狭义相对论的不完全推导及其意义.doc

狭义相对论的不完全推导及其意义伽利略在他杜撰的乘坐大船(Salviati)的经历中，从假想实验中总结出了一条极为重要的真理：从一艘匀速且没有晃动的船中发生的任何一种现象，你是无法判断船究竟是在匀速运动还是在停着不动。上升为物理学原理就是力学相对性原理，它表明，在一个惯性系内，无论通过什么样的力学实验都无法判断惯性系自身的速度。这里没有匀速且晃动的Salviati大船其实就是一个惯性系。由力学相对性原理及绝对时空观的思想可建立起伽利略变换。设K，K系为相对运动的两惯性参考系，K系静止，K系沿着x轴方向以速度u相对于K系运动，且t=0时两参照系的原点重合（约定后面关于此惯性系统的讨论都基于这种简单模型），则两参照系之间有如下关系:x = x ut vx=vx-u ax=ax y = y 对t求导 vy=vy ay=ay F=ma=maz = z vz=vz az=azt = t这里第一组公式叫伽利略变换，从上述推导可看出牛顿第二定律F=ma在伽利略变换下保持了数学形式的不变性，于是可知由牛顿三定律导出的经典力学方程在伽利略变换都具有协变性，即伽利略变换是经典力学的一个对称操作，而这一切都建立在一个事实之上，绝对的时间和空间，也即绝对时空。为了导出狭义相对论的一些结论，我们还需要搞清楚一些物理学上最基本却又极为重要的问题，那就是有关时空的度量问题，如果这些问题没有解决，我们就无从谈起狭义相对论。什么是时间？什么是空间？又改怎么去度量？在我们的日常生活中，我们时时刻刻都会谈到时间和空间，因为这是两个非常平凡的基本概念，但我们对它们的认识却经历了一段漫长的时间。牛顿和伽利略认为，时空是绝对的，牛顿在他的自然哲学的数学原理中指出“空间，就其本性来说，与任何外在情况无关，始终保持相似和不变。”，“绝对的，纯粹的数学的时间，就其本身和本性来说均匀流逝和外在的任何情况无关。”这样的认识，和我们的日常生活经验是一致的。因此，200多年来，物理学家对绝对时空都深信不疑，牛顿的绝对时空观是如此的根深蒂固，统治了物理学多达200多年而不动摇。以前伽利略曾利用脉搏的跳动次数来观测吊灯的摆动规律，第一次揭示了时间可以用一种周期性现象重现的次数来度量。因此原则上可以说，任何具有重复性的过程都可以当做一种计时的钟，重现的次数即可作为刻画一段时间的长短。现在统一的标准单位时间是：以Se原子基态超精细结构的微波辐射的周期T作为时间单位，1s=9192631770T。空间度量的基本工具是尺子，因此原则上任何有一定长度的东西都可当作尺。具体测量方法是：沿着物体长度方向建立一维坐标x，坐标轴的刻度由尺决定，由物体两端对应坐标之差x2-x1确定物体的长度。如果物体是运动的，则应同时读出两端的坐标值(这里特别要注意同时)。现代标准的单位长度是：以氪原子2P10-5d5跃迁所发射的光的波长为标准单位，1m=1650763.73。现在有关时间和空间的测量问题已解决了，并且能够做到足够的精确，因为定义的两个标准单位都是以十分稳定且不受环境因素影响的原子态为测量基准的。有了时间和空间的概念，我们就可以继续探讨时空的一些性质。对于这些问题的探讨，看似是十分浅显的，不过，作为物理学的特征之一，就是从不放过任何一个“浅显”的概念，因为这些看似“简单”的问题是建立严格理论的基本前提，而从这些问题出发，往往能够得出深刻而又简洁的道理，出于简单又归于深奥，这正是物理世界不可思议的地方，物理学究竟能够对真实世界作出如何深层次的洞察，以及给我们呈现一种怎样的世界观，至今还未可知，正如爱因斯坦所说，宇宙最不可思议的地方就是它可以被理解的。狭义相对论的出现归根结底来源于经典物理学遇到了前所未有的危机，麦克斯韦方程组在经典力学的伽利略变换下不具有协变性。而经典力学中的相对性原理则要求麦克斯韦理论在伽利略变换下都具有协变性。为了解决这一矛盾，物理学家首先提出了“以太假说”，即放弃相对性原理，认为麦克斯韦方程组只对一个绝对参考系成立,这个绝对参考性称为以太。根据这一假说，由麦克斯韦方程组计算得到的真空光速是相对于绝对参考系（以太）的速度；在相对于“以太”运动的参考系中，光速具有不同的数值。