复变函数试卷库

复变函数论复变函数论 试题库试题库 复变函数复变函数 考试试题 一 考试试题 一 一 判断题 20 分 1 若 f z 在 z0的某个邻域内可导 则函数 f z 在 z0解析 2 有界整函数必在整个复平面为常数 3 若收敛 则与都收敛 n z Re n z Im n z 4 若 f z 在区域 D 内解析 且 则 常数 0 zfCzf 5 若函数 f z 在 z0处解析 则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数 6 若 z0是的 m 阶零点 则 z0是 1 的 m 阶极点 zf zf 7 若存在且有限 则 z0是函数 f z 的可去奇点 lim 0 zf zz 8 若函数 f z 在是区域 D 内的单叶函数 则 0 Dzzf 9 若 f z 在区域 D 内解析 则对 D 内任一简单闭曲线 C 0 C dzzf 10 若函数 f z 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数 则 f z 在区域 D 内恒等于常数 二 填空题 20 分 1 为自然数 1 0 0 zz n zz dz n 2 zz 22 cossin 3 函数的周期为 zsin 4 设 则的孤立奇点有 1 1 2 z zf zf 5 幂级数的收敛半径为 0 n n nz 6 若函数 f z 在整个平面上处处解析 则称它是 7 若 则 n n zlim n zzz n n lim 21 8 其中 n 为自然数 0 Re n z z e s QQ374289236 9 的孤立奇点为 z zsin 10 若是的极点 则 0 z zf lim 0 zf zz 三 计算题 40 分 1 设 求在内的罗朗展式 2 1 1 zz zf zf 1 0 zzD 2 cos 1 1 z dz z 3 设 其中 试求 C d z zf 173 2 3 zzC 1 if 4 求复数的实部与虚部 1 1 z z w 四 证明题 20 分 1 函数在区域内解析 证明 如果在内为常数 那么它在内 zfD zfDD 为常数 2 试证 在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支 1 f zzz 0Re1z z 并求出支割线上岸取正值的那支在的值 0Re1z 1z 复变函数复变函数 考试试题 二 考试试题 二 一 判断题 20 分 1 若函数在 D 内连续 则 u x y 与 v x y 都在 D 内连续 yxivyxuzf 2 cos z 与 sin z 在复平面内有界 3 若函数 f z 在 z0解析 则 f z 在 z0连续 4 有界整函数必为常数 5 如 z0是函数 f z 的本性奇点 则一定不存在 lim 0 zf zz 6 若函数 f z 在 z0可导 则 f z 在 z0解析 7 若 f z 在区域 D 内解析 则对 D 内任一简单闭曲线 C 0 C dzzf 8 若数列收敛 则与都收敛 n z Re n z Im n z QQ374289236 9 若 f z 在区域 D 内解析 则 f z 也在 D 内解析 10 存在一个在零点解析的函数 f z 使且 0 1 1 n f 2 1 2 1 2 1 n nn f 二 填空题 20 分 1 设 则iz arg zzz 2 设 则 Ciyxzyxixyxzf sin 1 2 222 lim 1 zf iz 3 为自然数 1 0 0 zz n zz dz n 4 幂级数的收敛半径为 0 n n nz 5 若 z0是 f z 的 m 阶零点且 m 0 则 z0是的 零点 zf 6 函数 ez的周期为 7 方程在单位圆内的零点个数为 0832 35 zzz 8 设 则的孤立奇点有 2 1 1 z zf zf 9 函数的不解析点之集为 zzf 10 1 1 Res 4 z z 三 计算题 40 分 1 求函数的幂级数展开式 2sin 3 z 2 在复平面上取上半虚轴作割线 试在所得的区域内取定函数 在正实轴取正实值的一个解析分支 并求它在上半虚轴左沿的z 点及右沿的点处的值 iz 3 计算积分 积分路径为 1 单位圆 i i zzId 1 z 的右半圆 4 求 dz z z z 2 2 2 sin QQ374289236 四 证明题 20 分 1 设函数 f z 在区域 D 内解析 试证 f z 在 D 内为常数的充要条件是在 zf D 内解析 2 试用儒歇定理证明代数基本定理 复变函数复变函数 考试试题 三 考试试题 三 一 判断题 20 分 1 cos z与 sin z的周期均为 k2 2 若f z 在z0处满足柯西 黎曼条件 则f z 在z0解析 3 若函数f z 在z0处解析 则f z 在z0连续 4 若数列收敛 则与都收敛 n z Re n z Im n z 5 若函数f z 是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数 则数f z 在区 域D内为常数 6 若函数f z 在z0解析 则f z 在z0的某个邻域内可导 7 如果函数f z 在上解析 且 则 1 zzD 1 1 zzf 1 1 zzf 8 若函数f z 在z0处解析 则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数 