线性规划与企业利润最大化.doc

目 录1. 引言12. 线性规划的数学模型23. 线性规划问题的理论43.1线性规划问题的标准形式43.2单纯形法54. 利用线性规划建立企业利润最大化数学模型74.1企业利润最大化原则74.2利润最大化模型85. 总结11参考文献12摘 要 随着社会的发展，线性规划广泛应用于社会的各行各业中，例如运输业、工程技术、加工生产业等领域。本文通过线性规划的方法，在已有的因素变化区间找到最优解，并就如何应用线性规划在现实中合理地利用有限的人力、物力、财力等资源做出最优决策，提出科学的依据。 关键词：线性规划，最优解，利润最大化。AbstractWith the development of society, linear programming is widely used in variety areas, such as transportation, engineering and production of industry and so on. Using the method of linear programming, optimal solution can be found by interval of the changes of factors. We also provide some theoretic basis for the application of linear programming in the rational use of limited human and material resources in reality to make the optimal decision. Keywords: linear programming，optimal solution，maximize profit.线性规划与企业利润最大化1. 引言线性规划是运筹学的一个基本的，也是成熟的分支。为了解决二次世界大战中的后勤供应问题，早在20世纪30年代末期康托洛维奇和希奇柯克等在生产的组织和运输问题等方面就开始研究应用这一数学方法。10多年后Dantzig等人提出的单纯形方法给线性规划这一数学方法的成熟与发展奠定了坚实的理论基础。随着时间的推移，能用线性规划解决问题的类型在大量的增加。现在几乎所有的工业领域、商业领域、军事领域及科学技术的研究领域都在不同程度地运用这一方法。正是由于它的应用，全球每年各个领域节省了上亿万美元的资金，而各个生产部门也创造了大量的经济效益。我国在建国初期就开始应用线性规划这一数学方法。线性规划方法是一种重要的数学方法，线性规划方法是企业进行总产量计划时常用的一种定量方法。线性规划是运筹学的一个最重要的分支，理论上最完善，实际运用得最广泛。主要用于研究有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的资源作出最佳方式地调配和最有利地使用，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳的经济效益。由于有成熟的计算机应用软件的支持，采用线性规划模型安排生产计划，并不是一件困难的事情。在总体计划中，用线性规划模型解决问题的思路是，在有限的生产资源和市场需求条件约束下，求利润最大的总产量计划。该方法的最大优点是可以处理多品种问题，可解决如运输问题、生产的组织与计划问题、合理下料问题、配料问题、布局问题、分派问题等。线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型。简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。涉及更多个变量的线性规划问题不能用初等方法解决。线性规划问题的难点表现在三个方面：一是将实际问题抽象为线性规划模型；二是线性约束条件和线性目标函数的几何表征；三是线性规划最优解的探求。本文主要是通过线性规划来探讨一个企业在有限的条件下如何获得最大的利润。2. 线性规划的数学模型在实际中，运用线性规划来解决的问题有很多，例如：(1)下料问题。现有一批长度一定的钢管，由于生产的需要，要求截出不同规格的钢管若干。试问要如何下料，既能满足生产的需要,又使得使用的原材料钢管数量最少或废材最少？(2)配料问题。把若干种不同的原料配制成含有一定成分的各种原料的产品，如何配料使产品成本最低？或者是用若干种不同原料，用不同的比例配制出一些价格不同规格不一的产品，在原材料供应量的限制和保证产品成分的含量的前提下，如何获取最大的利润？（3）生产计划安排问题。如何合理充分地利用厂里现有的人力、物力、财力，制定出最优的产品生产计划，使得工厂的获利最大？（4）运输问题。一个企业有若干个生产单位与销售单位，根据各生产单位的产量及销售单位的销售，如何制定调运方案，使某种一定量的产品从若干产地运到若干个销地的总运输或总货运量最小？（5）投资问题。如何从不同的投资项目中选择出一个投资方案，使得投资的回报最大？线性规划问题数学模型是描述实际问题的数学形式，它反映了实际问题数量间的本质规律。由于实际问题往往比较复杂，建立线性规划的数学模型时，对某一问题要作认真分析，抓住其最本质的因素，用简单的数学式子将其描述出来，使建立的数学模型既简单，又能正确反映问题的本质。对于线性规划问题，一般地可以用如下数学模型来描述上述模型的简写形式为用向量形式表达时，上述模型可写为用矩阵和向量形式来表示可写成为：称为约束方程组（约束条件）的系数矩阵。例：某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品所需要的设备台时和、两种原材料的消耗以及资源的限制情况，如表1所示：资源限制设备/台时原料/千克原料/千克120111300400250表1该工厂每生产一单位产品可获利50元，每生产一单位产品可获利100元，问工厂应分别生产多少单位产品和产品才能使工厂获利最大？解：为了解决这个实际问题，我们把它归结为数学问题来研究。