因为物理学是强调实证的,所以“以太假说”必须得到实验的证实，但迈克尔逊和莫雷实验的零结果实验，在足够精确的范围内且重复多次都未发现以太风的存在。面对迈克尔逊-莫雷的零结果实验，相信以太存在的物理学家提出了各种假说试图解释这一现象，调和与经典物理学的矛盾。当科学处于混乱之时，爱因斯坦处在了世纪的巅峰，以革命性的思想提出光速不变原理，并指出以太是不存在的。因为爱因斯坦信奉马赫的哲学思想，而马赫认为“凡是不能通过测量检验的命题是没有意义的。”爱因斯坦接受了这一观点。爱因斯坦认为，由于现在没有物理学实验和文献能够证明以太的存在，所以以太是没有意义的，应该舍弃。爱因斯坦也相信光速独立于参考系，因为由麦克斯韦方程组可以得到电磁波的波动方程，由波动方程解出真空中的光速是一个常数，c=100（0：真空磁导率，0：真空介电常数），公式表明，光速c恒等于一个确定的常数，它与光源运动无关，它应该只由真空的性质（0和0）决定，而与惯性系的选择无光，即光速不变。光速不变原理解释了迈克尔逊-莫雷实验的零结果，但麦克斯韦理论不能与伽利略变换不相容的问题仍未得到解决。麦克斯韦方程组与伽利略变换矛盾表明经典力学与经典电磁学理论的割据，两者不能融洽。此时的物理学家有两条路可供选择：一条是改造电磁理论，使之有伽利略变换的协变性；另一条路是寻找新的变换，在新的变换下，所有物理定律都保持协变性。爱因斯坦相信麦克斯韦的电磁理论是成熟和正确的，而真正应该怀疑的倒是伽利略变换。为此爱因斯坦花了一年的时间来寻找这个新的变换。在一次的偶然机会，他在伯尼尔的一个朋友的帮助下找到了答案。它的答案是对时间的概念重新分析，他想到时间与信号传播速度之间有一个不可分割的联系，即时间和空间有关，时间是相对的。其实我们知道，遥远的星体发出的光，由于光速有限，在星际中要旅行n年才能到达地球，也就是说，当你看到那一束光时，已经是n年前的样子了，所以只要你看的越远，你也看到了时间上更早的情况，这个事实也开始显现了时间与空间有联系了。以前牛顿认为时间和空间是独立的，也即绝对的时间和空间。牛顿之所以怎么认为是因为它相信超距作用，即力的作用的传递是不需要时间的，而这需要时间和空间独立才能做到。 超距作用使得物理学家感到十分的不安，但却无能为力。现在爱因斯坦利用新的时空观，解决了所有的难题。他指出，宇宙中信息传递的速度是有上限的，这个上限就是真空中的光速，由于力的作用也是一种信息，传递必然需要时间，所以不存在超距作用。为了导出狭义相对论，除了一个光速不变原理，另外还需要一个基本原理，就是狭义相对性原理。狭义相对性原理指出，在所有惯性系中，物理定律有相同的表达形式。这是力学相对性原理的推广，它适用于一切物理定律。狭义相对性原理说明只要对一个惯性系观测得出的规律形式可以直接用于其它惯性系，无需通过变换过渡。至此，我们已经有了两个基本原理：光速不变原理和狭义相对性原理。从这两个基本原理可以导出整个狭义相对论，这就是出于简单而归于深奥的真正含义，因此可以说相对论也是一种公理化体系，它保持自身的封闭与自洽。这好比我们在玩一种游戏，这里游戏规则只有两条，玩到后面却能玩出许多的花样，真是层出不穷，奥妙无比。如果把光速不变也看成一条物理规律的话，那么由狭义相对性原理可知，光速对所有惯性系的速度是一样的，即光速不变，所以可以说狭义相对论仅仅是建立在一个事实之上狭义相对性原理。在狭义相对论中，因为基本原理是对于惯性系所作的假设，所以在狭义相对论的范畴内只能讨论平直的线性时空（指没有引力的，即闵可夫斯基时空）。下面我们就以两个基本原理为出发点，在平直的线性空间中展开讨论，去揭开关于时空的一些性质。首先应把洛伦兹变换导出来，它是为解决伽利略变换与经典电磁理论的矛盾而提出的新变换，它适用新的时空观点。 设K，K系为相对运动的两惯性参考性,K系沿着x轴方向以速度u相对于K系运动，且t=0时两参照系的原点重合，即有x=x=x-ut=0x+ut=0。因为伽利略变换在新的时空观点下只是一种近似的变换，故我们在变换x=x-ut中加入一个修正因子，是一个常数，与速度无关，若不然，惯性系将不再等价（这时完全可以猜测到=f（c）。）