9 若z0是的m阶零点 则z0是 1 的m阶极点 zf zf 10 若是的可去奇点 则 0 z zf0 Res 0 zzf 二 填空题 20 分 1 设 则f z 的定义域为 1 1 2 z zf 2 函数ez的周期为 3 若 则 n n n i n n z 1 1 1 2 n z n lim 4 zz 22 cossin 5 为自然数 1 0 0 zz n zz dz n 6 幂级数的收敛半径为 0n n nx QQ374289236 7 设 则f z 的孤立奇点有 1 1 2 z zf 8 设 则 1 z e z 9 若是的极点 则 0 z zf lim 0 zf zz 10 0 Res n z z e 三 计算题 40 分 1 将函数在圆环域内展为 Laurent 级数 1 2 z f zz e 0z 2 试求幂级数的收敛半径 n n nz n n 3 算下列积分 其中是 C z zz ze 9 d 22 C1 z 4 求在 z 1 内根的个数 0282 269 zzzz 四 证明题 20 分 1 函数在区域内解析 证明 如果在内为常数 那么 zfD zfD 它在内为常数 D 2 设是一整函数 并且假定存在着一个正整数n 以及两个正数R及 zf M 使得当时Rz n zMzf 证明是一个至多n次的多项式或一常数 zf 复变函数复变函数 考试试题 四 考试试题 四 一 判断题 20 分 1 若 f z 在 z0解析 则 f z 在 z0处满足柯西 黎曼条件 2 若函数 f z 在 z0可导 则 f z 在 z0解析 3 函数与在整个复平面内有界 zsinzcos QQ374289236 4 若 f z 在区域 D 内解析 则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有 0 C dzzf 5 若存在且有限 则 z0是函数的可去奇点 lim 0 zf zz 6 若函数 f z 在区域 D 内解析且 则 f z 在 D 内恒为常数 0 zf 7 如果 z0是 f z 的本性奇点 则一定不存在 lim 0 zf zz 8 若 则为的 n 阶零点 0 0 0 0 zfzf n 0 z zf 9 若与在内解析 且在内一小弧段上相等 则 zf zgDD Dzzgzf 10 若在内解析 则 zf 0z Res 0 Res zfzf 二 填空题 20 分 1 设 则 i z 1 1 Im Re zz 2 若 则 n n zlim n zzz n n lim 21 3 函数 ez的周期为 4 函数的幂级数展开式为 2 1 1 z zf 5 若函数 f z 在复平面上处处解析 则称它是 6 若函数 f z 在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析 则称它是 D 内的 7 设 则 1 zC 1 C dzz 8 的孤立奇点为 z zsin QQ374289236 9 若是的极点 则 0 z zf lim 0 zf zz 10 0 Res n z z e 三 计算题 40 分 1 解方程 01 3 z 2 设 求 1 2 z e zf z Re zfs 3 9 2 2 z dz izz z 4 函数ze z 1 1 1 有哪些奇点 各属何类型 若是极点 指明它的阶数 f z 四 证明题 20 分 1 证明 若函数在上半平面解析 则函数在下半平面解析 zf zf 2 证明方程在内仅有 3 个根 036 4 zz2 1 z 复变函数复变函数 考试试题 五 考试试题 五 一 判断题 20 分 1 若函数 f z 是单连通区域 D 内的解析函数 则它在 D 内有任意阶导数 2 若函数 f z 在区域 D 内的解析 且在 D 内某个圆内恒为常数 则在区域 D 内恒等于常数 3 若 f z 在区域 D 内解析 则 f z 也在 D 内解析 4 若幂级数的收敛半径大于零 则其和函数必在收敛圆内解析 5 若函数 f z 在 z0处满足 Cauchy Riemann 条件 则 f z 在 z0解析 6 若存在且有限 则 z0是 f z 的可去奇点 lim 0 zf zz 7 若函数 f z 在 z0可导 则它在该点解析 QQ374289236 8 设函数在复平面上解析 若它有界 则必为常数 zf zf 9 若是的一级极点 则 0 z zf lim Res 00 0 zfzzzzf zz 10 若与在内解析 且在内一小弧段上相等 则 zf zgDD Dzzgzf 二 填空题 20 分 1 设 则 iz31 arg zzz 2 当时 为实数 z z e 3 设 则 1 z e z 4 的周期为 z e 5 设 则 1 zC 1 C dzz 6 0 1 Res z ez 7 若函数 f z 在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析 则称它是 D 内的 8 函数的幂级数展开式为 2 1 1 z zf 9 的孤立奇点为 z zsin 10 设 C 是以为 a 心 r 为半径的圆周 则 为自 1 Cn dz az n 然数 三 计算题 40 分 QQ374289236 1 求复数的实部与虚部 1 1 z z 2 计算积分 zzI L dRe 在这里 L 表示连接原点到的直线段 1 i 3 求积分 其中 0 a 1 I 2 0 2 cos21aa d 