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电磁测深教程 第二章 电磁场基本理论第二章 电磁场基本理论2.1 麦克斯韦方程组与波动方程2.1.1麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组描述了电磁场最根本的规律，在时间域中的表示式为： (2.1.1)(安培定律) (2.1.2)(是涡旋场) (2.1.3)(库仑定律) (2.1.4)上述方程中的各个量，为电场强度（）；为磁感应强度（），或磁通密度（）；为磁场强度（）；为电位移矢量（）；为电流密度（）；自由电荷密度（）。麦克斯韦方程的物理意义是，它建立了场强矢量、电流密度及电荷密度之间的关系。(2.1.1)(2.1.4)式描述介质中产生的场的特点，且在场源以外区域成立。如果考虑一次场源作用，则(2.1.2)式右端应加一次场电流密度及(2.1.4)式右端应加一次电荷密度。还应写出三个物质方程，即： (2.1.5)在麦克斯韦方程中，作为描述电磁场状态的基本方程应有电流连续性方程。它实质上来源于上述方程组。实际上，对(2.1.2)式两边取散度： (2.1.6)由于矢量旋度的散度恒等于零，故:考虑到(2.1.4)式，上式可写为： (2.1.7)此式描述了这样一个事实，即单位时间内通过一个封闭面流出或流入的电流量等于这一封闭面包围的体积内电荷减少或增加的数量。还应指出，上面的(2.1.3) 和(2.1.4)式可由(2.1.1)和 (2.1.2)式导出。如在(2.1.1)式两边取散度，得：因为一个矢量的旋度的散度恒等于零，即，因此B的散度不随时间而变化，但本身是随时间变化的，故只能是。类似地，从(2.1.2)式，由于，考虑到(2.1.7)式，有：上式表明，是不随时间而变化的，但和本身可以随时间变化,故有，即：(2.1.4)式是一个较为普遍的公式。实际上,在电法勘探的野外工作中遇到的是导电介质。在这样的介质中讨论电荷密度的状态是有意义的.利用物质方程可将(2.1.7)式写为：故 即 其解为：即随着时间t增加,在导电介质()中电荷密度将趋于零。令,则为时间常数,经过时间初始电荷密度减少倍。令，则。可见，在导电介质中电荷密度会很快地消失。所以在我们所遇到的导电介质中可认为： 2.1.2电磁场的矢量位和时间域波动方程在各向同性均匀导电介质中麦克斯韦方程变为： (2.1.8) (2.1.9) (2.1.10) (2.1.11)类似稳定电场中引入标量位一样，在电磁理论中引入矢量位函数来求问题是很方便的。这时，电场和磁场可由矢量位函数的微商直接求出。由(2.1.10)式可以看出，矢量是涡旋场（即无散场），故可表示为另一任意矢量的旋度，即： (2.1.12)由上式可认为磁场是由矢量位产生的，可见，带有电性源的性质。关于矢量位的称呼在电磁场论中至今还不统一。在有些书中根据原因将称为电矢量位，而另一些人认为根据结果称为磁矢量位。将(2.1.12)式代入(2.1.8)式，得：或 上式说明，括号内的矢量是无旋的，亦即可表示为任一标量函数的负梯度，即：或 (2.1.13)将上式和(2.1.12)式代入(2.1.9)式，得： (2.1.14)利用矢量恒等式 (2.1.15)和罗伦兹条件： (2.1.16)由(2.1.14)式得： (2.1.17)将(2.1.13)式代入 (2.1.11)式，得：或者 利用(2.1.16)式的关系代入上式，得： (2.1.18)(2.1.17)和(2.1.18)式是电磁场的矢量位和标量位所满足的时间域波动方程，或在数学物理方法中称为电报方程。 罗伦兹条件乃是加在任意矢量和标量位函数和上的唯一限制条件。正是由于引入了这一条件，使得和的方程具有对称性，即使得这两个位满足同一形式的波动方程。 