首先，确定决策变量。工厂目前要决策的是产品和产品的生产量，可以用变量和来表示，即：决策变量表示生产产品的数量；决策变量表示生产产品的数量。由于它们表示产品产量，所以只取非负数。其次，根据问题的限制条件，列出表示条件的线性不等式。对于台时数方面的限制可以表示为原材料的限量可以表示为和除了上述约束外，显然还有最后，根据实际问题所追求的目标，列出其线性表函数式。则总利润可表示为 最大利润记为 综上所述，得到了描述该问题的一组数学表达式：目标函数为 约束条件为 3. 线性规划问题的理论3.1线性规划问题的标准形式线性规划问题的一般形式包含了线性规划问题的多种形式，这对我们阐述一些基本概念和求解方法很不利。所以，我们要规定一种线性规划问题的标准形式。我们规定线性规划问题的标准形式有以下特点：（1） 求目标函数的最大值；（2） 所有的约束方程都用等式表示；（3） 所有的变量都是非负的；（4） 约束方程等式右端的常数（称为约束常数）都是非负的。一般地，线性规划问题的标准形式可以写成：其中，（i=1,2，m）或表成：如何将线性规划问题的一般形式化为标准形式呢？可分以下几种情况：（1） 目标函数为求极小值，即为： 因为求min z等价于求max(-z),令，即化为：（2）约束条件的右端项0时，只需将等式或不等式两端同乘（-1），则等式右端项必大于零（3）约束条件为不等式。当约束条件为“”时，如 ，可令，得，显然。当约束条件为“”时，如有，可令，得。是新加上去的变量，取值均为非负，加到原约束条件中去的变量其目的是使不等式转化为等式，其中称为松弛变量，一般配称为剩余变量，但也有称松弛变量的。松弛变量或剩余变量在实际问题中分别表示未被充分利用的资源和超出的资源数，均未转化为价值和利润，所以引进模型后它们在目标函数中的系数均为零。3.2单纯形法关于一般线性规划的标准形用矩阵表示为其中，。把线性规划写成表格形式0以下为叙述方便起见，把表格的四个部分分别称为中心部位（底线）右列底行右下端求解线性规划，即可以运用如下的运算：1.底线以上部分进行交换；2.底线以上某一行乘一非零常数；3.底线以上的行进行倍加运算；4.把底线以上行乘常数后加至底行（包括右下端）上。当表格具有如下特点：（1）中心部位具有单位子块；（2）右列元素非负；（3）底行相应于单位子块位置的元素为0；（4）底行其他元素非负。则从表格中立即可以读出线性规划的最优解和最优值。最优解的读法为：单位子块中1所对应的变量取相应右列的值，不在单位子块位置中的变量取值0。而右下端元素变号即为线性规划的最优解。例 用单纯形法求解线性规划问题：解 引入松弛变量，将问题化为标准形，即将目标函数视为变量，有方程组单纯形表为 由表可得最优解为，最优值为=184.线性规划建立企业利润最大化数学模型企业管理是一种典型的复杂系统，利用模型描述这类系统是一件非常困难的工作，为此建模和求解过程中对研究对象做出一些简化是非常必要的，这也是各类线性模型受到重视和广泛应用的原因之一，尽管经济系统是非常复杂的，但应用线性模型仍然能够描述和解决大量的实际问题。4.1企业利润最大化原则厂商从事生产或出售商品的目的是为了赚取利润。如果总收益大于总成本，就会有剩余，这个剩余就是利润。值得注意的是，这里讲的利润，不包括正常利润，正常利润包括在总成本中，这里讲的利润是指超额利润。如果总收益等于总成本，厂商不亏不赚，只获得正常利润，如果总收益小于总成本，厂商便要发生亏损。 厂商从事生产或出售商品不仅要求获取利润，而且要求获取最大利润，厂商利润最大化原则就是产量的边际收益等于边际成本的原则。边际收益是最后增加一单位销售量所增加的收益，边际成本是最后增加一单位产量所增加的成本。如果最后增加一单位产量的边际收益大于边际成本，就意味着增加产量可以增加总利润，于是厂商会继续增加产量，以实现最大利润目标。如果最后增加一单位产量的边际收益小于边际成本，那就意味着增加产量不仅不能增加利润，反而会发生亏损，这时厂商为了实现最大利润目标，就不会增加产量而会减少产量。只有在边际收益等于边际成本时，厂商的总利润才能达到极大值。4.2利润最大化模型例 某工厂用甲，乙两种原材料生产A,B,C,D四种产品，每种产品的利润现有原材料数量及每种产品消耗原料的定额如下表2：每万件产品所用原料（）现有原料（）甲3210418乙0020.53每件产品利润985019表2问应怎样组织生产才能使总利润最大？问题分析： 这个问题的目标是在满足条件的情况下，使得工厂就生产出的产品获得的总利润最大，所要做的决策是组织生产的方案，即工厂分别要生产多少数量的,四种产品。决策主要受到2个条件的限制：原料甲的数量、原料乙的数量。模型建立：决策变量：组织生产、四种产品的数量分别记作（单位万件）目标函数：记工厂就生产出的产品获得的总利润为，产品、每件利润分别是9元、8元、50元、19元，故。约束条件：生产四种产品所消耗的原料甲不超过现量18，即。生产四种产品所消耗的原料乙不超过现量3，即。当然还有非负实数约束，为非负实数。综上可得：这就是该问题的基本模型，由于目标函数和约束条件均为线性且决策变量是连续的非负实数，所以这是一个纯线性规划模型（）。模型求解：原问题一般形式：转化为标准形：将目标函数f视为变量，有方程组写出单纯形表上面最后一个单纯形表中，基变量所对应的检验数全为0，而非基变量所对应的检验数非负。所以，以变量为系数列向量组成的矩阵是最优基，对应的基本最优解为，对应的最优值为f=88即生产1万件产品C，生产2万件产品D，不生产A,B两种产品可得最大总利润为88万元。5. 总 结线性规划在企业的各项管理活动中，例如计划、生产、运输、技术等问题等诸多领域都有着广泛的应用，对具体实践中问题进行理论分析，用恰当的数学模型去模拟问题原型，为策划者从各种限制条件的组合中，选择出最为合理的决策方法，从而做出最佳选择，为企业谋得的利润最大。本文结合了线性规划的理论过程的基础上，讨论了企业如何灵活应用与解决问题。实践证明，线性规划具有简单易操作等优点，使其成为人们为合理利用有限资源制定最佳决策的有利工具。参考文献1冯泰.线性代数、线性规划和概率论