4 应用儒歇定理求方程 在 z 1 内根的个数 在这里在 zz z 上解析 并且 1 z1 z 四 证明题 20 分 1 证明函数除去在外 处处不可微 2 zzf 0 z 2 设是一整函数 并且假定存在着一个正整数 n 以及两个数 R 及 zf M 使得当时Rz n zMzf 证明 是一个至多 n 次的多项式或一常数 zf 复变函数复变函数 考试试题 六 考试试题 六 一 判断题 30 分 1 若函数在解析 则在连续 f z 0 z f z 0 z 2 若函数在处满足 Caychy Riemann 条件 则在解析 f z 0 z f z 0 z 3 若函数在解析 则在处满足 Caychy Riemann 条件 f z 0 z f z 0 z 4 若函数在是区域内的单叶函数 则 f zD 0 fzzD 5 若在单连通区域内解析 则对内任一简单闭曲线都有 f zDDC 0 C f z dz 6 若在区域内解析 则对内任一简单闭曲线都有 f zDDC 0 C f z dz 7 若 则函数在是内的单叶函数 0 fzzD f zD QQ374289236 8 若是的阶零点 则是的阶极点 0 z f zm 0 z 1 f z m 9 如果函数在上解析 且 则 f z 1Dzz 1 1 f zz 1 1 f zz 10 sin1 zzC 二 填空题 20 分 1 若 则 21 1 1 n n n zi nn lim n z 2 设 则的定义域为 2 1 1 f z z f z 3 函数的周期为 sin z 4 22 sincoszz 5 幂级数的收敛半径为 0 n n nz 6 若是的阶零点且 则是的 零点 0 z f zm1m 0 z fz 7 若函数在整个复平面处处解析 则称它是 f z 8 函数的不解析点之集为 f zz 9 方程在单位圆内的零点个数为 53 2380zzz 10 公式称为 cossin ix exix 三 计算题 30 分 1 2 lim 6 n n i 2 设 其中 试求 2 371 C f zd z 3Czz 1 fi 3 设 求 2 1 z e f z z Re s f z i 4 求函数在内的罗朗展式 3 6 sin z z 0z 5 求复数的实部与虚部 1 1 z w z QQ374289236 6 求的值 3i e 四 证明题 20 分 1 方程在单位圆内的根的个数为 6 763 9610zzz 2 若函数在区域内解析 等于常数 则在恒 f zu x yiv x y D v x y f zD 等于常数 3 若是的阶零点 则是的阶极点 0 z f zm 0 z 1 f z m 复变函数复变函数 考试试题 七 考试试题 七 一 判断题 24 分 1 若函数在解析 则在的某个领域内可导 f z 0 z f z 0 z 2 若函数在处解析 则在满足 Cauchy Riemann 条件 f z 0 z f z 0 z 3 如果是的可去奇点 则一定存在且等于零 0 z f z 0 lim zz f z 4 若函数是区域内的单叶函数 则 f zD 0 fzzD 5 若函数是区域内的解析函数 则它在内有任意阶导数 f zDD 6 若函数在区域内的解析 且在内某个圆内恒为常数 则在区域内恒等于 f zDDD 常数 7 若是的阶零点 则是的阶极点 0 z f zm 0 z 1 f z m 二 填空题 20 分 1 若 则 11 sin 1 1 n n zi nn lim n z 2 设 则的定义域为 2 1 z f z z f z 3 函数的周期为 z e 4 22 sincoszz 5 幂级数的收敛半径为 2 2 0 n n n z 6 若是的阶零点且 则是的 零点 0 z f zm1m 0 z fz QQ374289236 7 若函数在整个复平面处处解析 则称它是 f z 8 函数的不解析点之集为 f zz 9 方程在单位圆内的零点个数为 83 3380zzz 10 Re 0 z n e s z 三 计算题 30 分 1 求 22 11 22 ii 2 设 其中 试求 2 371 C f zd z 3Czz 1 fi 3 设 求 2 z e f z z Re 0 s f z 4 求函数在内的罗朗展式 1 1 z zz 12z 5 求复数的实部与虚部 1 1 z w z 6 利用留数定理计算积分 2 0 cos dx ax 1 a 四 证明题 20 分 1 方程在单位圆内的根的个数为 7 7633 249610zzzz 2 若函数在区域内解析 等于常数 则在恒等 f zu x yiv x y D f z f zD 于常数 3 若是的阶零点 则是的阶极点 0 z f zm 0 z 1 f z m 五 计算题 10 分 求一个单叶函数 去将平面上的上半单位圆盘保形映射为平面的z 1 Im0zzz w 单位圆盘 1w w 复变函数复变函数 考试试题 八 考试试题 八 一 判断题 20 分 1 若函数在解析 则在连续 f z 0 z f z 0 z QQ374289236 2 若函数在满足 Cauchy Riemann 条件 则在处解析 f z 0 z f z 0 z 3 如果是的本性奇点 则一定不存在 0 z f z 0 lim zz f z 4 若函数是区域内解析 并且 则是区域的单叶函数 f zD 0 fzzD f zD 5 若函数是区域内的解析函数 则它在内有任意阶导数 f zDD 6 