浙江省中考数学复习 第一部分 考点研究 第三单元 函数 第15课时 二次函数综合题课件.ppt

第一部分考点研究 第三单元函数 第15课时二次函数综合题 考点特训营 重难点突破 一 与一次函数结合例1已知二次函数y ax2 bx 的图象与y轴交于点b 1 若二次函数的图象经过点a 1 1 二次函数图象的对称轴为直线x 1 求此二次函数的解析式 自主作答 解 1 由题意得 解得 此二次函数的解析式为y x2 5x 对于任意的正数a 当x n时 y随x的增大而增大 请求出n的取值范围 思维教练 结合题意可知要确定n的取值范围 即要确定该二次函数对称轴的取值范围 该二次函数图象过点a 将点a坐标代入解析式中求得a与b的等量关系 用含a的式子表示b 再求对称轴的取值范围即可 自主作答 二次函数的图象经过点a 1 1 a b 1 b a 对称轴为x a 0 0 x 当x n时 y随x的增大而增大 n 2 若二次函数的图象的对称轴为直线x 1 且直线y 2x 2与直线l也关于直线x 1对称 且二次函数的图象在 5 x 4这一段位于直线l的上方 在1 x 2这一段位于直线y 2x 2的下方 求此二次函数的解析式 思维教练 要确定二次函数解析式 需找到函数图象上除a之外的一个点 结合题意可知 需先根据对称轴直线x 1 直线y 2x 2及直线l之间的对称关系求得直线l的解析式 再根据题意画出符合的图象 借助图象找到满足条件的点 利用待定系数法求解即可 自主作答 2 由直线y 2x 2可知 直线y 2x 2与直线x 1的交点为 1 4 与x轴的交点为 1 0 直线y 2x 2与直线l也关于直线x 1对称 直线l与x轴的交点为 3 0 设直线l的解析式为y kx d 直线l过点 1 4 3 0 代入解析式得 解得 直线l的解析式为 y 2x 6 二次函数y ax2 bx 的图象的对称轴为直线x 1 且直线y 2x 2与y 2x 6关于直线x 1对称 当1 x 2时 函数y ax2 bx 的图象在直线y 2x 2的下方 当 4 x 3时 函数y ax2 bx 的图象在直线l y 2x 6的下方 又 当 5 x 4时 函数y ax2 bx 的图象在直线l的上方 当x 4时 y 2 4 6 2 即 4 2 为函数y ax2 bx 与y 2x 6的图象的交点 解得 此二次函数的解析式为y x2 x 例1题解图 练习在平面直角坐标系xoy中 二次函数y mx2 m n x n m 0 的图象与y轴正半轴交于a点 1 求证 该二次函数的图象与x轴必有两个交点 2 设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点b 若 abo 45 将直线ab向下平移2个单位得到直线l 求直线l的解析式 3 在 2 的条件下 设m p q 为二次函数图象上的一个动点 当 3 p 0时 点m关于x轴的对称点都在直线l的下方 求m的取值范围 1 证明 令mx2 m n x n 0 则b2 4ac m n 2 4mn m n 2 二次函数图象与y轴正半轴交于a点 a 0 n 且n 0 又 m 0 m n 0 b2 4ac m n 2 0 该二次函数的图象与x轴必有两个交点 2 解 令mx2 m n x n 0 解得 x1 1 x2 由 1 得 0 b点为右侧交点 b点的坐标为 1 0 又 abo 45 a 0 1 即n 1 则可求得直线ab的解析式为 y x 1 将直线ab向下平移2个单位可得到直线l y x 1 3 解 由 2 中得n 1 将其代入二次函数的解析式为 y mx2 m 1 x 1 m p q 为二次函数图象上的一个动点 q mp2 m 1 p 1 设点m关于x轴的对称点m 的坐标为 p q 则m 点在二次函数y mx2 m 1 x 1的图象上 当 3 p 0时 点m关于x轴的对称点都在直线l的下方 结合图象可知 12m 4 2 解得 m m的取值范围为 m 0 二 与几何图形结合 难点 类型一与线段有关的综合题例2如图 抛物线y x2 x 2与x轴交于a b两点 与y轴交于点c 点a在点b的右侧 1 设点m为第一象限内抛物线上的一个点 过点m作mg x轴于点g 交直线ac于点h 当线段bm bh时 求点m的坐标 思维教练 要求点m先设出点m的坐标 根据距离公式表示出bm bh 利用bm bh列等式求解即可 在表示线段bm bh时 因为mh垂直于x轴 所以点m和点h的横坐标相等 其纵坐标可分别根据点m在抛物线上及点h在直线ac上用含点m的横坐标的字母表示出来 自主作答 例2题图 解 1 抛物线y x2 x 2与x轴交于a b两点 与y轴交于点c c 0 2 令y 0 即 x2 x 2 0解得x1 1 x2 4 点a在点b的右侧 a 4 0 b 1 0 设直线ac的解析式为y kx b k 0 a 4 0 c 0 2 将其代入y kx b k 0 中得 解得 直线ac的解析式为y