数值分析论文1.doc

河北联合大学2011级研究生 学院： 专业： 学号： 姓名： 成绩： 数值分析迭代法在传热学中的应用研究第一章 问题描述一、迭代法描述迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代法又分为精确迭代和近似迭代。“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。二、迭代法的概念1定理： 分别是向量及的第个分量分析：设2线性方程组迭代法的收敛性为了讨论迭代的收敛性引进误差向量 由此可见：考察的收敛性就要研究在什么条件下有： 亦即要研究满足什么条件是有： （零矩阵）（） 设为阶方阵的特征值，的谱半径定义为： 的谱定义为：则： 定理：2设，则（零矩阵）的充要条件是：。定理：3（迭代法基本定理）设有方程组 。及一届定常迭代法：。对任意选取初始向量，迭代法收敛的充要条件是： 。3非线性方程迭代法的收敛性设方程有根，且在的某个邻域,内有一阶连续导数，则1 当时，迭代格式局部收敛。当时，迭代格式发散。三 迭代法的原理 对于线性方程组 其中：A为非奇异矩阵， 当A的阶数很高时，再选用主消元法解此方程就非常困难了。这时用迭代法，然后用计算机进行运算就非常快捷方便了。2下面举简例说明迭代法的思想。求解线性方程组记为，其中 , , 此方程的精确解为现将方程改写为： 或写为：，其中, 我们可以建立如下迭代公式简写为，其中表示迭代次数（=0,1,2,3）迭代到第10次有 2 从此例看出，由迭代法产生的向量序列逐步逼近此方程组的精确解。四、迭代法国外研究进展牛顿首先在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。拉福生亦提出了类似的方法，而它们的结合就成为现代常用的方法牛顿法，亦称为切线法。 这是一种广泛用于高次代数方程和方程组求解的迭代法，一直为数学界所采用，并不断创新，如修正牛顿法及拟牛顿法等。1797年，高斯给出了代数基本定理，证实了高次代数方程根的存在性。1900年左右，数学家卡尔龙格和马丁威尔海姆库塔左右发明了龙格库塔法（Runge-Kutta），用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。策略迭代法最初是由R. 贝尔曼提出的。1960年，RA霍华德对于一种马尔可夫决策过程模型，提出了适用的策略迭代法，给出了相应的收敛性证明。 后来，发现策略迭代法和牛顿迭代法在一定条件下的等价性，于是，从算子方程的牛顿逼近法的角度去研究策略迭代法，使其得到了发展。五、迭代法国内研究现状1964年徐利治进行方程求根方法研究时发现了一种“大范围收敛迭代法”（后来国际上称为“ 平方根迭代法”）。1988年周培源先生提出以逐级迭代法代替逐级逼近法，经初步计算，理论与实验符合得很好。 这个逐级迭代法可以推广到高级近似中去，并用来求解其他发展了的湍流运动，而且在得到脉动速度之后，任何阶的速度关联都可简捷地计算出来。1988年，高策理利用整体迭代法和压缩映像原理，证明非线性抛物方程外问题整体解的存在唯一性。1991年ADGunawardena等人首先提出了以I+S为预处理子的Gauss-Seidel型迭代法比基本的迭代法有较好的收敛性。 文章提出以阶梯矩阵作预处理子的Gauss-Seidel型迭代法，文中给出了收敛定理并以数值例子说明文章的方法比基本的迭代法及ADGunawardena等人的方法有较好的收敛率。六、迭代法的分类数值分析迭代法对于线性方程组我们有Jacobi迭代法、G-S迭代法和松弛迭代法等。对于非线性方程我们有一般迭代法、区间二分法、牛顿迭代法、牛顿下山法等。对于常微分方程我们有Euler法、龙格库塔(RungeKutta)方法等。第二章 迭代法的研究一、线性方程组的迭代法(1)Jacobi迭代法设，并将写成三部分由，选取为的对角元素部分，即取（对角阵），得到解的雅可比（jacobi）迭代法其中，。称的雅可比迭代法矩阵。设雅可比迭代法收敛的充要条件是： 其中：对于取一组数代入方程右侧，若有此方就是Jabobi迭代法。Jabobi迭代法计算公式如下：Jabobi迭代法的特点是：计算公式简单，每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法；计算过程中原始矩阵始终不变。(2)Ganss-Seidel迭代法设，将写为三部分选取分裂矩阵M为A的下三角部分，即选取于是，得到解高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法其中:X0初始变量 ，k=0,1,2 为解的高斯-赛德尔迭代法的迭代阵。于是解的高斯-赛德尔迭代法计算公式为：高斯-戴德尔迭代法的特点：计算公式简单，美迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法；计算过程中原始矩阵A始终不变；计算的第个分量时，利用已计算出的新分量。