若函数是单连通区域内的每一点均可导 则它在内有任意阶导数 f zDD 7 若函数在区域内解析且 则在内恒为常数 f zD 0fz f zD 8 存在一个在零点解析的函数使且 f z 1 0 1 f n 11 1 2 22 fn nn 9 如果函数在上解析 且 则 f z 1Dzz 1 1 f zz 1 1 f zz 10 是一个有界函数 sin z 二 填空题 20 分 1 若 则 21 1 1 n n n zi nn lim n z 2 设 则的定义域为 lnf zz f z 3 函数的周期为 sin z 4 若 则 lim n n z 12 lim n n zzz n 5 幂级数的收敛半径为 5 0 n n nz 6 函数的幂级数展开式为 2 1 1 f z z 7 若是单位圆周 是自然数 则 Cn 0 1 n C dz zz 8 函数的不解析点之集为 f zz 9 方程在单位圆内的零点个数为 532 15480zzz 10 若 则的孤立奇点有 2 1 1 f z z f z 三 计算题 30 分 1 求 1 13 1 sin 2 1 4 z zz dz ezdz izz QQ374289236 2 设 其中 试求 2 371 C f zd z 3Czz 1 fi 3 设 求 2 1 z e f z z Re s f z 4 求函数在内的罗朗展式 2 10 1 2 z zz 2z 5 求复数的实部与虚部 1 1 z w z 四 证明题 20 分 1 方程在单位圆内的根的个数为 7 763 155610zzz 2 若函数在区域内连续 则二元函数与都在 f zu x yiv x y D u x y v x y 内连续 D 4 若是的阶零点 则是的阶极点 0 z f zm 0 z 1 f z m 五 计算题 10 分 求一个单叶函数 去将平面上的区域保形映射为平面的单位圆盘z 4 0arg 5 zz w 1w w 复变函数复变函数 考试试题 九 考试试题 九 一 判断题 20 分 1 若函数在可导 则在解析 f z 0 z f z 0 z 2 若函数在满足 Cauchy Riemann 条件 则在处解析 f z 0 z f z 0 z 3 如果是的极点 则一定存在且等于无穷大 0 z f z 0 lim zz f z 4 若函数在单连通区域内解析 则对内任一简单闭曲线都有 f zDDC 0 C f z dz 5 若函数在处解析 则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数 f z 0 z 6 若函数在区域内的解析 且在内某一条曲线上恒为常数 则在区域 f zDD f z 内恒为常数 D QQ374289236 7 若是的阶零点 则是的阶极点 0 z f zm 0 z 1 f z m 8 如果函数在上解析 且 则 f z 1Dzz 1 1 f zz 1 1 f zz 9 lim z z e 10 如果函数在内解析 则 f z1z 11 max max zz f zf z 二 填空题 20 分 1 若 则 12 sin 1 1 n n zi nn lim n z 2 设 则的定义域为 1 sin f z z f z 3 函数的周期为 sin z 4 22 sincoszz 5 幂级数的收敛半径为 0 n n nz 6 若是的阶零点且 则是的 零点 0 z f zm1m 0 z fz 7 若函数在整个复平面除去有限个极点外 处处解析 则称它是 f z 8 函数的不解析点之集为 f zz 9 方程在单位圆内的零点个数为 83 2011350zzz 10 2 Re 1 1 z e s z 三 计算题 30 分 1 2 lim 6 n n i 2 设 其中 试求 2 371 C f zd z 3Czz 1 fi 3 设 求 2 1 z e f z z Re s f zi 4 求函数在内的罗朗展式 1 2 z zz 12z QQ374289236 5 求复数的实部与虚部 1 1 z w z 6 利用留数定理计算积分 2 42 2 109 xx dx xx 四 证明题 20 分 1 方程在单位圆内的根的个数为 6 763 9610zzz 2 若函数在区域内解析 等于常数 则在恒 f zu x yiv x y D u x y f zD 等于常数 7 若是的阶零点 则是的阶极点 0 z f zm 0 z 1 f z m 五 计算题 10 分 求一个单叶函数 去将平面上的带开区域保形映射为平面的单位z Im 2 zz w 圆盘 1w w 复变函数复变函数 考试试题 十 考试试题 十 一 判断题 40 分 1 若函数在解析 则在的某个邻域内可导 f z 0 z f z 0 z 2 如果是的本性奇点 则一定不存在 0 z f z 0 lim zz f z 3 若函数在内连续 则与都在内连续 f zu x yiv x y D u x y v x yD 4 与在复平面内有界 coszsin z 5 若是的阶零点 则是的阶极点 0 z f zm 0 z1 f zm 6 若在处满足柯西 黎曼条件 则在解析 f z 0 z f z 0 z 7 若存在且有限 则是函数的可去奇点 0 lim zz f z 0 z 8 若在单连通区域内解析 则对内任一简单闭曲线都有 f zDDC 0 C f x dz 9 若函数是单连通区域内的解析函数 则它在内有任意阶导数 f zDD 10 若函数在区域内解析 