已知，北甲乙又，是等边三角形，由已知，在中，由余弦定理，因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）答：乙船每小时航行海里解法二：如图，连结，由已知，北乙甲，在中，由余弦定理，由正弦定理，即，在中，由已知，由余弦定理，乙船的速度的大小为海里/小时答：乙船每小时航行海里9某船在海上航行中不幸遇险，并发出呼救信号，我海上救生艇在A处获悉后，立即测出该船的方位角为45，与之相距10 nmail的C处，还测得该船正沿方位角105的方向以每小时9 nmail的速度向一小岛靠近，我海上救生艇立即以每小时21 nmail的速度前往营救，试求出该海上救生艇的航向及与呼救船相遇所需时间。解：设所求最大圆的半径为x，则在ABC中 又在ACD中：又在ACD中：10在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300 km的海面P处，并以20 km / h的速度向西偏北的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？角：设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km)若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则由余弦定理知由于PO=300,PQ=20t故即 解得 答：12小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12小时12 应用举例（二）典型例题：例1一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南60西， 另一灯塔在船的南75西，则这只船的速度是每小时（ ）A.5海里 B.5海里 C.10海里 D.10海里例2某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是 小时 图3ABC北4515例3 如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？ 解析：设用t h，甲船能追上乙船，且在C处相遇。在ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，设ABC=，BAC=。=1804515=120。根据余弦定理，（4t3）（32t+9）=0，解得t=，t=（舍）AC=28=21 n mile，BC=20=15 n mile。根据正弦定理，得，又=120，为锐角，=arcsin，又，arcsin，甲船沿南偏东arcsin的方向用h可以追上乙船。点评：（1）航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ABC、AB边已知，另两边未知，但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间t有关。这样根据余弦定理，可列出关于t的一元二次方程，解出t的值。 （2）在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解例4 已知ABC，B为B的平分线，求证：ABBCAC分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将ABC分成了两个三角形：ABD与CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：ABADBCDC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论.证明：在ABD内，利用正弦定理得：在BCD内，利用正弦定理得：BD是B的平分线.ABDDBC sinABDsinDBC.ADBBDC180sinADBsin（180BDC）sinBDC练习：一、选择题1台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为（ ）A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h2已知D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A的点仰角分别为、（）则A点离地面的高AB等于（ ）A B CD 3在ABC中，已知b=2，B=45，如果用正弦定理解三角形有两解，则边长a的取值范 围是（）AB CD二、填空题4我舰在敌岛A南50西相距12nmile的B处，发现敌舰正由岛沿北10西的方向以10nmile/h的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小为 14nmile/h 5在一座20 m高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60，塔底俯角为45，那么这座塔的高为_20（1+） m _三、解答题6如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮，用一条（足够长）绳子跨过它们，并在两端分别挂有4 kg和2 kg的物体，另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体，为使系统保持平衡状态，此物体的质量应是多少?（忽略滑轮半径、绳子的重量） 解：设所求物体质量为m kg时，系统保持平衡，再设F1与竖直方向的夹角为1，F2与竖直方向的夹角为2，则有 （其中g为重力加速度）由式和式消去，得即.，由式知，式中 不合题意，舍去又4cos2130，解得经检验，当时，不合题意，舍去.2m6综上，所求物体的质量在2 kg到6 kg之间变动时，系统可保持平衡.7海岛上有一座高出水面1000米的山，山顶上设有观察站A，上午11时测得一轮船在A的北偏东60的B处，俯角是30，11时10分，该船位于A的北偏西60的C处，俯角为60，（1）求该船的速度；（2）若船的速度与方向不变，则船何时能到达A的正西方向，此时船离A的水平距离是多少？（3）若船的速度与方向不变，何时它到A站的距离最近？解:设AD=x，AC=y， 而在ABC中，即 得，代入得得，即此人还需走15km才能到达A城.CAB8.为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架 三角形支架形状如图，要求，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米 为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？解：如图，设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y0.5）米 在ABC中，依余弦定理得： 即化简，得 ，因此 当且仅当时，取“=”号，即时，y有最小值 解三角形测试题一、选择题1.在ABC中，那么ABC一定是（ ）A锐角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形解：由正弦定理，得即。2A或。或。故ABC为等腰三角形或直角三角形。2.ABC中，则SABC=（ ）ABCD3.在ABC中，一定成立的等式是（） AasinA=bsinB BacosA=bcosB CasinB=bsinA D.cosB=bcosA4.若，则ABC为（）A等边三角形B等腰三角形C有一个内角为30的直角三角形D有一个内角为30的等腰三角形5.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为（ ）A90 B120 C135 D1506.设A是ABC中的最小角，且，则实数a的取值范围是（ ）Aa3 Ba1 C1a3 Da07.ABC中,A、B的对边分别为a,b，且A=60，,那么满足条件的ABC（ ）A有一个解 B有两个解C无解D不能确定8.在ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ） Ab = 10，A = 45，B = 70 Ba = 60，c = 48，B = 100Ca = 7，b = 5，A = 80 Da = 14，b = 16，A = 45.在ABC中，则三角形最小的内角是（ ）A60B45 C30 D以上都错.有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20，现要将倾斜角改为10，则坡底要伸长（ ）A1公里 Bsin10公里 Ccos10公里 Dcos20公里二.填空题1.在ABC中，B=1350，C=150，a=5，则此三角形的最大边长为 1.在ABC中，a+c=2b，AC=60，则sinB= .1.在ABC中，已知AB=l，C=50，当B= 40 时，BC的长取得最