安徽省翰林院高考数学总复习讲义 第六讲 平面向量.doc

第六讲 平面向量一 【考点提示】1.向量的基本概念：（1） 向量定义：_（2） 向量的大小（模）：_（3） 零向量：_（4） 单位向量：_（5） 相等向量：_（6） 平行（共线）向量：_2. 向量的线性运算：（1） 向量的加法（2） 向量的减法（3） 向量的数乘3. 重要定理和性质（1） 共线向量基本定理：_（2） 平面向量基本定理：_（3） 线段定比分点的向量表达式：_（4） 三点共线定理：_（5） 直线定理及推论：_4. 平面向量的坐标表示与坐标运算（1） ,则=_（2） ，则=_ =_5. 向量的平行和垂直（1） 平行：_（2） 垂直：_6. 向量的数量积（1） _（2） _7. 向量的投影 _8. 平面向量数量积的重要性质（1） _（2） _（3） _（4） _（5） _9. 平面向量数量积满足的运算律（1） _（2） _（3） _10. 三角形四心问题（1） _（2） _（3） _（4） _【典例分析】1. 向量的基本概念例1 判断下列命题的真假:（1）向量的长度和向量的长度相等.（2）向量与平行,则与方向相同.（3）向量与平行,则与方向相反.（4）两个有共同起点而长度相等的向量,它们的终点必相同.（5）若与平行同向,且，则（6）由于方向不确定，故不能与任意向量平行。（7）如果=，则与长度相等。（8）如果=，则与与的方向相同。（9）若=，则与的方向相反。（10）若=，则与与的方向没有关系。例2 给出下列命题：若a，b，c，d是不共线的四点，则是四边形abcd为平行四边形的充要条件；若，则；的充要条件是且；若与均为非零向量，则与一定相等其中正确命题的序号是_2. 共线向量基本定理及应用例3 【2008年海南、宁夏文，8】平面向量，共线的充要条件是（ ）a. ，方向相同b. ，两向量中至少有一个为零向量c. ，d. 存在不全为零的实数，例4 设，是两个不共线向量，若a、b、d三点共线，则实数p的值是_3. 中线向量定理及推论在向量线性表示（运算）中的应用例5【2010年四川】设点是线段的中点，点在直线外，则（a）8 （b）4 （c）2 （d）1例6【2009年山东】设p是abc所在平面内的一点，则（）a. b. c. d.例7【2008年湖南】.设d、e、f分别是abc的三边bc、ca、ab上的点，且则与a.反向平行b.同向平行 c.互相垂直d.既不平行也不垂直 例8 【2008年，全国1理，3】在中，若点满足，则（ ）a bcd例9【2009年，广东理，8】在平行四边形abcd中，ac与bd交于点o，e是线段od的中点，ae的延长线与cd交于点f，则 a. b c. d. 例10【2007年，天津理】如图，在中，是边上一点，则例11【2010年，天津理】如图，在中，则= 。 例12 【2011年，湖南理，14】在边长为1的正三角形abc中, 设则 =_. 4 用已知向量表示未知向量（1）抓住题中等量关系例13【2010年全国2】abc中，点d在边ab上，cd平分acb，若，则=例14【2008年广东】在平行四边形abcd中，ac与bd交于点o，e是线段od的中点，ae的延长线与cd交于点f，则例15 平行四边形abcd对角线交点c，用表示、.（2） 向量平移措施例16 已知四边形abcd 中，e，f是ac，bd的中点，请用表示.（3） 利用方程的思想和向量共线的特点 例17 在abc中，e、f分别为ac，ab的中点，be与cf相交于g点，设，试用表示. 例18在oab中，ad与bc交于点m，设，以为基底表示.5. 平面向量基本定理的应用例19 如右图，在abc中，点o是bc的中点过点o的直线分别交直线ab、ac于不同的两点m、n，若m，n，则mn的值为_ 例20如图所示，在abc中交于点i. 如果，求实数的值. 例21 设平面上不在一条直线上的三个点o,a,b，证明：当实数p，q满足时，连接两个向量终点的直线通过一个定点.例22【2007年陕西】如图，平面内有三个向量、，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且1，.若的值为 .6. 向量与三角形的四心 （1）重心 （2）垂心为的垂心；是的边bc的高ad上的任意向量，过垂心.