可以证明，在均匀各向同性介质中，、以及也满足(2.1.17)和(2.1.18)式相同形式的波动方程。对(2.1.9)式取旋度得：以及利用(2.1.15)和 (2.1. 8)式,可写成：或(因为) (2.1.19)类似地,取(2.1. 8)式的旋度,利用(2.1.15)式及可得： (2.1.20)由于，入上式得： (2.1.21)下面，我们还引入新的矢量位。定义它是电磁性源，如不接地回线、线框等所产生的电磁场的矢量位，即为磁矢量位。由于导电介质中电荷不能保存，故有：故可令 (2.1.22) 将上式代入到(2.1.9)式，得： (2.1.23)根据矢量恒等式，任一标量位应满足下式所以，在一般情况下有下式成立 (2.1.24)将(2.1.22)和 (2.1.24)式代入到 (2.1.8)式及利用 (2.1.15)式，得：如果限定前面任意给定的满足下述罗伦兹条件 (2.1.25)则： (2.1.26)即为矢量位所满足的时间域波动方程。标量位所满足的波动方程为：在我们所推导的时间域波动方程中需要注意的是均有矢量位或场对间的一阶和二阶微商。当场变化很快和介质电阻率时，一阶微商的项可以忽略，使方程变为纯波动性的。相反，当场变化比较缓慢且传播在良导电介质()中，则表征波动性的二阶微商项可以忽略，即： (2.1.26)式中为任意场的矢量，如或、等。此式称为热传导方程或扩散方程。因此，在良导介质中或强烈吸收的介质中的电磁场不按波动规律传播，而遵循扩散规律，即类似于热的传导过程。如果引入一个单一的矢量赫兹矢量代替上述的矢量和标量位和.则常常更便于某些问题求解。为此，令： (2.1.28)这时，为了使罗伦兹条件(2.1.16)式得到满足，仅需要定义： (2.1.29)将(2.1.28) 和(2.1.29)式代入(2.1.13)式，得：利用(2.1.15)式，上式可写成： (2.1.30)为了令也满足上述所有形式的波动方程，可令： (2.1.30)因此： (2.1.31) (2.1.32)这样，解一个波动方程(2.1.30) 式后，便可通过(2.1.31)和 (2.1.32)式的微分运算求出场和。2.1.3谐变电磁场的波动方程在频率域中讨论波动方程同样具有重要意义。在这里最重要的时变函数形式是随时间谐变的稳态交变电磁场，即和。其中取正谐时还是负谐时是任意的，二者在求解过程中所用的函数形式上有些差别，但最终导致同样结果。不用作者采用不同谐时关系.故大家应熟悉不同谐时的推导过程中方程形式的差别。令在前面所提到的所有矢量和标量的波动方程(2.1.17) (2.1.21) 、(2.1.26) 和(2.1.30)中的场量均以代替，将代入均可得当采用正谐变时的时候方程的形式写为： (2.1.33) (2.1.34)而方程的形式写为： (2.1.35)时，则： (2.1.36)当采用负谐变时的时候方程为： (2.1.37)则 (2.1.38)方程(2.1.33)、 (2.1.35)和 (2.1.37)称为亥姆霍兹方程。k称为介质的波数或传播系数。亥姆霍兹方程是个齐次方程，是描述在导电介质中产生的感应二次场的方程。该场与场源产生的一次场一起形成电法勘探中的总场。 当低频电磁波在导电介质中传播时.可以忽略位移电流作用。实际上，在一般野外工作条件下由于忽略位移电流可将传播系数写为： (2.1.38)根据(2.1.37) 及(2.1.38)式，在谐变场情况下，矢量位的方程由(2.1.17)式改写为： (2.1.39)式中 磁场由(2.1.12)式求出。为了求出电场将(2.1.13)式重写为： (2.1.40)而罗伦兹条件(2.1.16)式对负谐时的谐变场有： (2.1.41)式中 将(2.1.41) 式代入到(2.1.40)式，得： (2.1.42)因此，通过一个矢量位用如下方程组表示出两个矢量和： (2.1.43)对于矢量A*，也可作同样的推导。