第2章 一元函数的连续性.doc

第二章 一元函数的连续性2.1 连续函数的基本性质及其有关证明题要点 要证在上连续, 只要证.常用方法:(1) 利用定义: ,当时, ;(2) 利用左右极限: ;(3) 利用序列的语言: ;(4) 利用邻域的语言: ,使得;(5) 利用连续函数的四则运算性质.例1 设是上的单调递增函数,其值域为.证明在上连续.证明（反证法）假若结论不成立,即存在使得在不连续. 由于是单调递增的,是第一类间断点（P73，Ex 6）.因此与中至少有一个大于0（否则若,则,而是单调递增的,矛盾!）不妨设,即.从而之间的任何数都不在之内.再由是单调递增的,矛盾!故在上连续.例2 证明Riemann函数,在无理点上连续,在有理点上间断.证明 （1）先证在有理点上间断.设为有理点,（为既约分数, ）.则.由无理点集在实数集中的稠密性,存在无理点列,但（对任意正整数）,即不收敛到.所以在有理点处不连续.（2）再证在内无理点上连续.设为无理点,则.,由的定义可知, 的点在上最多只有有限多个(事实上,要的必须为有理点设,则,.可见满足此不等式的有理数最多只有有限个).分别记为.令,则在内不含有的点,即有.所以在内无理点上连续. （3）以1为周期.事实上, 为无理数, ;若,为互质整数.则,而互质整数,所以也为有理数,所以.故以1为周期.（4）在一切无理点上连续.注 ,因为既约分数且,只能有.例3 若在内有定义,且与在内都是单调递增的,试证在内连续.证明 (1)任取,因在内单调递增知,当时,有, (1),即单调递减.故对任意,与均存在.(2)由单调递增知,当时,有.令时,有,即 (2).(3) 在(1)式中令得 (3),由(2)(3)知.类似可证.所以在处连续.由的任意性,在内处处连续.例4 设在上只有第一类间断点,且有.证明在上连续.证明 任取,当时,由条件.令,则,即 (1).当时,由条件,令,则,即 (2).故再设且,则有.在此式中令,则 (3).由(1)(2)(3)三式得出.所以在处连续.由的任意性,在内处处连续.例5 设在上有定义, 且(1) 具有介值性即(若,则存在介于与之间,使得);(2) 对任意有理数,集合为闭集. 试证 在上连续.证明（反证法）若在某一点处不连续,则存在,使得,虽然,但,即,但在之外.从而在之外至少一侧(例如在右侧)含有的无穷多项,满足.在内任取一有理数,由介值性,对每一,存在介于与之间,使得.因,所以,这表明是的一个聚点.据已知条件(2)知, ,即,这与矛盾!例6 证明(1)若函数,连续,则,也连续.(2)设,在上连续,令的值等于三值,中介于其他二值之间的那个值. 证明在上连续.(3) 令, 为实函数,试证明 连续当且仅当对任意固定的,都是的连续函数.证明 (1) ,;(2);(3)(由（2）).由连续函数的运算性质即知它们连续.例7 设在上连续. 证明，在上连续.证明 由连续函数在闭区间上必取上,下确界可知,在上处处有定义.又因上确界随取值区间扩大而增大知, 单调递增,故每点的单侧极限存在.任取,只需证 (1).由递增,有.又有,所以.故(1)式左等式成立.下用反证法证明.因单调递增,.假设,则取充分小的,使得.于是对任意,有.由上确界的定义,存在使得 (2).但在上. .所以(2)式中的,即存在,当时,有,即在处不连续,矛盾!所以即,在上连续, 在上连续可类似证明.例8 设在内对一切都有,且在与处连续.证明为一常数.证明 （1）,由条件, .又在处连续且当时，,故.（2）当时, (由(1), ).（3）当时, 因在处连续. .故常数.例9 设是上的连续函数,且在上是单调的. 证明在上也是单调的.证明 若在上恒有或恒有,则由单调及可推出单调.若在上既取正值又取负值.不妨设,满足,.由连续函数的介值性定理,存在,使得.从而,这与是单调的矛盾!例10 设在上连续,且对任意,存在使得.证明存在在使得.证明 任取,则存在使得.又存在，使得.如此下去,存在数列,使得.从而有.显然有.因是有界数列,故存在收敛子列.设,则由在的连续性得,即,故.例11 设为连续函数,且,试证.证明 (1)先证为单射. 设且,则,即.所以为单射.(2) 再证是严格单调的.若不严格单调,则存在使,或.,下证情形1,情形2可类证.对任意满足.由连续及介值性定理,存在，使.但这与为单射相矛盾!故严格单调.(3)又,故必是严格单调递增的.(4)若,则,所以,进而;若,则,所以,进而.综上可知.