x 2 点m在抛物线上 点h在直线ac上 设点m坐标为 m m2 m 2 则点h坐标为 m m 2 根据两点间的距离公式可得 bm2 m 1 2 m2 m 2 2 bh2 m 1 2 m 2 2 bm bh m2 m 2 2 m 2 2 即 m 1 2 m 4 2 m 4 2 则 m 1 2 1或 m 4 2 0 m 0或m 2或m 4 当m 0时 点m h重合 故舍去 当m 4时 不合题意 故舍去 m 2 1 例2题解图 2 设点g是y轴上一点 点d是抛物线的顶点 是否存在点g使gd gb最小 若存在 求出点g的坐标 若不存在 请说明理由 思维教练 求线段和的最小值 解决办法为找其中一点的对称点 将两条线段转化为一条线段求解 自主作答 2 存在 如解图 设点b关于y轴的对称点为b 连接b d 直线b d与y轴的交点即为所求的点g 此时gd gb最小 设直线b d的解析式为y kx d k 0 y x2 x 2 x 2 d 将b 1 0 d 分别代入得 例2题解图 解得 直线b d的解析式为y x 令x 0 得y 点g的坐标为 0 类型二与角度有关的综合题例3抛物线y x2 2x 3与x轴交于点a b a在b的左侧 与y轴交于点c 在其对称轴上是否存在一点p 使得 apb abc 若存在 求出点p的坐标 若不存在 请说明理由 思维教练 要求点p坐标 已知 apb abc 45 且pa pb 过点b作bd pa 由勾股定理求得pe的值 进而可求点p的坐标 自主作答 例3题图 解 令y 0 即 x2 2x 3 0 解得x1 1 x2 3 点a在点b的左侧 a 1 0 b 3 0 ob oc 3 boc为等腰直角三角形 abc 45 apb abc 45 且pa pb 3分 如解图 过点b作bd pa于点d 设抛物线的对称轴与x轴交于点e 则 pbd为等腰直角三角形 be ab 2 设bd pd x 由勾股定理得pb x pa pb x ad 1 x 例3题解图 在rt abd中 根据勾股定理得ad2 bd2 ab2 即 1 x 2 x2 42 解得x2 8 4 在rt pbe中 pe2 pb2 be2 2x2 22 2 8 4 4 8 12 2 2 2 pe 2 2 点p的坐标为 1 2 2 或 1 2 2 综上所述 抛物线的对称轴上存在点p 使 apb abc 点p的坐标为 1 2 2 或 1 2 2 类型三与面积有关的综合题例4如图 已知抛物线y x2 bx c与直线y x 3相交于a b两点 与x轴的另一个交点为c 抛物线对称轴为直线l 顶点为d 对称轴与x轴的交点为e 连接bc 在抛物线上是否存在一点m 异于点c 使得s abm s abc 若存在 求出m的坐标 若不存在 请说明理由 思维教练 由于点m在抛物线上的位置不确定 需考虑m点的不同位置 结合图形分两种情况讨论 点m在直线ab的上方 可先设出m点的横坐标并用其表示出 abm的面积 再列方程求解 点m在直线ab的下方 可通过平移直线ab 使其经过点c 利用 同底等高的三角形面积相等 来求解 自主作答 例4题图 解 由直线y x 3得a 3 0 b 3 3 将其代入y x2 bx c中得 y x2 2x 3 令抛物线解析式y 0 即 x2 2x 3 0 解得x1 3 x2 1 c 1 0 图 图 如解图 当m在直线ab的上方时 过m作mm x轴交直线ab于点n 连接am bm 设点m的坐标为 m m2 2m 3 则n m m 3 mn m2 2m 3 m 3 m2 3m s abm s amn s bmn mn ao m2 3m 3 m2 m s abc ac ob 6 根据题意s abm s abc 6 则 m2 m 6 即m2 3m 4 0 此时方程无解 则不存在这样的m 如解图 当点m在直线ab的下方时 s abm s abc 以ab作底 只要 abm与 abc的高相等即可 故平移直线ab 使其过点c 此时平移后的直线与抛物线的交点即为m 设平移后的直线cm的解析式为y x 3 b 将点c 1 0 代入得b 4 直线cm的解析式为y x 1 与抛物线联立得 解得 点 1 0 即为点c 故舍去 存在这样的点m 其坐标为 4 5 类型四与相似有关的综合题例5如图在平面直角坐标系中 点o为坐标原点 抛物线y x2 2x 3与x轴交于点a b 点b在点a右侧 与y轴交于点c 在坐标轴上是否存在一点r 不与原点o重合 使得 boc与 bcr相似 若存在 请求出k点坐标 若不存在 请说明理由 思维教练 要求点r的坐标 易知 boc是直角三角形 故 bcr也是直角三角形 则分 brc 90 bcr 90 cbr 90 三种情况讨论 再结合相似三角形对应边成比例列关系式求解即可 自主作答 例5题图 解 由题易知 boc为直角三角形 要使 boc与 bcr相似 则需讨论 brc 90 bcr 90 cbr 90 三种情况 例5题解图 当 br