在谐变场情况下，由(2.1.25)式得 (2.1.44)式中电场由(2.1.21)式求出。为了求出磁场，从(2.1.24)式得故有 (2.1.45)而(2.1. 24)式变为 (2.1.46)与矢量位一样，通过一个矢量A*用如下方程表示出两个矢量和 (2.1.47)比较(2.1.43) 和(2.1.47)式不难看出如下电磁类比现象，即 (2.1.48)这就意味着，从电偶极子场的解可转换到磁偶极子场的解，反之亦然。2.1.4边界条件一般分离变量法求解亥姆霍兹方程。为取得唯一解必须附加边界条件，才形成定解问题。考虑矢量位在具有不同电磁学性质和的两种介质分界面上的边界条件。选择如下的直角坐标系：x和y轴位于分界面上，而z轴垂直于分界面。在这种情况下，边界条件为场强切线分量、连续，磁感应强度法线分量连续及标量位连续，即： (2.1.49)利用(2.1.41) 式和(2.1.43)式，通过矢量位写出边界条件(2.1.49)如下 (2.1.50)利用下式确定以上的旋度分量即将(2.1.50)式展开为： 利用上式第六式的关系，从第一、二式立刻看出 (2.1.51) (2.1.52)当发射偶极子指向或轴时，在的三、四式中分别成立或，故有：或积分得 (2.1.53)由此，从第三、四式可写出另外两个等式 (2.1.54) (2.1.55)矢量位的边界条件重新整理为： (2.1.56)完全类似地，从(2.1.47) 和(2.1.45)式可导出的边界条件，即矢量位和的边界条件是相似地，只是根据类比条件(2.1.48)式以代替即可。所以 (2.1.57)为了单值地求解，除以上边界条件之外，还必须具备如下的物理条件： i)场源条件：当考察点接近场源时，位函数应该趋向于场论中已知的给定场源的一次场。 ii)无穷远处条件：随着远离场源，矢量位必须按照规律衰减，式中为源点到观测点之间的距离，为衰减系数，即满足发射的行波条件。在直流场情况下。 iii)在限制研究范围(如果它不是无穷大)的表面S上的边界条件归结到该表面上的矢量位问题。 iv)初始条件：在所有研究范围内应给出的初始时间的矢量位。2.2 水平电偶极子的场设有一水平电偶极子位于上半空间，其偶极距，距分界面的高度为，如图2.2.1所示图 2.2.1 水平电偶极子选取共同原点位于偶极子中心的一个直角坐标系统和一个柱坐标系统.使偶极距指向x轴正向，z轴垂直向下设、分别为上半空间介质的电导率，导磁率和介电常数；、分别为下半空间的介质的电导率，导磁率和介电常数.在勘探地球物理中，下半空间常常代表大地，上半空间常常代表空气。设偶极源中的电流为正弦电流故其产生的电磁场亦为谐变场式中、为电磁场强度的复幅值，、分别为电场和磁场相对于电流的相位差。在场源外的空间，在介质性质均匀的条件下，这个谐变场满足如下的麦克斯韦方程组 （2.2.1）我们定义一个电类型的矢势：引入这样一个矢势可以使问题明显简化。将上式代入（2.2.1）式考虑到任何标函数的梯度的旋度恒为零，故可设由上面的式子我们得到：利用矢量恒等式来代替左边，我们得到： （2.2.1a）选择规范条件（即“罗伦兹条件”）使（2.2.1a）变为： （2.2.1b）谐变场的矢势和标势同样是谐变的，它们对时间的微分存在如下算符规律： （2.2.1b）式化为：我们可以得到亥姆霍兹方程，并且电磁场的各分量也可以只用矢势A来表示： （2.2.2）在存在大地空气的分界面的条件下，在介质（空气）中，以位移电流为主，传导电流可以忽略，此时波数k化为而在介质（大地）中，传导电流占支配地位，位移电流可以忽略，相应地波数k简化为。