且在内某个圆内恒为常数 则在区域内恒等于常 f zDDD QQ374289236 数 二 填空题 20 分 1 函数的周期为 z e 2 幂级数的和函数为 0 n n nz 3 设 则的定义域为 2 1 1 f z z f z 4 的收敛半径为 0 n n nz 5 Re 0 z n e s z 三 计算题 40 分 1 2 9 z z dz zzi 2 求 2 Re 1 iz e si z 3 11 22 nn ii 4 设 求 使得为解析函数 且满 22 ln u x yxy v x y f zu x yiv x y 足 其中 为复平面内的区域 1 ln2fi zD D 5 求 在内根的个数 4 510zz 1z 复变函数复变函数 考试试题 十一 考试试题 十一 一 判断题 正确者在括号内打 错误者在括号内打 每题 2 分 1 当复数时 其模为零 辐角也为零 0z 2 若是多项式的根 则也是的根 0 z 1 10 nn nn P za zaza 0 n a 0 z P z 3 如果函数为整函数 且存在实数 使得 则为一常数 f zMRe f zM f z 4 设函数与在区域内解析 且在内的一小段弧上相等 则对任意的 1 f z 2 fzDD 有 zD 1 f z 2 fz QQ374289236 5 若是函数的可去奇点 则 z f zRe 0 z s f z 二 填空题 每题 2 分 1 23456 iiiii 2 设 且 当时 0zxiy arg arctan 22 y z x 0 0 xy argarctan y x 3 函数将平面上的曲线变成平面上的曲线 1 w z z 22 1 1xy w 4 方程的不同的根为 44 0 0 zaa 5 1 ii 6 级数的收敛半径为 2 0 2 1 n n z 7 在 为正整数 内零点的个数为 cosnzzn n 8 函数的零点的阶数为 336 6sin 6 f zzzz 0z 9 设为函数的一阶极点 且 则a z f z z 0 0 0aaa Re z a fz s f z 10 设为函数的阶极点 则 a f zm Re z a fz s f z 三 计算题 50 分 1 设 求 使得为解析函数 且 22 1 ln 2 u x yxy v x y f zu x yiv x y 满足 其中 为复平面内的区域 15 分 1 1 ln2 2 fi zD D 2 求下列函数的奇点 并确定其类型 对于极点要指出它们的阶 10 分 1 5 分 2 5 分 2 tan z 1 1 1 z z e e 3 计算下列积分 15 分 1 8 分 19 2443 4 1 2 z z dz zz QQ374289236 2 7 分 2 0 1 cos d 4 叙述儒歇定理并讨论方程在内根的个数 10 分 742 520zzz 1z 四 证明题 20 分 1 设是上半复平面内的解析函数 证明是下半复平面内的 f zu x yiv x y f z 解析函数 10 分 2 设函数在内解析 令 证明 在区 f zzR max 0 zr M rf zrR M r 间上是一个上升函数 且若存在及 使 则 0 R 1 r 2 r 12 0rrR 12 M rM r 常数 10 分 f z 复变函数复变函数 考试试题 十二 考试试题 十二 二 判断题 正确者在括号内打 错误者在括号内打 每题 2 分 1 设复数及 若或 则称与是相等的复数 111 zxiy 222 zxiy 12 xx 12 yy 1 z 2 z 2 函数在复平面上处处可微 Ref zz 3 且 22 sincos1zz sin1 cos1zz 4 设函数是有界区域内的非常数的解析函数 且在闭域上连续 则 f zDDDD 存在 使得对任意的 有 0M zD f zM 5 若函数是非常的整函数 则必是有界函数 f z f z 二 填空题 每题 2 分 1 23456 iiiii 2 设 且 当时 0zxiy arg arctan 22 y z x 0 0 xy argarctan y x 3 若已知 则其关于变量的表达式为 2222 11 1 1 f zxiy xyxy z 4 以 为支点 n zz QQ374289236 5 若 则 ln 2 zi z 6 1z dz z 7 级数的收敛半径为 246 1zzz 8 在 为正整数 内零点的个数为 cosnzzn n 9 若为函数的一个本质奇点 且在点的充分小的邻域内不为零 则是za f zaza 的 奇点 1 f z 10 设为函数的阶极点 则 a f zn Re z a fz s f z 三 计算题 50 分 1 设区域是沿正实轴割开的平面 求函数在内满足条件的单值Dz 5 wz D 5 11 连续解析分支在处之值 10 分 1zi 2 求下列函数的奇点 并确定其类型 对于极点要指出它们的阶 并求它们留数 15 分 1 的各解析分支在各有怎样的孤立奇点 并求这些点的留数 10 2 n 1 Lz f z z 1z 分 2 求 5 分 1 0 Re z n z e s z 3 计算下列积分 15 分 1 8 分 7 232 2 1 2 z z dz zz 2 7 分 2 222 0 x dx a xa 4 叙述儒歇定理并讨论方程在内根的个数 10 分 6 6100zz 1z 四 证明题 20 分 1 讨论函数在复平面上的解析性 10 分 z f ze 2 证明 2 1 2 nzn