(3)Jabobi迭代法与Ganss-Seidel迭代法对比用Jabobi迭代法与Ganss-Seidel迭代法求解方程组(Jacobi法收敛):A=1,2,-2,1,1,1,2,2,1;MatrixForm%；b=1,2,3;I1=IdentityMatrix3;DD=A11,0,0,0,A22,0,0,0,A33;DDN=InverseDD;J=I1-DDN.A;MatrixForm%;R=MaxAbsEigenvaluesNJ-1f=DDN.b;x0=0,0,0;xn_:=J.xn-1+f;Tablexn,n,1,8;MatrixForm%/NLinearSolveA,b(Gauss-Seidel法发散):A=1,2,-2,1,1,1,2,2,1;MatrixForm%b=1,2,3;I1=IdentityMatrix3;DD=A1,1,0,0,0,A2,2,0,0,0,A3,3;L=-0,0,0,A2,1,0,0,A3,1,A3,2,0;DDLN=InverseDD-L;G=I1-DDLN.A;MatrixForm%;R=MaxAbsEigenvaluesNG-1f=DDLN.b;x0=0,0,0;xn_:=G.xn-1+f;Tablexn,n,1,8;MatrixForm%/NLinearSolveA,b结果对比：Jacobi法Gauss-Seidel法1. 2. 3.3. -2. -3.-1. 2. 1.-1. 2. 1.-1. 2. 1.-1. 2. 1.-1. 2. 1.-1. 2. 1.1. 1. -1.-3. 6. -3.-17. 22. -7.-57. 66. -15.-161. 178. -31.-417. 450. -63.-1025. 1090. -127.-2433. 2562. -255.精确解为：-1,2,1可见Gauss-Seidel法得到的结果是发散的。二、非线性方程求根的迭代法区间二分法 非线性方程在区间内单调，且，那么在必存在一个值使得。 然后我们取区间的中点，如果则方程的根就是。如果，则方程根就在a, 内，否则根就在，b内。这样把区间无限的对折下去，区间就会无限的缩小，区间的中点就与真值无限的接近，达到误差要求后，就得出非线性方程的近似解了。 优点：对函数要求低，计算简单。 缺点：收敛慢且对偶数重根的情况不适合。简单迭代法 基本思想是构造不动点方程，以求得近似值。 即由方程变换为其等价形式，然后建立迭代格式， 当给定初值x0 后, 由迭代格式可求得数列。此数列可能收敛，也可能不收敛。如果收敛于,则它就是方程的根。因为：故k充分大时，xk可作为方程的近似根牛顿迭代法 牛顿迭代法又称切线法。 我们建立迭代公式如下：三种方法对比求方程在区间内的一个实根，要求准确到小数点后第二位。区间二分法程序：fx_:=x3-x-1;Plotfx,x,0,2;a,b=0,2.;Doc=(a+b)/2;Printa, ,b, ,c, ,fa, ,fb, fc;Iffa*fc0,a=c,b=c,k,1,16FindRootfx=0,x,1结果如下：0 2. 1. -1 5.-1. 1. 2. 1.5 -1. 5.0.875 1. 1.5 1.25 -1. 0.875-0.296875 1.25 1.5 1.375 -0.296875 0.8750.224609 1.25 1.375 1.3125 -0.296875 0.224609-0.0515137 1.3125 1.375 1.34375 -0.0515137 0.2246090.0826111 1.3125 1.34375 1.32813 -0.0515137 0.08261110.014576 1.3125 1.32813 1.32031 -0.0515137 0.014576-0.0187106 1.32031 1.32813 1.32422 -0.0187106 0.014576-0.00212795 1.32422 1.32813 1.32617 -0.00212795 0.0145760.00620883 1.32422 1.32617 1.3252 -0.00212795 0.006208830.00203665 1.32422 1.3252 1.32471 -0.00212795 0.00203665-0.0000465949 1.32471 1.3252 1.32495 -0.0000465949 0.002036650.000994791 1.32471 1.32495 1.32483 -0.0000465949 0.0009947910.000474039 1.32471 1.32483 1.32477 -0.0000465949 0.0004740390.000213707 1.32471 1.32477 1.32474 -0.0000465949 0.0002137070.0000835524 x - 1.32472简单迭代法程序：Clearf,x0fx_:=x3-x-1;Plotfx,x,-2,2;xn_:=(xn-1+1)(1/3)x0=1.5;NTablexn,n,1,4,10;MatrixForm%NSolvefx=0,x,61结果如下：1.3572088081.3308609591.3258837741.324939363x - 1.32472牛顿迭代法程序Clearf,x0fx_:=x3-x-1;Plotfx,x,0,2;xn_:=xn-1-fxn-1/fxn-1;x0=0.6;NTablexn,n,1,11,5NSolvefx=0,x,20;NSolvefx=0,x,61结果如下：17.9, 11.947, 7.9855, 5.3569, 3.625, 2.5056, 1.8201, 1.461, 1.3393, 1.3249, 1.3247x - 1.32472由以上三个方法可见，对于这种简单的方程，一般迭代法收敛是最快的。