在上，下两个半空间的分界面上，场的切向分量应该连续，而法向分量不连续 （2.2.3）对x、y分别积分这些等式，我们得到四个修正了的边界条件 （2.2.4）在介质和介质中矢势的解应分别写为： （2.2.5）式中现在我们利用边界条件来确定常数a、b 在分界面上处，由边界条件： （2.2.6）由边界条件： (2.2.7)由边界条件：(2.2.8)由边界条件： （2.2.9）我们把偶极子逐渐移到分界面上，即命作为求解积分常数的极限条件，这时上式变为： （2.2.10）解此关于、的联立方程，得到： （2.2.11）对于实际存在的空气和大地介质而言，其导磁率都非常接近于真空中的导磁率，即：在空气中是以位移电流为主而在大地中是以传导电流为主并且空气的波数比大地的波数小很多，接近于。，。所以可把忽略，这时近似地有，。同时把脚标改写如下，在这种近似的条件下，常数、化简为： （2.2.12）将上式代入得到上，下两半空间中矢势A的解的积分表达式：（2.2.13） （2.2.14） （2.2.15） （2.2.16）求得以上矢势的表达式之后，便可求得电磁场各分量表达式。在柱坐标系统中，各分量可具体写为： （2.2.17）首先，我们根据上式来求电场各分量的表达式。为此，先求 （2.2.18）上式中的积分可以写成： （2.2.19）在韦伯、李普希兹积分公式中，命，我们有 ，所以 当时 当时对地表电场强度的水平分量，我们有以下表达式 （2.2.20）为了求出上式的积分，我们把该积分改写为：利用韦伯、李普希兹公式式中，可以把上式中的第一个积分写为，当z=0。进行二阶微分并置，我们有 （2.2.21）对于第二个积分，我们利用索莫菲傅立叶积分公式 （2.2.22）把它改写成： （2.2.23）进行二阶微分并置，我们有 （2.2.24）故电场的水平分量的表达式为： （2.2.25） （2.2.26）现在我们来推导磁场的各分量的表达式。对于磁场的径向分量我们有：（2.2.27）为此必须求出上式中的两个含有贝塞尔函数的积分。其中的第一个积分，根据前面的推导可立即写出为： （2.2.28）对于其中的第二个积分 （2.2.29）这里我们同时利用了贝塞尔函数的积分恒等式。将积分代入得到磁场径向分量在地表时的表达式 （2.2.30）式中，和，分别为以为宗量的第一、第二类虚宗量贝塞尔函数，其中下标表示各自的阶数。利用贝塞尔函数的递推公式： （2.2.31）我们得到磁场径向分量的最终表达式： （2.2.32）对于地表磁场的方位分量我们有：（2.2.33）利用贝塞尔函数的微分公式： （2.2.34）代入变为： （2.2.35）如前面所证明的 （2.2.36）所以 （2.2.37）至此，均匀导电半空间表面水平电偶极子的电磁场各分量的表达式已经全部推导出来，我们把这些公式集中写在一起： (1)在近区响应（）当时，各式的渐进表达式是：(2)远区响应()当时，各式的渐进表达式是：2.3 垂直磁偶极子的场2.3.1谐变电磁场矢量位的解 设波数为、的两种均匀介质水平分界面上处有一垂直磁偶极子(水平线圈)。柱坐标系的原点在偶极子中心处，z轴向下为正，矢量位应满足如下基本方程： （2.3.1） （2.3.2） （2.3.3）式中：。由于问题具有轴对称性，故矢量位只有偶极子轴方向的分量，且与角无关。因此在柱坐标系中的亥姆霍兹方程为： （2.3.4）利用分离变量法解(2.3.4）式。当时 （2.3.5）由于当时，应舍去，故其通解为： （2.3.6）式中考虑到全空间矢量位的解，在水平面上、下介质中可分别写出： （2.3.7）上式第一式中第一项的指数取负是很明显的，而第二项指数取正是考虑了在域内随着z的增加接近异常源，故矢量位增加的缘故。根据边界条件，当时 当时 （2.3.8）将(2.3.7)式代人(2.3.8)式解出积分常数 （2.3.9）将上式代入到(2.3.7)式，得： （2.3.10）我们对地表以上的二次场感兴趣。