于是有x=（x-ut）（1）, 在此基础上，引入相对性原理，即不同惯性系的物理方程的形式应相同，则有x=（x+ut）（2），将（2）代入到（1）中有x=2(x-ut)+ ut（3），整理可得t=1-2x+2utu （4）。为了确定系数，引入光速不变原理，当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct（5），x=ct（6），将（5）（6）分别代入到（1）（2）消去t和t得=11-u2c2,于是得到了洛伦兹变换：y = yz = z 这里之所以叫洛伦兹变换是因为这个变换最早由洛伦兹提出，实际上他已走到相对论理论的边缘了，但是由于受到了经典时空观的束缚，他并没有认识到这个变换的重要性，故与相对论失之交臂。洛伦兹变换代表的是同一个物理事件在不同的惯性系中时空坐标（x,y,z,t）的变换关系，它有别于伽利略变换，代表的是一种全新的时空观，但当相对速度v远远小于光速c时，此时洛伦兹因子1时，洛伦兹变换退化为经典力学中的伽利略变换，所以，狭义相对论与经典力学并不矛盾，狭义相对论将经典力学扩展到了宏观物体在一切运动速度下的普遍情况，经典力学只是相对论在低速时的近似情况。要注意的是，这里的1趋近于并非数学意义的无限趋近，实际是有很大误差的，这也是数学和物理的一点区别，数学给我的感觉是十分严谨的。在狭义相对论中，某一事件可以用带有四个参数的时空坐标（t,x,y,z）来描述，洛伦兹变换就是在不同惯性参考系中观察同一事件的时空坐标变换关系，并且是满足四维空间中间隔（s2=c2t2-x2-y2-z2）不变的变换。如果将x、y、z记成x1、x2、x3，并且令：x0 = ct那么洛伦兹变换可以写成如下的矩阵形式： 其中 称为洛伦兹因子。利用矩阵分析（本人数学系学生）的结果，对洛伦兹变换矩阵（记为A）稍作分析，显然矩阵A满足AT=A，且detA=1。但很可惜的是，变换A仅仅是差了一步（只要两个-t中有一个是正的就可以）满足正交旋转变换的条件，即要求满足A-1=AT，如果是这样的话可以套用矩阵论的一些结果去得出很多推论。看来事实并非如此简单。不过，我后来发现它是满足稍微比正交旋转变换更为复杂一点的变换，它并不是等距（指长度不变）变换，而是与等距变换类似，洛伦兹变换在数学上等同于双曲旋转。此座标“旋转”中类似“长度”的不变量是：s2=c2t2-x2-y2-z2 = s2=c2t2-x2-y2-z2，此即为物理意义上的间隔不变性，它表明点光源的光波成球状辐射出去，K系和K波速都为c，正好符合了光速不变原理。此处数学与物理学的奇妙结合在一起了，想到这一步，我已经十分激动了，我开始庆幸我现在本科是出生在数学系，而同时又能领略到物理上的美，我感叹上帝（代指自然法则）是如此巧妙地设计了宇宙，我们在这一切之前是如何的渺小。关于双曲旋转变换A=coshsinhsinhcosh我至今还未查到任何数学上的专业资料，一般研究生的矩阵分析教材只会对正交变换A=cossin-sincos作过系统论述，并且有一大堆的漂亮结果。或许此时的我已孤陋寡闻了，也许早就有数学家对双曲变换作过系统研究。无论如何，由双曲变换必能建立一个完整的数学理论体系，并且导出许多重要结论，对双曲变换的研究也将会加深对洛伦兹变换以及整个时空性质的理解，这将是激动人心的时刻。对于还处在本科二年级的我，这一切还要一些时间。走到这一步，我们已经从两个最基本的原理（或者是假说）：光速不变原理和狭义相对性原理，导出了洛伦兹变换，这是狭义相对论的基本方程，由它可以继续导出很多的重要结论，速度变换及能量动量等的一些结果。我们只讨论它的一些重要推论。其它的暂不深究。1）同时的相对性爱因斯坦说过，凡是时间在里面起作用的判断，都是对同时性的判断。所以对于时间同时性的判断是一个基本却又非常重要的一步。由 t=t-uxc21-v2c2知有t=t-uc2x1-v2c2，现在假设t=0，即在K系中两事件是同时的，但我们可以发现在K系就未必是同时的了，且看只要公式t=t-uc2x1-v2c2里的x0，t便不为零，即在K系中观察，两事件不是同时发生的，这时同时也成了相对的。