例12 设是上的增函数,但不一定连续,如果,试证存在使得.证明 令.因,知,.又有上界,由确界原理,存在.令.(1)若,则.若,则结论得证;若,则.当时,令,则.又是增函数,从而所以,故. (2)若,则存在,使且.因,.令,则,从而有.又,所以.而是增函数,进而,矛盾！综上可知存在使得.练习 设是上的增函数,且,试证存在使得.提示 构造集合 ,令，类似例12来证明.2.2 一致连续性一、利用一致连续的定义及其否定形式证题要点 设在上有定义(为开,闭,半开半闭有限或无限区间) ,则(1)在上一致连续,当且时,有.(2)在上非一致连续,虽,但,()虽, 但.特别,若,()虽,但(),则可断定在上非一致连续.(3)若在上满足利普希兹条件:(),其中为常数.则在上一致连续.特别,若在上有有界导函数,则在上满足利普希兹条件.例1 证明在上一致连续.证明 (1)先证在上一致连续.事实上,当且时,有（2）补充定义时, ,则在上连续,从而在上一致连续.故在上一致连续,进而在上一致连续.注 ,.例2 证明在上非一致连续.,但在上一致连续().证明 (1) 在内取,取,则,只要充分大总有,但.故在上非一致连续.(2 ,取,当且时,有故在上一致连续.例3 证明在上一致连续.证明 因,求导得,.故在上严格单调递减.又 , ,所以在上有界.从而存在常数,使得.从而,取,则当且时, 有,其中介于之间,故在上一致连续.注 若在上有有界导函数,则在上满足利普希兹条件.从而在上一致连续,进而连续.例4 证明在上一致连续,只要就有().证明 必要性 因在上一致连续,故,当且时, 有 (1).但,().所以对上述,存在,当时, .从而由(1)式,即().充分性 若在上非一致连续,则,()尽管, 但.可见但()不成立,矛盾.例5 设是有限区间,在上有定义.试证明在上一致连续把柯西列映射为柯西列.证明 必要性 因在上一致连续,故,当且时, 有 (1). 设为柯西列,则对上述,存在,当时, .从而由(1)式,即也为柯西列.充分性 若在上非一致连续,则,()尽管, 但().又是有限区间, (),知存在收敛子序列.因(),故中相应的子序列也收敛于相同的极限.从而穿插之后,序列,也收敛为柯西列,但其像序列,恒有,不是柯西列,与已知矛盾.注 对有限性只在充分性用到,对无穷区间必要性仍成立.例6 设在有限开区间上连续.试证在上一致连续极限及存在且有限.证明 必要性 由条件,当且时,有 (1).故,时,有时,从而由(1)有.由柯西收敛准则知, 存在(有限),同理可证存在(有限).充分性 令 ,则在上连续.由Cantor定理在上一致连续,从而在上一致连续,即在上一致连续.注 (1)在上是否一致连续取决于在端点附近的状态.应用本例容易判别在上一致连续,而,在上非一致连续.(2) 在上一致连续,则在上是有界;反之,在上连续有界,不一定一致连续,如.(3) 改为无穷区间时,本例的必要性不成立.如在上一致连续,但在端点处无极限,但对无穷区间充分性仍成立.例7 设在上有连续的导函数,且及存在且有限.试证 (1)在上一致连续;(2)极限及均存在.证明(1)因在上有连续,且及均存在, 令 ,则在上连续.由Cantor定理,在上一致连续,从而在上有界,即在上有界.于是存在常数,使得.从而,取,则当且时,有,其中介于之间,故在上一致连续.(2)由例6知在上一致连续, 必有极限及均存在.例8 若在上一致连续,则在上有界.证明(直接证法)设在上一致连续,则,当且时,有.取,令自然数满足.将区间进行等分,分点为().任取,则当时,有.从而().令则有,所以在上有界.(直接证法)(反证法)若在上无界,则存在使得().由致密性定理, 存在收敛子序列.由柯西收敛准则,知, 当时,有.但是另一方面又有.由此可知在上非一致连续,矛盾.例9 若在上连续且(有限),则在上一致连续.证明 (1) 因,则由柯西收敛准则,当时,有 (*).(2)由Cantor定理,在上连续,从而一致连续.故对此,当且时,有 (*).(3)令,则当且时, 要么同属于,要么同属于,从而由(*)与(*)知,即在上一致连续.注 不是有限值时此结论也有可能成立.例如在上一致连续.例10 设在上一致连续, 在上连续且,证明在上也一致连续.证明(1) 因,则,当时, 有,又在上一致连续, 故对此,当且时, 有,如此当且时有 (*).(2) 由Cantor定理, 在上连续,从而一致连续.故对此,当且时, 有 (*).(3)令,则当且时, 要么同属于,要么同