考虑到，其表达式为：由(2.3.3)式，二次磁场的水平分量为： （2.3.11）垂直分量为： （2.3.12）利用索末菲积分，令，将(2.3.10)式写成：在上式中令，即在和介质的分界面上对上式分子、分母分别乘，得：为了积分上式，对第一积分式分子、分母乘以，对第二积分式分子、分母乘以，经过整理最后得： （2.3.13）为求上式积分，可考虑索末菲积分： （2.3.14）对上式左端求二阶导数，并令。得： （2.3.15）对(2.3.14)式右端求二阶导数，并今，有： （2.3.16）另外，从李普希茨积分 （2.3.17）类似地对两边求二阶导数，得：从(2.3.17)式减去上式，得：对上式左端分子、分母同乘以，得：在一般情况下，上式可写成：利用上式求出积分： （2.3.18）2.3.2谐变电磁场的表达式在电法勘探中水平共面装置具有重要地位。为此，下面研究水平共面装置观测点处的磁场。(2.3.3)式的分量为：另外，从(2.3.4)式可推导出上式右端在柱座标系中的表达式，故：将(2.3.18)式代入上式，当时得： （2.3.19）由(2.3.2)式 （2.3.20）可求出当时垂直磁偶极于在均匀介质地表的电场分量。为此，将(2.3.18)式代到(2.3.20)式，经整理得： （2.3.21）由于互换原理，垂直磁偶极子发射的磁场水平分量为： （2.3.22）式小括号内的分别是宗量为的第一类、第二类变形贝塞尔函数。为了得到直流磁偶极子的场强，在(2.3.19)和(2.3.21)式中应设及，这时利用：的级数展开可简化括号内的式子，即：和 所以，当时，在均匀介质表面上直流电流垂直于磁偶极子的正常场分量为： （2.3.23） （2.3.24） （2.3.25） 利用(2.3.23)、(2.3.24)式分别对(2.3.19)、(2.3.21)和(2.3.22)式进行归一得：式中。从(2.3.25)式中看出，由于为零，故取进行了归一。(1)在近区响应（）当时，各式的渐进表达式是：(2)远区响应 ()当时，各式的渐进表达式是：2.4 水平磁偶极子的场2.4.1谐变电磁场矢量位的解 水平磁偶极子(直立小线圈)在电法勘探中也是一种常用的发射装置。我们还是利用矢量位方程： （2.4.1）来求解电场和磁场。式中或，代表地面以上介质，代表地面以下介质。 （2.4.2） （2.4.3）坐标原点选在地面上，水平磁偶极于的方向处于y方向，且位于地面以上h高处，见图2.4.1。这时，除矢量位的分量外，由于在z方向上介质不对称而出现分量。矢量位对称于x=0的平面.故图2.4.1 水平磁偶极子在地面以上h处在前一节已经讨论过类似问题在柱坐标中的解的形式。其表达式为： （2.4.4）式中当n=0和1时，我们可以分别求得矢量位的水平分量和垂直分量的般解。当n0时，水平分量的达式为： （2.4.5）当n=1时，垂直分量表达式为： （2.4.6）图2.4.2 计算一个电极电流的磁场下面仿效直流电偶极子来证明(2.4.5)和(2.4.6)式的正确性。在地表埋有AB偶极接地电极。由一个接地点流人大地的电流磁场只有水平分量。这是因为，虽然电流以放射状进入大地，但必须以垂直向下的等效电流来考虑，见图2.4.2。一段线在P点产生的磁场由确定。因为，故： （2.4.7）其x和y分量分别为 两个异性电极产生的磁场分量为 （2.4.8）式中。另外还需求连接两极导线产生的磁场。导线长度为，偶极子方向同x铀方向。其磁场只有y和z分量.由毕-沙定量求得： （2.4.9） （2.4.10）故由(2.4.7)-(2.4.10)式可得总磁场为： （2.4.11） （2.4.12） （2.4.13）由，考虑到，(相对于xoz平面对称)，得如下等式 （2.4.14） （2.4.15） （2.4.16） 所以，由(2.4.16)式得： （2.4.17） 由(2.4.14)式得： （2.4.18）利用已知的积分公式，将(2.4.17)和(2.4.18)可分别写为： （2.4.19） （2.4.20）这就证明(2.4.5)和(2.4.6)式的来由。