因为不存在特殊的惯性系，所以就不存在一个普适的时间，处在不同惯性系的两个事件是不能判断同时性的，除非它们处在同一个时空点。2）时间度量的相对性时间膨胀在公式t=t-uc2x1-v2c2 ，只要令x=0，就得到了时间膨胀公式t=t1-v2c2，这是洛伦兹变换的一个直接推论。t称为固有时，是在静止系的时间间隔。这里为什么可以令x=0呢？一开始我也思考了很久，后来想到这里测量时间差要求的是两个事件在同一地点，所以x=0，表示在同一地点的两个事件发生的时间间隔。 时间膨胀公式也可由利用毕达哥拉斯定理以及及光速不变性直观地推导出。我们可以设计这样一种装置（其实就是一种计时的装置），它由激光和两面平行的反射镜组成，激光在反射镜的一侧，反射镜的距离为d，则激光发射出光后要经过t=2dc返回原点，现在让这个装置相对于惯性系K以速度u匀速前进，相对K系静止的我们将会看到如图所示的样子（相对静止时是），显然光在一个周期内所走的路径被“拉长”了，为了使光速不变的性质得到满足，必须让周期t延长。由毕达哥拉斯定理可得到t=d2+u(t2)2c，结合式t=2dc消去d得到t=t1-v2c2，这就是时间膨胀公式，由于膨胀系数=11-u2c21，所以tt ，即在K系看来，K系的时间变慢了，同理，在K系看来，K系中的时间也变慢了，而这并不矛盾，因为时间是相对的。时间膨胀公式表明物体内部所有一切的物理化学变化反应都会变慢，把它应用到生命体上，就是高速运动时身体内的所有新陈代谢将会变慢（相对静止时而言），这就会导致一个结果，作高速运动的人将会比一直处在静止的人年轻。（生命在于运动啊。）3）空间度量的相对性长度收缩由洛伦兹变换公式知x=x-ut1-v2c2，与上同理，测量运动物体的长度时要求同时记录下两段的坐标值，故要求t=0，即x=x1-v2c2，也即有x=x1-v2c2，其中x是在K系中测量的长度（此时的尺子相对于K系静止），x称为固有长度，x是在K系中测量的长度（此时测量的物体是相对K系运动的），显然此时xx，即在K系看来，物体的长度（沿速度方向）缩短了。关于长度收缩公式我还没有找到一个直观的推导，也就是不利用洛伦兹变换，单纯利用两个基本原理去推导。时间膨胀公式的直观推导我很早以前就知道了，但长度收缩公式的直观推导我至今还没有找到推导的方法，原因是我还没有找到一个易于推导和理解的模型，这个模型就像在推导时间膨胀公式时的计时装置。关于长度收缩效应，也有一个有趣的例子。看过伽莫夫写的物理世界奇遇记的人应该知道，里面的主人公汤普金斯在他所处的城市看到的世界是一个压扁了的世界，因为根据长度收缩公式，似乎很自然的得到这个结论，十几年来，也被物理学家认为是正确的，但后来发现这是错误的。原因是没有把测量形象和视觉形象区分开来，仔细想一想，视觉应该是光子同时到达眼睛并形成像，而测量是同时记录物体两端坐标值，这里两个同时是不一样的。因为眼睛与物体的距离不一样，这就意味着被观察物体各部分发射的光子不能同时到达眼睛，离开观察者远的点必然比离开观察者较近的点有较早的发射时刻，因此不难想象，汤普金斯看到的将会是一个相对于静止时的略有转动的像，而不是一个压扁了的像。爱因斯坦从小就思考过这个问题：假如我们能够追上一束光，那将会怎样？现在差不多就有了答案，当我们以接近光速飞行时，看到的光仍然是以光速c的速度前进，而眼前的世界将会是一个比以前看到的世界略有转动的世界。4）质速关系 在经典力学中，由牛顿第二定律知a=Fm，因此理论上只要有足够的能量，就能把一个物体加速到无限大的速度，但在狭义相对论中，由于受到光速极限的要求，必然要求当物体被加速到接近光速时，Fm=a0，但是怎样才能使这个条件得到满足呢，唯一的办法是对牛顿第二定律进行修正（修正之后就成为相对论力学了），引入因子，即F=ma=ma，其中m=m=m1-v2c2，这时质量也像同时性，时间，长度一样成为第四个相对量。