（3） 外心（4）内心例23 【2003天津】o是平面上一定点，a、b、c是平面上不共线的三个点，动点p满足则p的轨迹一定通过abc的（）a、 外心 b、内心 c、重心 d、垂心例24 已知o为所在平面内一点，且满足：.求证：例25 o是平面上一定点，a、b、c是平面上不共线的三个点，动点p满足 ，则p的轨迹一定通过的_.例26 【2006年陕西高考】已知非零向量与满足(+)=0且= , 则abc为( )a.三边均不相等的三角形 b.直角三角形c.等腰非等边三角形 d.等边三角形7. 平面向量的坐标表示例27 【2011年广东】 已知向量，若为实数，（），则= a. b. c.1 d.2例28 【2010新课标全国】为平面向量，已知，则的夹角的余弦值等于 例29【2009年广东】 若平面向量满足，平行于轴，则= 例30【2007年天津】设两个向量和，其中为实数若，则的取值范围是（）-6，1 （-6，1 -1，68. 平面向量的数量积例31【2010年，湖南理，4】在中，则等于a b c8 d16例32【2009年，陕西理，8】在中,m是bc的中点，am=1,点p在am上且满足,则等于（a） （b） （c） (d) 例33【2008年，宁夏】已知向量满足，则=_.例34【2006年，浙江文，13】已知向量满足，则=_.例35【2006年，浙江理，13】已知向量满足，若则=_.例36 【2009年，全国1理，6】设是单位向量，且，则的最小值为（a） a. b c d 例37【2008年，浙江理，9】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是 a 1 b 2 c d 9. 平面向量的夹角例38 已知是非零向量且满足，则与的夹角是_.例39 【2011年，浙江理，14】若平面向量满足，且以向量为邻边的平行四边形的面积为，则的夹角的取值范围是 .例40 【2011年，新课标全国理，10】已知与均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题其中的真命题是（ ）（a） （b） （c） （d）10.平面向量的模长例41 已知向量满足，则=_.例42 已知向量的夹角为，则等于_.例43 【2011年，辽宁理，10】已知均为单位向量，若,则的最大值是 a b 1 c d 2例44【2011年，天津理，14】已知直角梯形中，/,是腰上的动点，则的最小值为_三【2012年高考题选讲】1.【2012高考真题重庆理6】设r，向量且，则（a） （b） （c） （d）102.【2012高考真题浙江理5】设是两个非零向量。a.若，则b.若，则c.若，则存在实数，使得d.若存在实数，使得，则3.【2012高考真题四川理7】设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）a、 b、 c、 d、且 4.【2012高考真题江西理7】在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段的中点，则=a2 b4 c5 d105.【2012高考真题湖南理7】在abc中，ab=2，ac=3，= 1则.a. b. c. d.6.【2012高考真题广东理8】对任意两个非零的平面向量和，定义若平面向量满足，的夹角，且和都在集合中，则=a b.1 c. d. 7.【2012高考真题安徽理8】在平面直角坐标系中，将向量按逆时针旋转后，得向量，则点的坐标是（ ） 8.【2012高考真题天津理7】已知为等边三角形，ab=2，设点p，q满足，若，则=（a） （b） （c） （d）9.【2012高考真题新课标理13】已知向量夹角为 ，且；则10.【2012高考真题浙江理15】在abc中，m是bc的中点，am=3，bc=10，则=_.11.【2012高考真题上海理12】在平行四边形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 。12.【2012高考真题山东理16】如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于时，的坐标为_.13.【2012高考真题北京理13】已知正方形abcd的边长为1，点e是ab边上的动点，则的值为_，的最大值为_。14.【2012高考真题安徽理14】若平面向量满足：，则的最小值是。15.【2012高考江苏9】（5分）如图，在矩形中，点为的