矢量位的特解。由(2.4.5)式 （2.4.21） （2.4.22）上式中 为积分常数，。 （2.4.23） （2.4.24）从(2.4.2)和2.4.3)式可以写出如下关系： （2.4.25） （2.4.26） （2.4.27） （2.4.28） （2.4.29） （2.4.30）根据切线分量连续条件，由(2.4.25)式有： （2.4.31）由(2.4.26)式有 （2.4.32） 对上式沿x方向积分，得： （2.4.33） 故由(2.4.33)式，得： （2.4.34）由(2.4.28)和(2.4.29)式，经类似推导可得： （2.4.35）（2.4.36）利用(2.4.33)式，当z0时，由(2 .4.21)和(2.4.24)式得： （2.4.37）利用(2.4.35)式当z0时，由(2.4.21)和(2.4.24)式得： （2.4.38）利用(2.4.36)式，当z=0时，由(2.4.21)和(2.4.22)式得： （2.4.39）由(2.4.34)式，当z0时，从(2.4.21)和(2.4.22)式得： （2.4.40）将(2.4.39)式代入上式，经整理得： （2.4.41） （2.4.42）将的表达式代入到(2.4.38)式，考虑到(2.4.37)式可得： （2.4.43）将积分常数和分别代入到(2.4.21)和(2.4.23)式，当时，地面以上的矢量位表达式为： （2.4.44） （2.4.45）2.4.2谐变电磁场的表达式在地表以上介质中，由的散度确定标量磁位，见(1.3.45)式，即： 故将（2.4.44)和(2.4.15)式代入上式，得： （2.4.46）对于缓慢变化的电磁场来说，在地面以上介质中可近似认为：故H近似地由标量磁位计算，即：因为(2.5.46)式为总磁场的标量位，所以分量： （2.4.47）故 （2.4.48）分量 （2.4.49） （2.4.50）分量 （2.4.51） （2.4.52）下面求地面上磁场各分量的表达式。为此，由(2.4.46)式直接导出的标量磁位，即：（2.4.53）进行导数运算，得：因为,将上式改写为() （2.4.54）对李普希茨积分首先以，然后以求导二次，令，则得（2.4.54）式的第一个积分结果。（2.5.54）式的第二个积分是对李普希茨积分对的微商一次，并令便可得出。第三个积分是对索末菲积分 对微商一次。然后对z微商二次，并令便可得到。这样，最后的表达式为运算得： （2.4.55） 为了求得和分量，利用以下公式 故： （2.4.56） （2.4.57）式中：对于直立共面同线装置，由(2.5.57)式得：因为这时，经过简单整理得： （2.4.58）对于直立共轴同线装置，由(2.4.57)式得：因为这时，经过简单整理得： （2.4.59）对于正交装置，下面只给出分量，由(2.4.53)式当时，因为故 （2.4.60）利用瓦特森公式， （2.4.61）当时，代入(2.4.60)式可变换为： （2.4.62）从李普希茨积分 对a微商，得：在上式中换成，换成，换成，则：并代到(2.4.62)式，得：再利用瓦特森公式，可求得： （2.4.63）经过较烦杂的运算，最后得： （2.4.64）在上式推导过程中利用了下面的已知关系式中。再利用递推关系 将(2.4.64)式也可改变为： （2.4.65）上式表示了y方向发射情况下接收z分量的磁场公式。由于互换原理，对z方向发射情况下接收y分量磁场公式也具有相同形式。上述几种电磁装置的归一化二次滋场地表上的计算曲线见图2.4.3。 