第二章：极限与连续.doc

23浙江树人大学基础部教师备课笔记 一、 授课时间地点日期学院专业班级二、授课内容 极限的概念三、教学课时数 4四、教学目的与要求 使学生理解数列极限、函数极限的概念，掌握数列极限、函数极限的求法，掌握左右极限的概念，以及左右极限与极限存在的关系，熟练掌握几种特殊数列的极限值（常数列、公比的绝对值小于1的等比数列）；了解变量极限的概念。五、教学重点与难点 极限的概念与求法六、教学过程（见教案纸）七、作业布置 p89：4；6八、教学小结九、备注授课教师 上官敏乐第二章 极限与连续 引 言 举例引入“极限方法”这个概念例：庄子：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”2.1数列的极限（一）数列定义2.1 一个定义在正整数集合上的函数取值时所得到的一串数： 称为无穷数列；称为数列的一般项或通项。如：引言中的矩形的面积。（二）数列的极限观察下列数列的变化趋势：（1）： ： ： ： -1，1，-1，1，（-1）n，分析并归纳前两个数列的变化趋势，可知当无限变大时，前三个数列的变化过程是不同的，但它们的趋向都是常数1。那么数与数列之间本质的联系是什么呢？可以这样讲，它们的本质是（直观地讲）：“当n无限变大时，与1无限接近”。但这句话作为定义尚有不妥之处，因为什么叫无限变大、无限接近？需要进一步明确。 所谓无限接近是指|-1|可以任意地小，即要它多么小就会多么小，但这并非要求数列从第一项开始就达到，而是从n变得充分大之后达到。例如，（1）中，对于给出的一个，存在N=10，当n大于10之后的所有项都有；当，那么当n变到1000以后的所有项都有。不仅上述的具体给定的一些，而且对于任意给定的均是如此。 事实上，当N变到大于以后的所有项，都有|-1|N时，恒有 |-1|N时，恒有 成立则常数A叫做数列当n趋于无穷大时的极限。或说数列收敛于A。记作或。如果数列没有极限，就说数列发散。练习：P89T1，T3o A- A A+ 4.几何意义： （1）数轴上：对于任意给定的正数 X，总存在一个正整数N，数列从第N+1y =A-A+A-Ayy =A+项起的一切项所对应的点，即 都落在点A的邻域内，即落在区间（A-，A+）（如上图）（2）平面直角坐标系内：如果用点（n，）表示数列第n项，那么数列以A为极限的几何意义可以这样 表述：对于任意给定的正数，总存在一个正整数N，从第N+1项起的一切 x项所对应的点，即 O（N+1，），（N+2，）， 都落在直线y = A +与y = A -之间。4.几点说明：（1）极限定义中的是任意的，这一点是很重要的，因为只有这样，不等式才刻划出数列与A无限接近的意思。同时又是给定的，这一点也要注意，因为如果只是任意而不给定下来，那么就无法说明是否存在N（事实上N由确定，即N=N（），也就无法判断数列是否以A为极限。（2）数列是否以A为极限，只要看是否存在第N项，在这之后所有项有，而对N之前是否都有是无关紧要的。（3）只有无穷数列才可以探讨极限问题；（4）不是任何无穷数列都是有极限的。如引例中的= (-1)n 或= 2n等。（5）记号“”、“$”的说明（6）数列趋向于A的几种典型情况：a，当n时，小于1而趋向于1。b，当n时，大于1而趋向于1。c，当n时，忽大于1，忽小于1而趋向于1。d，当n时，忽大于1，忽小于1，忽等于1而趋向于1。例1 观察下列数列的变化趋势，判断数列是否有极限，如有请写出它们的极限值：1 ，n为偶数， ，n为奇数。(1) ; (2) ;(3) ; (4) 例2 利用定义证明：；.二、函数的极限以上研究的是（n是正整数即整标函数）的极限，现在来研究自变量为连续变量的函数的极限。（一）当x时函数的极限 引例：函数 当无限增大时，无限的接近于1.“当无限增大时，无限的接近于1”=“当无限增大时，可以任意地小”=“ 使得当时，有成立”.