广西桂林中学高三数学上学期10月月考试卷 理（含解析）.doc

广西桂林中学2015届高三上学期10月 月考数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合m=x|x22x30，n=x|log2x1，则mn等于（）ax|1x3bx|1x2cx|0x1dx|0x22（5分）已知复数，则1+z+z2+z3+z2012的值为（）a1+ib1cidi3（5分）某班有60名学生，一次考试后数学成绩n（110，102），若p（100110）=0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（）a10b9c8d74（5分）已知双曲线c：的焦距为10，点p（2，1）在c的渐近线上，则c的方程为（）abcd5（5分）设有算法如图所示，如果输入a=144，b=39，则输出的结果是（）a144b3c0d126（5分）设函数f（x）=cos（x+）sin（x+），（0，|）且其图象相邻的两条对称轴为x=0，x=，则（）ay=f（x）的最小正周期为2，且在（0，）上为增函数by=f（x）的最小正周期为，且在 （0，）上为减函数cy=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为增函数dy=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为减函数7（5分）已知三棱柱abca1b1c1的6个顶点都在球o的球面上，若ab=3，ac=4，abac，aa1=12，则球o的半径为（）abcd8（5分）一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（）a3bc2d9（5分）若（12x）2011=a0+a1x+a2x2+a2011x2011，则的值为（）a2b1c0d210（5分）设a=log，b=log，c=（）0.3 则（）acbabbaccbcadabc11（5分）若函数的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（）a4bc2d12（5分）设函数f（x）的定义域为d，若f（x）满足条件：存在a，bd，使f（x）在a，b上的值域是，则成f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（）a（0，）b（0，1）c（0，d（，+二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知x，y满足，则z=2x+y的最大值为14（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（mr），且与的夹角等于与的夹角，则m=15（5分）函数y=sin（x+）（0）的部分图象如图所示，设p是图象的最高点，a，b是图象与x轴的交点，则tanapb=16（5分）若集合a，b，c，d=1，2，3，4，且下列四个关系：a=1；b1；c=2；d4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.17（10分）在abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，且f（a）=2cossin（）+sin2cos2（）求函数f（a）的最大值；（）若f（a）=0，c=，a=，求b的值18（12分）已知函数f（x）=x2+x，数列an的前n项和为sn，点（n，sn）（nn*）均在函数f（x）的图象上（1）求数列an的通项公式an；（2）令cn=+证明：2nc1+c2+cn2n+19（12分）如图所示的几何体中，四边形abcd是等腰梯形，adcd，dab=60fc平面abcd，aebd，cb=cd=cf（1）求证：平面abcd平面aed；（2）直线af与面bdf所成角的余弦值20（12分）某次月考从甲、乙两班中各抽取20个物理成绩，整理数据得到茎叶图如图所示，根据茎叶图解决下列问题（1）分别指出甲乙两班物理样本成绩的中位数；（2）分别求甲乙两班物理样板成绩的平均值；（3）定义成绩在80分以上为优秀，现从甲乙两班物理样本成绩中有放回地各随机抽取两次，每次抽取1个成绩，设表示抽出的成绩中优秀的个数，求的分布列及数学期望21（12分）椭圆c：+=1（ab0）的离心率为，p（m，0）为c的长轴上的一个动点，过p点斜率为的直线l交c于a、b两点当m=0时，=（1）求c的方程；（2）求证：|pa|2+|pb|2为定值22（12分）已知函数f（x）=（1）若函数f（x）在区间（a，a+）（a0）上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）当x1时，不等式f（x）恒成立，求实数k的取值范围广西桂林中学2015届高三上学期10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合m=x|x22x30，n=x|log2x1，则mn等于（）ax|1x3bx|1x2cx|0x1dx|0x2考点：交集及其运算 专题：集合分析：分别求出m与n中不等式的解集确定出m与n，求出两集合的交集即可解答：解：由m中的不等式变形得：（x3）（x+1）0，解得：1x3，即m=x|1x3；由n中的不等式变形得：log2x1=log22，得到0x2，即n=x|0x2，则mn=x|0x2故选：d点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）已知复数，则1+z+z2+z3+z2012的值为（）a1+ib1cidi考点：数列的求和；复数代数形式的乘除运算 