广东省潮州市松昌中学高三数学第四次统测试题 理.doc

数学试卷参考公式：锥体体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高一选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集，则集合b=a b c d2已知命题“”的否定是“，”；命题在中“”的充要条件是“”；第4题图则下列命题是假命题的是a. b. c. d. 3下列函数中，既是偶函数又在区间（0，）上存在零点的是 a b. c. d.4如图是一容量为的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为a b c d5设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是a b.若，则 c若，则 d.若，则 6. 函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，.当时，函数的值域为a b c d7已知都是区间内任取的一个实数，则使得的取值的概率是 8现有16张不同卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各张，从中任取张，要求这张不能是同一颜色，且红色卡片至多张，不同的取法为 a232种 b252种 c472种 d484种二、填空题：本大题共6小题，满分30分9已知为虚数单位，则复数的模为 * 10已知随机变量服从两点分布，且，则 * 11在平面直角坐标系中,已知,若,则实数的第11题图值为 * 12、已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示.若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积是 * 13已知的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56：3， 则 * 14若对任意，（）有唯一确定的与之对应，则称为关于的二元函数。定义：满足下列性质的二元函数为关于实数的广义“距离”:（1）非负性：,当且仅当时取等号; （2）对称性：; （3）三角形不等式：对任意的实数均成立给出三个二元函数:; 请选出所有能够成为关于的广义“距离”的序号 * . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤15（本小题满分12分） 已知函数（）的最小正周期为，且.（1）求的解析式；（2）设，求的值.16（本小题满分14分）2013年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交通事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人有一个停车休息的场所交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行省籍询问一次，询问结果如下图所示：(1 )交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？(2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？(3)在上述抽出的驾驶人员中任取2名,求抽取的2名驾驶人员中四川籍人数的分布列及其均值(即数学期望)17（本小题满分14分）设的内角的对边分别为,且.（1）求； （2）若，求的面积；（3）若,求.18（本小题满分14分）第18题图如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，为棱的中点（1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值19（本小题满分12分）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元问该农户如何安排种植计划，才能使一年的种植总利润（总利润=总销售收入总种植成本）最大，最大总利润是多少万元？ 20（本小题满分14分） 已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为（1）求实数的值；（2）若不等式在上恒成立，求的最大值； （3）当时，证明:松昌中学2015届高三第四次统测理科数学参考答案与评分标准一、 选择题：共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678答案dbbcddac二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分9 10. 11. 12. 13.10 14. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤15（本小题满分12分）解：（1）依题意，得2分则，得5分6分（2） ，8分 ，10分12分 16（本小题满分14分）解：(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法2分(2)从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员广西籍的有：520252030100人，四川籍的有：151055540人；4分设四川籍的驾驶人员应抽取x名，依题意得，解得x2，即四川籍的应抽取2名. 6分(3)的所有可能取值为0,1,2. 7分p(0)，p(1)，p(2).10分所以的分布列为012p12分均值e()12(人)14分17（本小题满分14分）解：（1）由已知得 , 则. 2分由余弦定理得, 3分因此,. 4分（2）由（1）知，即又，则6分.8分(3)由()知,9分所以 , 11分又，故或, 13分又，因此,或. 14分另解（3）：由()知,9分10分 12分由，得 即或. 14分18（本小题满分14分）（1）证明：， 1分 底面为正方形 2分 又 4分 又 平面平面；6分（2）解法一：过点e作于点f，过点f作于点g，连接eg7分 平面平面且相交于ad，第18题图 又，8分 ，9分 又， 又，10分 是二面角e-ac-d的平面角， 二面角e-ac-b的平面角的补角11分 设，在中，有，则，又为棱的中点，则，在中，在中，则13分二面角的余弦值为.14分解法二：在平面pad内过点d作直线平面平面且相交于ad 所以直线dz，da，dc两两垂直，建立以d为原点的空间直角坐标系d-xyz7分设ad=4，则9分第18题图设平面eac的法向量为，则有即令，得11分易知平面abcd的一个法向量为12分13分由图知，二面角e-ac-b的平面角是钝角，二面角的余弦值为.14分解法三：取ad的中点m，bc的中点n，连结pm，mn是正方形，由（1）可得，所以直线mp，ma，mn两两垂直，建立以m为原点的空间直角坐标系m-xyz7分设ad=4，则9分第18题图设平面eac的法向量为，则有即令，得11分易知平面abcd的一个法向量为12分13分由图知，二面角e-ac-b的平面角是钝角，二面角的余弦值为.14分19（本小题满分12分）解：设黄瓜的种植面积为亩,韭菜的种植面积为亩，总利润为z万元，1分则由题意知，即，4分目标函数，6分605040302010yx01020304050m作出可行域 8分如图,由图可知当直线经过点m时，取得最大值，9分由，解得10分则11分答：当黄瓜的种植面积为30亩,韭菜的种植面积为20亩，种植总利润最大，且最大值为48万元. 12分20（本小题满分14分） 函数在上单调递减，在上单调递增；8分10分 11分客观题详解1、d 解析：画韦恩图易得b=，如下图ua2 4b1 32、b 解析：命题“”的否定是“，”故是假命题；在中， 由正弦定理得 ，故是真命题；3、b 解析：a选项是奇函数且在无零点；b选项是偶函数且在上有零点1；c选项是非奇非偶函数且在无零点；d选项是偶函数但在上无零点.4、c 解析：由图知，第一组的频率为0.3，第二组的频率为0.5，则中位数为.5、d 解析：a选项的条件，可得或，则a错；a选项的条件，可得或，则b错；a选项的条件，可得平行或相交或异面，则c错.6、d 解析：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；故选d.7、a 解析：此题为几何概型，事件a的度量为函数的图像在内与轴围成的图形的面积，即，则事件a的概率为.8、c 解析：法法.9、1 解析：，则.10、0.16 解析：由，知，则.11、5 解析：，由，得，即.12、 解析：由题知，该四棱锥的右侧面为等腰直角三角形