第三章 迭代法在传热学中的应用数值方法在传热学中的应用主要就是数值传热学。它的基本思想就是3把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。这些离散点上被求物理量的值的集合称为物理量的数值解。而对这些离散点上的值的求解就用到了我们所学的迭代法。导热问题的分析解就是对导热微分方程在规定的定解条件下的积分求解。对于比较简单的问题，分析解比较容易得出，而对于工程技术中遇到的集合形状或者边界条件复杂的导热问题，由于数学上的困难目前无法得出分析解。随着计算机技术的飞速发展，这种对传热问题进行离散求解的数值方法发展的十分迅猛，并得到了日益广泛的应用。下面就对一个二维稳态常物性导热问题进行数值分析，求出各个节点的温度值4。一、问题分析上图就是把一个二维物体的某一区域进行网格划分，网格的交点为节点，数值分析的方法就是求各个节点上的温度值。（1）其导热微分方程如下：（2）利用泰勒级数展开法，得到以下表达式：（3）把、两式舍去截断误差并代入式，得到内节点的差分方程：此时方程的截断误差为（4）如果采用正方形网格，则上式简化为：二、 举例如下如下图是一个各向同性的正方形物体，导热系数为常数，已知四个外壁面的温度，用迭代法求内部节点的温度。 （1）得出矩阵方程组这是一个二维、稳态、常物性、无内热源的导热问题。其导热微分方程为： 又因为是正方形网格，则各节点的温度计算公式为：我们得到如下矩阵方程：（2）用Mathematica计算以上矩阵方程计算程序如下（雅克比迭代法）：A=1,-0.25,-0.25,0,-0.25,1,0,-0.25,-0.25,0,1,-0.25,0,-0.25,-0.25,1;MatrixForm%;b=100,87.5,75,62.5;I1=IdentityMatrix4; DD=A1,1,0,0,0,0,A2,2,0,0,0,0,A3,3,0,0,0,0,A4,4;DDN=InverseDD;J=I1-DDN.A;MatrixForm%；R=MaxAbsEigenvaluesNJ-1f=DDN.b；X0=0,0,0,0；Xn_:=J.Xn-1+f；TableXn,n,1,16（3）迭代结果如下：迭代次数t1/t2/t3/t4/100002140.625128.125115.625103.1253160.937148.437135.938123.4384171.094158.594146.094133.5945176.172163.672151.172138.6726178.711166.211153.711141.2117179.98167.48154.98142.488180.615168.115155.615143.1159180.933168.433155.933143.43310181.091168.591156.091143.59111181.171168.671156.171143.67112181.21168.71156.21143.7113181.23168.73156.23143.7314181.24168.74156.24143.7415181.245168.745156.245143.74516181.248168.748156.248143.748（4）结果分析第15次与第16次迭代的相对偏差为10-5数量级，已经在允许的相对偏差（10-310-5）内，迭代终止。 如果取5为有效数字，第15次迭代就已经得出结果了。结果如下：(以摄氏度为单位) 这样我们就求出了物体内部这4个离散节点的温度值，然后就可以得到一个近似的温度场。实际工程数值计算时，节点数会比较多，计算量会比较大，但只要满足收敛条件即可。第四章 实际问题中的应用 2011年11月，河北联合大学主校区对校区西侧的四栋宿舍楼进行了保温板贴护，主要在每栋宿舍楼的东西两侧墙体添加保温板材料。本次模拟主要采用fluent软件对宿舍后添加保温板前后墙体换热情况进行模拟并对模拟结果进行具体分析。一、 数据采集 数据采集时间于12月5号下午3:00。采集地点3号宿舍楼109宿舍和角楼201宿舍。选取数据采集地点原因：3号宿舍楼为东西走向，109位于宿舍楼中间位置并临于楼口，有无保温板对109宿舍影响几乎为零，所以采用109宿舍的数据为无保温板墙体数据参数。角楼201宿舍内3面墙体均无直接和外界环境接触，只有一面贴有保温板材料的墙体和外界环境直接接触，所以才用次宿舍的数据为贴有保温板墙体的数据依据最为贴切。二、数学模型的建立 图1 有保温板墙体 图2无保温板墙体1砖混墙体2保温板砂浆层3找平砂浆层4保温板5涂料层对图3 、4两图进行网格的划分如下： 图3保温板墙体网格划分 图 4无保温板墙体划分 保温板墙体网格划分为33330个，无保温板墙体划分为 ，界定墙体左右边为边界条件，墙体材料及具体参数如下：材料名称厚度密度比热蓄热系数导热系数mkg/m3J/(kgK)W/(m2K)W/(mK)砖混墙体0.35250092017.201.74找平层界面砂浆0.0051500105010.120.81 保温层0.06024510600.06保温层砂浆0.0051500105010.120.81涂料饰面0.003110010500.50三、 模拟结果分析 图 5保温板墙体温度场 图6 无保温板墙体温度场 图7 保温板