专题：计算题分析：由复数的代数运算可得z=i，由等比数列的前n项和公式可得1+z+z2+z3+z2012=1+，计算可得答案解答：解：=i，故1+z+z2+z3+z2012=1+，而i2012=（i2）506=（1）506=1，故，即故1+z+z2+z3+z2012=1+=1，故选b点评：本题为复数的运算和等比数列的前n项和公式的应用，化简复数的代数形式和等比数列的前n项和的应用是解决问题的关键，属中档题3（5分）某班有60名学生，一次考试后数学成绩n（110，102），若p（100110）=0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（）a10b9c8d7考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 专题：计算题；概率与统计分析：根据考试的成绩服从正态分布n（110，102）得到考试的成绩关于=110对称，根据p（100110）=0.35，得到p（120）=0.15，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数解答：解：考试的成绩服从正态分布n（110，102）考试的成绩关于=110对称，p（100110）=0.35，p（120）=p（100）=（10.352）=0.15，该班数学成绩在120分以上的人数为0.1560=9故选：b点评：本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩关于=110对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解4（5分）已知双曲线c：的焦距为10，点p（2，1）在c的渐近线上，则c的方程为（）abcd考点：双曲线的标准方程 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用双曲线c：的焦距为10，点p（2，1）在c的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程解答：解：双曲线c：的焦距为10，点p（2，1）在c的渐近线上，a2+b2=25，=1，b=，a=2双曲线的方程为故选：a点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题5（5分）设有算法如图所示，如果输入a=144，b=39，则输出的结果是（）a144b3c0d12考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：由已知中的程序框图，是一个利用循环，求最大公约数的程序，模拟程序的运行结果，即可得到解答：解：（1）a=144，b=39，c=27，继续循环；（2）a=39，b=27，c=12，继续循环；（3）a=27，b=12，c=3，继续循环；（4）a=12，b=3，c=0，退出循环此时a=3故选：b点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答6（5分）设函数f（x）=cos（x+）sin（x+），（0，|）且其图象相邻的两条对称轴为x=0，x=，则（）ay=f（x）的最小正周期为2，且在（0，）上为增函数by=f（x）的最小正周期为，且在 （0，）上为减函数cy=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为增函数dy=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为减函数考点：两角和与差的正弦函数 专题：三角函数的图像与性质分析：利用两角和的余弦公式化简函数f（x），由题意求出、的值，即可确定函数f（x）的解析式，并求出周期，判定函数f（x）的单调区间解答：解：f（x）=cos（x+）sin（x+）=2cos（x+）sin（x+）=2cos（x+），且f（x）的图象相邻的两条对称轴为x=0，x=，它的半周期为=0，=2，t=；当x=0时，f（x）=2cos（+）=k，kz，=；f（x）=2cos2x，f（x）的最小正周期是，且在（0，）上是减函数故选：d点评：本题考查了两角和差的正弦、余弦公式以及三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题，解题时应先化简函数f（x），求出f（x）的解析式，是基础题7（5分）已知三棱柱abca1b1c1的6个顶点都在球o的球面上，若ab=3，ac=4，abac，aa1=12，则球o的半径为（）abcd考点：球内接多面体；点、线、面间的距离计算 