与数列极限的定义类似，有以下定义： 定义 设有函数和常数A.如果对于任意给定的正数（不管它多么小），总存在一个正数M，当|x|M时，不等式|f（x）- A|N时，函数 y = f（x）的图形落在y = A +，y = A-这两条直线之间。注意：（1）在这里我们假定函数f(x) -N O N x在x时是有定义的。（2）x表示|x|无限增大的趋势，切不可将当成数，不能写“”。例1 用定义证明 有时，我们需要区分x趋于的符号。：定义中|x|M 可改写为xM；：定义中|x|M 可改写为x-M .例2 用定义证明 ； （二）当xx0时，函数f(x)的极限引例：自由落体运动的瞬时速度。自由落体运动的方程为（s以米计，t以秒计），我们来考察落体在t=2秒邻近的运动快慢情况。为此，考虑2秒与2秒邻近时刻t（t2）这一段时间间隔内的运动过程。在这段时间内物体所经历的路程为 平均速度为 当t越接近2（t2）时，用上述平均速度来描述时刻t=2秒时运动的快慢程度就越精确。当t趋于2时，趋于g+g=2g（米/秒）。2g米/秒就称为2秒时的瞬时速度。解释“t趋于2时，趋于2g”的含义：即|-2g|可以“要多么小就有多么小，只要t与2充分接近”。分析：对于任意给定正数，要使，也就是要使，只需即可。由以上分析可知，对于任意给定的正数（不管它多么小），总存在一个正数，当时，就有。我们称2g是函数v当t趋于2时的极限，记为 因而，当时间t为2秒时的瞬时速度就是平均速度当t趋于2时的极限。给出定义：定义2.4 设有函数f（x）及常数A。如果对于任意给定的正数（不管它多么小），总存在一个正数，当0|x-x0|时，不等式 |f（x）- A|成立，则称常数A为函数f(x)当x趋于x0时的极限，记为yA+A- A 或 f（x）A（xx0）此时，也称函数极限存在。几何意义：对于任意给定的正数，作两条直线y = A +，y = A-总存在x0的一个邻域（除x0外），在此邻域内函数y = f（x）的图形落在这两条直线之间。 O 说明：（1）我们假定函数f(x)在x0的左右近旁是有定义的； x0- x0 x0- x（2）我们考虑的是当xx0时，f(x)的 变化趋势，因此在x0点可以无定义；（3）定义中的是刻划与A的接近程度，是刻划与的接近程度; 是任意给的，随而确定。（4）如果不符合定义的条件，就说函数f(x)在点x0处没有极限。例1 利用定义证明：；例2 利用定义证明：.（三）左极限和右极限在上述定义“0|x-x0|时，不等式|f（x）- A|成立”包含着不管x从x0点的左侧（即x x0）趋于x0时（但不包含x=x0，亦即xx0），f（x）都趋于常数A，但有时，我们却只需研究当x从x0点的某一侧趋于x0时函数的变化趋势。例如对于函数，由于x 0）趋于0的情况。 再如，当x分别从0的左侧和右侧趋于0时极限是不一样的.定义2.5 如果对于任意给定的正数（不管它多么小），总存在一个正数，使得当时，不等式 |f（x）- A|恒成立，则称常数A为时f(x)的左极限，记为 如果对于任意给定的正数（不管它多么小），总存在一个正数，使得当时，不等式 |f（x）- A|0 （或A0）,则总存在一个正数，当0|x-x0|时，有（或）定理2.3 如果，且（或），则（或）.（证明略）2.3 变量的极限我们把数列及函数概括为“变量”，把概括为“某个变化过程中”，则：定义2.6 对于，在变量的变化过程中，总有那么一个时刻，在这时刻之后， 恒成立，则称在此变量的变化过程中以A为极限。记为 注：它概括了两种变量和三个变化过程中的极限问题。例：证明：.定义2.7：变量的某一变化过程中，如果存在正数，使变量在某一时刻之后，恒有，则称在那时刻之后为有界变量.定理2.4 如果在某一变化过程中，变量有极限，则变量是有界变量.即：有极限有界，反之不一定.如： 在附近有界，但不存在.