n C z edz inn 此处是围绕原点的一条简单曲线 10 分 C QQ374289236 复变函数复变函数 考试试题 十三 考试试题 十三 一 填空题 每题 分 设 则 cossin zri 1 z 设函数 则的充 f zu x yiv x y 00 Auiv 000 zxiy 0 lim zz f zA 要条件是 设函数在单连通区域内解析 则在内沿任意一条简单闭曲线的积 f zD f zDC 分 C f z dz 设为的极点 则 za f zlim za f z 设 则是的 阶零点 sinf zzz 0z f z 设 则在的邻域内的泰勒展式为 2 1 1 f z z f z0z 设 其中为正常数 则点的轨迹曲线是 zazab a bz 设 则的三角表示为 sincos 66 zi z 4 0 coszzdz 设 则在处的留数为 2 z e f z z f z0z 二 计算题 计算下列各题 分 1 2 3 cosiln 23 i 3 3 i 2 求解方程 分 3 80z 设 验证是调和函数 并求解析函数 使之 22 uxyxy u f zuiv 分 1f ii 计算积分 10 分 1 其中是沿由原点到点的曲线 2 C xiy dz C 2 yx 1zi 2 积分路径为自原点沿虚线轴到 再由 沿水平方向向右 1 2 0 i xyix dz ii 到 1 i QQ374289236 试将函数分别在圆环域和内展开为洛朗级 1 1 2 f z zz 01z 12z 数 分 计算下列积分 分 1 2 2 2 52 1 z z dz z z 2 2 4 sin 1 z z dz zz 计算积分 分 2 4 1 x dx x 求下列幂级数的收敛半径 分 1 2 1 1 n n nz 1 1 n n n z n 讨论的可导性和解析性 分 2 f zz 三 证明题 设函数在区域内解析 为常数 证明必为常数 分 f zD f z f z 试证明的轨迹是一直线 其中为复常数 为实常数 分 0azazb ab 复变函数复变函数 考试试题 十四 考试试题 十四 一 填空题 每题 分 设 则 cossin zri n z 设函数 则的充 f zu x yiv x y 00 Auiv 000 zxiy 0 lim zz f zA 要条件 设函数在单连通区域内解析 则在内沿任意一条简单闭曲线的积 f zD f zDC 分 C f z dz 设为的可去奇点 za f zlim za f z 设 则是的 阶零点 2 2 1 z f zze 0z f z 设 则在的邻域内的泰勒展式为 2 1 1 f z z f z0z 设 其中为正常数 则点的轨迹曲线是 zazab a bz 设 则的三角表示为 sincoszi z QQ374289236 1 0 i z ze dz 设 则在处的留数为 2 1 sinf zz z f z0z 二 计算题 计算下列各题 分 1 2 3 34 Lni 1 6 i e 1 1 i i 2 求解方程 分 3 20z 设 验证是调和函数 并求解析函数 使2 1 uxy u f zuiv 之 分 2 fi 计算积分 其中路径为 自原点到点的直线段 1 2 0 i xyix dz 1 i 2 自原点沿虚轴到 再由 沿水平方向向右到 10 分 ii1 i 试将函数在的邻域内的泰勒展开式 分 1 2 f z z 1z 计算下列积分 分 1 2 2 2 sin 2 z z dz z 2 2 4 2 3 z z dz zz 计算积分 分 2 0 53cos d 求下列幂级数的收敛半径 分 1 2 1 1 n n n iz 2 1 n n n n z n 设为复平面上的解析函数 试确定 的 3232 f zmynx yi xlxy lmn 值 分 三 证明题 设函数在区域内解析 在区域内也解析 证明必为常数 分 f zD f zD f z 试证明的轨迹是一直线 其中为复常数 为实常数 分 0azazb ab QQ374289236 试卷一至十四参考答案试卷一至十四参考答案 复变函数复变函数 考试试题 一 参考答案考试试题 一 参考答案 一 判断题 1 2 6 10 二 填空题 1 2 1 3 4 5 1 21 01 in n 2k kz zi 6 整函数 7 8 9 0 10 1 1 n 三 计算题 1 解 因为 所以01 z 01z QQ374289236 111 1 2 1 2 1 2 f z z zzz 00 1 22 nn nn z z 2 解 因为 222 1 2 Re limlim1 cossin zzz z s f z zz 222 1 2 Re limlim1 cossin zzz z s f z zz 所以 2 22 1 2 Re Re 0 cos z zz dzis f zs f z z 3 解 令 则它在平面解析 由柯西公式有在内 2 371 z3z 2 c f zdziz z 所以 1 1 2 2 136 2 6 13 zi fiiziii 4 解 令 则zabi 222222 122 1 2 1 2 111 11 1 1 1 zabiab w zzababab 故 22 12 1 Re 1 1 1 za zab 22 12 Im 1 1 zb zab 四 证明题 1 证明 设在内 D f zC 令 2 222 f zuivf zuvc 则 两边分别对求偏导数 得 x y 0 1 0 2 xx yy