图2.4.3 均匀大地表面上几种装置的二次磁场响应2.5 水平层状介质上的电磁场水平层状介质表面电偶极子和磁偶极子的电磁场，当然服从麦克斯韦方程组，同样需要利用与前面相类似的方法求解。由于求解的过程太繁，在本节中我们只列出结果。2.5.1水平层状半空间上电偶极子的场如图2.5.1所示，N层水平层状介质中第n层的电阻率和层厚度分别为和。一水平电偶极子（接地导线）位于层状介质表面，偶极距为。选取公共坐标原点位于偶极子中心的柱坐标系和直角坐标系，使轴指向偶极距方向（即的方向），轴垂直向下，则地表面的电磁场分布可通过直接求解场所满足的非齐次亥姆霍兹方程或通过求电型Lorentz势所满足边界条件来求解。略去繁冗的数学推导，此处直接写出静态极限下柱坐标系中地表电磁场各分量的表达式：图 2.5.1 层状介质中的水平电偶极子 (2.5.1) (2.5.2) (2.5.3) (2.5.4) (2.5.5)式中： ，m称为空间频率，它具有距离倒数的量纲。借助于柱坐标与直角坐标之间的转换关系：可以把电磁场在柱坐标的分量换算为直角坐标中的分量。2.5.2水平层状半空间上磁偶极子的场设水平层状介质的分布与图2.5.1相同，将水平电偶极子移去，放置一个中心在坐标原点、磁矩为的磁偶极子。同样选择有共同原点的一个柱坐标系统和一个直角坐标系统，使轴垂直向下，与磁偶极子的磁矩方向相同。在此情况下电磁场各分量的表达式写为：式中 ；2.6 卡尼亚电阻率可以证明，对于任意一种场源，当观察点与场源相距一定距离时，其切向电场和磁场将具有类似的函数关系。此时，它们的比值不再依赖于发收距。而且，该比值几乎准确地等于垂直向下入射的平面波的波阻抗，具有这种关系的区域称为电磁场的波区。波区是电磁测深理论最简单的一种逼近，利用电磁场在波区的渐近表达式，可以定义电偶极子源的波区视电阻率： （2.6.1）式中是用电磁波阻抗定义的波区视电阻率。由（2.3.4）式，我们可以得到： （2.6.2）在实际工作中，多使用MKS制单位。此时以为单位，以为单位，这对野外工作是很方便的。此时 （2.6.3）上式就是卡尼亚命名的计算视电阻率的公式。卡尼亚是一位法国地球物理学家，他在50年代对发展大地电磁法做出了开拓性的贡献。卡尼亚电阻率对远区，也就是说在满足平面波的条件下是有效的。2.7 几个重要概念一、衰减常数和相位常数在（2.7.1）式中，右边第一项含有介质的介电常数，是由位移电流决定的，称为位移项，它是由时间二阶导数产生的，代表了电磁波的波动性；第二项含有介质的电导率，是由传导电流所决定的，称为传导项，它是时间一阶导数产生的，代表了电磁场的扩散特性。将波数分解为： （2.7.1） 在一维情况下，（1.1.10）的通解为： （2.7.2）即电磁波传播时，既随时间，也随距离波动，同时其振幅随传播距离衰减。由于表征了电磁波传播过程中相位的变化，故称为相位常数，而则表征了电磁波传播的幅值的衰减，故称为衰减常数。定义： （2.7.3）表示介质中传导电流和位移电流之比，称为损耗角正切。二、相位和相速度在（2.7.2）式中，令 （2.7.4）称为波的相位，它是决定波的运动状态的物理量。由（2.7.4）式可知，在空间每一点上，电磁波的相位是随时间变化的。如果没有电磁波传播的速度，那么相位不随时间而改变的面也应该以速度向外传播。相位不随时间而改变的条件可写成 （2.7.5）对（2.7.5）式微分，可得 （2.7.6）称相速度。三、波长、波数和趋肤深度设电磁场波的频率为，则，于是电磁波的波长为 （2.7.7）在理想电介质中，此时传导电流可以忽略，为实数， （2.7.8）由（2.7.7）和（2.7.8）式有 （2.7.9）由此可见，表示在单位距离内波的个数的倍，这就是将称波数的原因。由（2.7.2）式可知，波在导电介质中传播时，其幅值按指数规律衰减，也就是说，其能量将随传播距离z的增加而逐渐被吸收。当