浙江树人大学基础部教师备课笔记 一、 授课时间地点日期学院专业班级二、授课内容 无穷小与无穷大 极限的运算三、教学课时数 2四、教学目的与要求 使学生掌握无穷小、无穷大的概念、性质以及它们的关系；掌握极限的四则运算法则；使学生知道无穷小的比较。五、教学重点与难点 无穷小、无穷大的概念，无穷小的比较，极限的运算法则。六、教学过程（见教案纸）七、作业布置 p89：7；10；13；19八、教学小结 九、备注授课教师 陈益民2.4 无穷大量与无穷小量（一）无穷大量有一类变量，从变化的状态来看也有一定的趋势，但不是趋于某一常数，在变化过程中其绝对值可以任意大。如：（1）时，y =的绝对值|y|可以任意大.（2）x时，的绝对值|y|可以任意大.（3）x1时，的绝对值|y|可以任意大.“任意大”就是不论事先指定一个多么大的一个正数，总有那么一个时刻，在那时刻之后，变量的绝对值就可以大于事先指定的大正数.如（3）中，对于任意给定的正数E，要使，只要即可。定义2.8 如果对于任意给定的正数G（不管它多么大），总存在一个正数d，当0|x-x0|N时），不等式|f(x)|G，成立。则称函数f(x)当xx0（或x）时是无穷大，或称当xx0（或x）时函数f(x)趋于无穷大，记为 （或 ）说明：（1）若当xx0（或x）时f(x)是无穷大，我们就说当xx0（或x）时f(x)的极限不存在。（2）在无穷大的定义中，将|f(x)|G改为f(x)G，则称它为正无穷大，记为 （或 ）若将|f(x)| G改为f(x) -G，则称它为负无穷大，记为 （或 ）如： 注意：（1）说一个函数f(x)是无穷大，必须指明自变量x的变化趋势，如x+1是当x时的无穷大，当x-1时，它就不是无穷大，而是无穷小了；（2）不要把一个绝对值很大的常数说成是无穷大，因为这个常数在xx0（或x）时，极限为常数本身，并不是无穷大。无穷大是变量，是绝对值无限增大的变量。（3）-是不是无穷小？不是，还是无穷大。（一）无穷小量引例：求：共同点：极限值为0。定义2.9 若当xx0 （或x）时，函数f(x)以0为极限，则称当xx0 （或x）时，f(x)是无穷小量。如: 因为 ，所以函数x+1是当x-1时的无穷小。定理一 若，则当xx0时a(x)= f(x)-A是无穷小；反之，若xx0时a(x)= f(x)-A是无穷小，则。上述定理中，如将“xx0 ”改成“x”，定理仍成立。注意：（1）说一个函数f(x)是无穷小，必须指明自变量x的变化趋势，如函数x+1是当x-1时的无穷小，而当x趋向其他数值时，x+1就不是无穷小；（2）不要把一个绝对值很小的常数说成是无穷小，因为这个常数在xx0（或x）时，极限为常数本身，并不是0；（3）常数中只有“0”可以看成是无穷小。（三）无穷大与无穷小的关系定理二 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则是无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)0，则为无穷大。例1 求极限 （1） ，（2）。例2 已知，问f（x）何时是无穷小？何时是无穷大？（四） 无穷小的比较1. 引例：讨论当x0时，函数x,2x,x2的极限，并求的极限。2. 定义2.10 设xx0时(x),(x)都是无穷小，若（1），则称(x) 是比(x)较高阶的无穷小；（2），则称(x) 是比(x)较低阶的无穷小；（3）（K是常数），则称(x)和(x)是同阶无穷小。（特别地，若，就说与是等价无穷小，记为(x)(x)。说明：（1）上述定义中可将“xx0”改为“x”。（2）以上定义对于数列的极限也同样适用。 例3 比较（1）当x1时，无穷小1-x与；（2）当x时，阶数的高低。2.5极限的运算复习函数极限的定义新课：关于极限的运算法则，有以下定理：定理2.82.10 设，则1. ；2. ；特别地，（1）当g（x）= C（常数）时 （2） 3.