圆锥曲线 工具箱.doc

圆锥曲线 工具箱 2010.01.201. 椭圆：定义：设，分别为左、右（上、下）焦点，P为椭圆上任一点， 由定义可知: (常数).标准方程及性质：椭圆方程（）焦点坐标离心率通径长准线方程范围最大时P点参数方程备注：(1)在过焦点的弦中，通径最短，长轴最长。(2) 标准方程的一般形式：Ax2 + By2=1（）(3) 点P(x,y)是椭圆上任一点，由第二定义推得：左焦半径:; 右焦半径:. (4)设FP F= ，则P F F的面积=2. 双曲线：定义: ()标准方程及性质：设，分别为左、右（上、下）焦点， 双曲线方程（）焦点坐标顶点坐标离心率通径长准线方程渐近线方程备注： (1) 在过焦点的弦中，弦的两端点在同一支时，通径最短；弦的两端点分别在两支上时，两顶点间距离(实轴长)是最短的弦。(2)标准方程的一般形式：Ax2 + By2=1（）.(3)P(x0,y0)是双曲线上一点， F1（-c,0）,F2（c,0）两个焦点，则：左焦半径|PF1|=|a+ex0| ，右焦半径|PF2|=|a-ex0| （第二定义证）若FP F=，则P F F的面积S=.(4)与共渐近线的双曲线系方程： (k0)3. 抛物线：定义：标准方程及性质：已知F是抛物线焦点，p为焦点到准线的距离，过F的直线交抛物线于两点，则抛物线方程焦点准线方程通径焦点弦长备注： (1)注意检查是否为标准型（二次项在左系数1，一次项在右系数不为0，一次项为对称轴，一次项系数正负决开口）(2) 抛物线上的动点可设为P或 P，其中 (3)P(,)是抛物线上 的任一点,F是它的焦点，过焦点F的直线交抛物线于两点，则|PF|=+.(4)过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，则或,是直线AB的倾斜角.通径2p是最短的焦点弦.(5)过抛物线的顶点O做互相垂直的两弦OA，OB，则直线AB过定点(2p,0).4. 由方程 消去y得到，, . 设弦端点A，直线与曲线相交的弦长公式为： 为直线的斜率由方程 消去x得到，,为直线的斜率.则弦长公式5. 几点提示：（1）记住并会应用椭圆、双曲线的第一、第二定义及抛物线的定义。解决有关圆锥曲线的焦半径问题时经常联系两个定义。使用第二定义解题时，注意焦点、准线相对应。（2）直线与双曲线有一个交点，可能相切，也可能直线与渐近线平行。直线与抛物线有一个交点时，可能相切，也可能直线与对称轴平行。（3）解焦点三角形，注意结合圆锥曲线的定义及正弦定理、余弦定理、勾股定理等公式。（4）直线与圆锥曲线相交时的弦的端点坐标、中点坐标及中点轨迹方程等问题用韦达定理来解决. 设点而不求点的坐标的方法是解析几何中重要的解题技巧。（5）点差法能得到圆锥曲线的弦的斜率与中点坐标关系。6. 求轨迹方程的常用方法：（1）轨迹法或定义法（根据属性，确定动点图形进而求解）；（2）直接法（依据几何条件确定方程中的系数进而求解）；（3）代入法或相关点法（先设动点坐标，然后代入相关的已知曲线方程，进而求解）.（4） 参数法（选适当的参数表示动点的坐标，然后消去参数，得到普通方程）。7. 对称问题：(一)关于点的对称（1）点关于点的对称点.（2）曲线关于某点的对称：圆锥曲线关于点成中心对称的曲线是.（二）关于直线的对称（1）求点关于直线的对称点：列两个方程.特别的，当对称直线的斜率时，要熟记：点关于直线的对称点；点关于直线的对称点； (2) 求曲线关于直线的对称问题：（相关点法）注意：熟记一下结论可方便的解决曲线的对称的对称问题。 结论1：曲线关于原点对称的曲线为 结论2：曲线关于y轴对称的曲线为 结论3：曲线关于x轴对称的曲线