uuvv uuvv 因为函数在内解析 所以 代入 2 则上述方程组变为D xyyx uv uv 消去得 0 0 xx xx uuvv vuuv x u 22 0 x uv v 1 若 则 为常数 22 0uv 0f z QQ374289236 2 若 由方程 1 2 及 方程有 0 x v CR 0 x u 0 y u 0 y v 所以 为常数 12 uc vc 12 c c 所以为常数 12 f zcic 2 证明的支点为 于是割去线段的平面内变点就 1 f zzz 0 1z 0Re1z z 不可能单绕 0 或 1 转一周 故能分出两个单值解析分支 由于当从支割线上岸一点出发 连续变动到 时 只有的幅角增加 所以z0 1z z 的幅角共增加 由已知所取分支在支割线上岸取正值 于是可认为该分 1 f zzz 2 支在上岸之幅角为 0 因而此分支在的幅角为 故 1z 2 2 1 22 i fei 复变函数复变函数 考试试题 二 参考答案考试试题 二 参考答案 一 判断题 1 6 10 二 填空题 1 1 2 3 4 1 5 2 i3 1 sin2 i 21 01 in n 1m 6 7 0 8 9 10 0 2k i kz i R 三 计算题 1 解 3 212163 3 00 1 2 1 2 sin 2 21 21 nnnnn nn zz z nn 2 解 令 i zre 则 2 2 0 1 k i f zzrek 又因为在正实轴去正实值 所以 0k 所以 4 i f ie 3 单位圆的右半圆周为 i ze 22 所以 22 22 2 i ii i zdzdeei 4 解 QQ374289236 dz z z z 2 2 2 sin 2 sin2 z zi 2 cos2 z zi 0 四 证明题 1 证明 必要性 令 则 为实常数 12 f zcic 12 f zcic 12 c c 令 则 12 u x yc v x yc 0 xyyx uvuv 即满足 且连续 故在内解析 u v CR xyyx u v uv f zD 充分性 令 则 f zuiv f zuiv 因为与在内解析 所以 f z f zD 且 xyyx uvuv xyyyxx uvvuvv 比较等式两边得 从而在内均为常数 故在内为常数 0 xyyx uvuv D u v f zD 2 即要证 任一 次方程 有且只有 个n 1 0110 0 0 nn nn a za zazaa n 根 证明 令 取 当 1 011 0 nn nn f za za zaza 1 0 max 1 n aa R a 在上时 有 z CzR 11 1110 nnn nnn za RaRaaaRa R f z 由儒歇定理知在圆 内 方程 与 有相zR 1 011 0 nn nn a za zaza 0 0 n a z 同个数的根 而 在 内有一个 重根 因此次方程在 0 0 n a z zR n0z nzR 内有 个根 n 复变函数复变函数 考试试题 三 参考答案考试试题 三 参考答案 一 判断题 1 6 10 二 填空题 1 2 3 4 1 5 z zizC 且2 k ikz 1 ei 21 01 in n 6 1 7 8 9 10 i 21 zki 1 1 n 三 计算题 1 解 12 22 2 0 11 1 2 n z n z z ez zzn 2 解 1 1 1 11 limlimlim lim 1 1 n nn n n nnnn n cnnn e cnnnn 所以收敛半径为 e 3 解 令 则 22 9 z e f z zz 2 0 0 1 Re 99 z z z e s f z z 故原式 0 2 2Re 9 z i is f z QQ374289236 4 解 令 962 22f zzzz 8zz 则在 上均解析 且 故由儒歇定理有 C1z f zz 与 6 8f zz 即在 内 方程只有一个根 1N fCN fC 1z 四 证明题 1 证明 证明 设在内 D f zC 令 2 222 f zuivf zuvc 则 两边分别对求偏导数 得 x y 0 1 0 2 xx yy uuvv uuvv 因为函数在内解析 所以 代入 2 则上述方程组变为D xyyx uv uv 消去得 0 0 xx xx uuvv vuuv x u 22 0 x uv v 1 则 为常数 22 0uv 0f z 2 若 由方程 1 2 及 方程有 0 x v CR 0 x u 0 y u 0 y v 所以 为常数 12 uc vc 12 c c 所以为常数 12 f zcic 2 证明 取 则对一切正整数 时 rR kn 1 0 2 n k kk zr kf zk Mr fdz zr 于是由的任意性知对一切均有 rkn 0 0 k f 故 即是一个至多次多项式或常数 0 n nn k f zc z f zn 复变函数复变函数 考试试题 四 参考答案考试试题 四 参考答案 一 判断题 1 6 10 二 填空题 1 2 3 4 5 整函数 1 2 1 2 2 k ikz 2 0 1 1 nn n zz 6 亚纯函数 7 0 8 9 10 0z 1 1 n 三 计算题 1 QQ374289236 iiz iz iiz k k i k zz 2 3 2 1 3 5 sin 3 5 cos 1sincos 2 3 2 1 3 sin 3 cos 2 1 0 3 2 sin 3 2 