增设B0，则 例1 求（1）； （2） 例2 求例3 求 例4 求例5 求 例6 求 例7 求浙江树人大学基础部教师备课笔记 一、 授课时间地点日期学院专业班级二、授课内容 两个重要极限三、教学课时数 2四、教学目的与要求 使学生掌握两个重要极限的内涵，并灵活的运用这两个重要极限来解题五、教学重点与难点 两个重要极限的运用六、教学过程（见教案纸）七、作业布置 p92：20；21八、教学小结 九、备注授课教师 陈益民2.6 两个重要的极限复习:无穷大与无穷小的概念；它们之间的关系；无穷小的比较。准则一 设F（x） f（x） G（x），且，则 例1 证明 ； 例2 证明 准则二 若un单调增加（即 u1u2un），而有上界；或者un单调减少（即ununun），且有下界，则极限存在。说明：“有上界”意指存在常数K1，使unK2成立。B E xo C一、 重要极限 A 1证明 先设x0，因为x0，故可认为，由上图（圆O为单位圆）可知 OAB的面积扇形OAB的面积OAC的面积由此得 以除上式各部分，得 取倒数，得 （*）再设，由上式可得即 于是（*）式对于都成立。在（*）式中令x0，再由准则一得 说明：（1）sinx中x的与分母中的x是一致的，但不一定是自变量，也可以是函数f（x）；（2）自变量x的变化过程不一定是x0，但在此变化过程中，分子分母都必须是无穷小。（3）当x0时，sinxx。例1 求 （1），（2）例2 求（1） ，（2）二 重要极限 1.极限（n为正整数）（存在性的证明略） 2.极限（理由略，e=2.718281828459）可以证明对于任意实数x，也有 说明：（1）自变量x的变化过程不一定是 x,但在此变化过程中，底数的极限为1，指数的极限为；（2）底数为1与一个无穷小的和，但此无穷小不一定是1/x，指数是无穷大，但不一定是x，只要此无穷大与底数中的无穷小互为倒数。 在上式中令，则当x时0，从而得到e的另一个表达式： 例3 求 ， 例4例5 求 浙江树人大学基础部教师备课笔记 一、 授课时间地点日期学院专业班级二、授课内容 函数的连续性三、教学课时数 2 四、教学目的与要求 使学生理解函数在某点连续的概念，会求间断点，理解初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质。五、教学重点与难点 函数在某点连续的概念，判别函数在某点的连续性六、教学过程（见教案纸）七、作业布置 p93：28；31；36八、教学小结 九、备注授课教师 陈益民2.7 函数的连续性引入：连续变化的事物：气温、时间。这种现象变化的连续性反映在函数上，就表现为函数的连续性。“函数是连续的”是指在自变量连续变化的过程中，函数值是连续变化的。如自由落体运动的路程s是时间t的函数，在时间t连续变化的过程中，s是连续变化的。但符号函数 在自变量x的连续变化的过程中，y在x=0处发生了突变，因此函数值不是连续变化的，函数在x=0处出现了不连续（间断）的现象。 f（x0）y=f（x） y从几何上看，函数的连续性表现为函数的图形是一条连而不断的曲线。因此，若y=f（x）在点（x0，f（x0） 处连而不断，根据图形，有 O x0 x（一）函数的改变量定义2.11 设变量从它的初值改变到终值，终值与初值之差，称为变量的改变量，记为 （注意：它可正可负）设有函数。当自变量从改变到时，函数相应的改变量为（二）连续函数的概念定义2.12 设函数f（x）在点的某一邻域内有定义，当自变量x在处的改变量x趋于0时，函数f（x）对应的改变量y也趋于0，即 则称函数f（x）在点处是连续的。例1 证明函数在给定点处是连续的。在定义2.12中，如令，则，当时，有即：，故有下列定义定义2.13 设函数f（x）在点的某一邻域内有定义，如果当时，函数极限存在，且为