可是这里的质量不再代表物质的量，而是惯性质量，在牛顿力学中对惯性质量和物质的量不加区分，在相对论中必须严加区分，否则导致谬误（我以前就陷在这里了），因为一个物体的物质的量（指含有物质数量的多少）并不随速度而改变。公式m=m1-v2c2称为质速关系式，m称为相对论质量。由质速关系可以知道场物质（像光子一类的）是没有静止质量的，即m=0，又因为真空中场作用的传递速度是光速，如其静止质量不为零，相对质量的增加将会使它的质量变得无穷大。与场物质对应的是实物，相反，实物必须有相对质量，才能保证光速不变原理成立。相对论质量是一个很容易被误解的量，运动时，时间会变慢，尺子会缩短，这可以很好地理解，但在相对论质量我却怎么也不能想象（不引入惯性质量的前提下）一个物体运动时它的质量会变大，这个问题困扰了我很久，后来查资料得知爱因斯坦本人也不喜欢“相对论质量”的概念显示“It is not good to introduce the concept of the mass m=m1-v2c2 of a moving body for which no clear definition can be given. It is better to introduce no other mass concept than the rest mass m Instead of introducing m it is better to mention the expression for the momentum and energy of a body in motion.Albert Einstein in letter to L Barnett (quote from L. B. Okun, The Concept of Mass, Phys. Today 42, 31, June 1989.)”现代的物理学家已很少使用相对论质量了，相应以其它有明确意义的量代替。 5)质能关系在牛顿力学中，如果有一个力f作用在物体上，由动能定理知，这个力将会对物体做功，使其动能增加。但由质速关系知，一个力f却并不能使v无限制地增加，那么，力f做的功转变成什么能量了呢？看来我们还要对经典力学的动能表达式进行改造，使它能够适应新的理论。前面引入相对论质量，一个很重要的目的是导出质能公式。 Ek=fdx=dpdtdx=dxdtdp=vdp=dpv-pdv=pv-pdv=mv2-mvdv=m01-v2c2v2-0vm01-v2c2vdv=m01-v2c2v2+m0c21-v2c2 m0c2=mc2-m0c2最后得相对论动能公式Ek=mc2-m0c2，当v远小于光速时，可将mc2=m01-v2c2c2按vc 按麦克劳林公式展开至第二项，可发现Ek12m0v2，正好符合经典力学中的动能公式。相对论动能公式Ek=mc2-m0c2也可写成mc2=Ek+m0c2，爱因斯坦认为mc2是质点运动时的总能量，而m0c2是质点所具有的静能量。在牛顿力学中只认识到了动能，势能等能量，而没有发现静能形式的能量，在这里，是从相对论中导出的结论，而这种能量是巨大的，是质量m的c2倍，足见潜能之大。质能关系式有着巨大的应用前景，科学发展至今，E=mc2已成科学技术的象征。质能关系式也可从动量能量三角推出，由质速关系式m=m01-v2c2得到能量动量关系：m2c4=p2c2+m02c4（也称动量能量三角），只要令p=0即v=0即可得到静能公式E静=m0c2(所谓静能就是物体静止时的能量，故令v=0)，所以这时相对论质量成了不必要的东西，即不必引入相对论质量，直接由动量能量关系导出质能公式。好了，我们的旅程就在这里暂告一段落，就此打住吧。稍作回顾，我们从伽利略变换说起，先论述了伽利略和牛顿时代对于时空的认识，再到物理危机引发新的时空革命。我们首先先澄清了两个最基本又很关键的两个问题，关于时间和空间的测量，然后在新的时空观点下对物理学作了两个基本假设：光速不变原理和狭义相对性原理，由狭义相对论的两个基本假设又导出了洛伦兹变换，继而得到它的五个重要推论。这篇文章算是我对学习狭义相对论的一个总结性工作吧，而这个总结性工作却陆陆续续差不多花