cos1 3 2 1 3 解 2 解 1 1 Re 12 z z z ee s f z z 1 1 1 Re 12 z z z ee s f z z 故原式 1 11 2 Re Re zz is f zs f zi ee 3 解 原式 2 2Re 2 95 zi zi z is f zi z 4 解 ze z 1 1 1 1 1 z z ez ez 令 0 1 z ez 得 ikzz 2 0 2 1 k 而 zz z z z z z z z zee e ze ez ze 1 1 lim 1 1 lim 1 1 1 lim 000 2 1 lim 0 zzz z z zeee e 0 z 为可去奇点 当 ikz 2 时 01 0 z ezk 而 0 2 1 2 1 ikz zee ikz ze zzz ikz 2 为一阶极点 四 证明题 1 证明 设 在下半平面内任取一点 是下半平面内异于的点 考虑 F zf z 0 zz 0 z 000 000 000 limlimlim zzzzzz F zF zf zf zf zf z zzzzzz 而 在上半平面内 已知在上半平面解析 因此 从而 0 zz f z 00 F zfz 在下半平面内解析 F zf z 2 证明 令 则与在全平面解析 63f zz 4 zz f z z 且在上 1 2Cz 15 16f zz 故在内 2z 11 4N fCNC 在上 2 1Cz 3 1f zz 故在内 1z 22 1N fCN f C 所以在内仅有三个零点 即原方程在内仅有三个根 f 12z 12z 复变函数复变函数 考试试题 五 参考答案考试试题 五 参考答案 一 判断题 1 6 10 QQ374289236 二 填空题 1 2 2 3 13i 2 ak ikz a 为任意实数 3 4 5 0 6 0 21 ki kz 2 k i kz 7 亚纯函数 8 9 0 10 2 0 1 1 nn n zz 21 01 in n 三 计算题 1 解 令 则zabi 222222 122 1 2 1 2 111 11 1 1 1 zabiab w zzababab 故 22 12 1 Re 1 1 1 za zab 22 12 Im 1 1 zb zab 2 解 连接原点及的直线段的参数方程为 1 i 1 01zi tt 故 11 00 1 ReRe 1 1 1 2 c i zdzi ti dtitdt 3 令 则 当时 i ze dz d iz 0a 212 1 1 2 cos1 zaaz aaa zza z 故 且在圆内只以为一级极点 1 1 1 z dz I izaaz 1z 1 1 f z zaaz za 在上无奇点 故 由残数定理有1z 2 11 Re 01 11 z a z a s f za aza 2 12 2Re 01 1 z a Iis f za ia 4 解 令 则在内解析 且在上 f zz f zz 1z C1z 1 zf z 所以在内 即原方程在 内只有一个根 1z 1N fCN f C 1z 四 证明题 1 证明 因为 故 22 0u x yxyv x y 2 2 0 xyxy ux uy vv 这四个偏导数在平面上处处连续 但只在处满足条件 故只在除了z0z CR f z 外处处不可微 0z 2 证明 取 则对一切正整数 时 rR kn 1 0 2 n k kk zr kf zk Mr fdz zr 于是由的任意性知对一切均有 rkn 0 0 k f 故 即是一个至多次多项式或常数 0 n nn k f zc z f zn 复变函数复变函数 考试试题 六 参考答案考试试题 六 参考答案 一 判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二 填空题 1 2 3 4 1 5 11 ei 1z 2 6 阶 7 整函数 8 9 0 10 欧拉公式 1m 三 计算题 QQ374289236 1 解 因为 2115 1 69366 i 故 2 lim 0 6 n n i 2 解 123 i 1 2 C f f zd iz 2 371 C d z 因此 2 2 371 fi 故 2 2 371 f zizz 1 1 2 67 2 136 2 6 13 i fiiziii 3 解 2 11 12 zz ee zzizi Re 2 i e s f z i 4 解 3 21 3 0 1 sin 21 nn n z z n 3 63 6 0 sin 1 21 n n n z z zn 5 解 设 则 zxiy 22 22 11 1 2 11 1 zxiyxyyi w zziyxy 22 2222 12 Re Im 1 1 xyy ww xyxy 6 解 3 1 cos sin 13 332 i eii 四 1 证明 设 673 9 61 f zzzzz 则在上 即有 1z 9 1 6 18 f zz f zz QQ374289236 根据儒歇定理 与在单位圆内有相同个数的零点 而的零点 f z f zz f z 个数为 6 故在单位圆内的根的个数为 6 763 9610zzz 2 证明 设 则 由于在内解析 因此 v x yabi 0 xy vv f zuiv D 有 x yD 0 xy uv 0 yx uv 于是故 即在内恒为常数 u x ycdi f zacbd i f zD 3 证明 由于是的阶零点 从而可设