专题：空间位置关系与距离分析：通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径解答：解：因为三棱柱abca1b1c1的6个顶点都在球o的球面上，若ab=3，ac=4，abac，aa1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面b1bcc1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，因为ab=3，ac=4，bc=5，bc1=，所以球的半径为：故选c点评：本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力8（5分）一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（）a3bc2d考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：根据已知中三视图及其标识的相关几何量，我们易判断这是一个直三棱柱，且底面为直角边长分别等于1和的直角三角形，高为，代入棱柱体积公式即可得到答案解答：解：由三视图得空间几何体为倒放着的直三棱柱，底面为直角三角形，两直角边长分别等于1和，棱柱高等于，故几何体的体积v=1=故选：d点评：本题考查的知识点是由三视图答案求体积，其中根据三视图判断几何体的形状，及棱长等几何量，是解答的关键9（5分）若（12x）2011=a0+a1x+a2x2+a2011x2011，则的值为（）a2b1c0d2考点：二项式系数的性质；组合及组合数公式 专题：计算题分析：有若（12x）2011=a0+a1x+a2x2+a2011x2011（xr）得到展开式的每一项的系数ar，代入到 中求值即可解答：解：由题意得：ar=c2011r（2）r，c20113+c20112010c20112011，c20110c20111+c20112c20113+c20112010c20112011=（12）2011故选b点评：此题考查了二项展开式定理的展开使用及灵活变形求值，属于二项式定理应用的中等难度题但也数常见题型10（5分）设a=log，b=log，c=（）0.3 则（）acbabbaccbcadabc考点：对数值大小的比较 专题：函数的性质及应用分析：利用对数函数和指数函数的性质求解解答：解：由a=log=1，b=loglog=a，c=（）0.3，c=（）0.3（）0=1，故bac故选：b点评：本题考查对数值大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数性质的合理运用11（5分）若函数的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（）a4bc2d考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线与圆的位置关系 专题：导数的概念及应用分析：求导数，求出切线方程，利用切线与圆x2+y2=1相切，可得a2+b2=1，利用基本不等式，可求a+b的最大值解答：解：求导数，可得令x=0，则又f（0）=，则切线方程为，即ax+by+1=0切线与圆x2+y2=1相切，a2+b2=1a0，b0a2+b22ab，2（a2+b2）（a+b）2a+b的最大值是故选d点评：本题考查导数的几何意义，考查直线与圆相切，考查基本不等式的运用，属于中档题12（5分）设函数f（x）的定义域为d，若f（x）满足条件：存在a，bd，使f（x）在a，b上的值域是，则成f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（）a（0，）b（0，1）c（0，d（，+考点：函数的值域 专题：新定义分析：由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围解答：解：函数f（x）=为“倍缩函数”，且满足存在a，bd，使f（x）在a，b上的值域是，f（x）在a，b上是增函数；，即，方程+t=0有两个不等的实根，且两根都大于0；，解得：0t，满足条件t的范围是（0，），故答案选：a点评：本题考察了函数的值域问题，解题时构造函数，渗透转化思想，是中档题二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知x，y满足，则z=2x+y的最大值为3考点：简单线性规划 专题：计算题分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可解答：解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是a（1，1），b（，），c（2，1），在abc中满足z=2x+y的最大值是点c，代入得最大值等于3故答案为：3点评：本题只是直接考查线性规划问题，是一道较为简单的试题近年来2015届高考线性规划问题2015届高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，体现了数形结合思想的应用14（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（mr），且与的夹角等于与的夹角，则m=2考点：数量积表示两个向量的夹角 专题：平面向量及应用分析：利用向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式即可得出解答：解：向量=（1，2），=（4，2），=m+（mr），=m（1，2）+（4，2）=（m+4，2m+2）=m+4+2（2m+2）=5m+8，=4（m+4）+2（2m+2）=8m+20，=2与的夹角等于与的夹角，=，化为5m+8=4m+10，解得m=2故答案为：2点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式，属于基础题15（5分）函数y=sin（x+）（0）的部分图象如图所示，设p是图象的最高点，a，b是图象与x轴的交点，则tanapb=8考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：计算题分析：由题意求出函数的周期，与最值，过p作pdx轴于d，解出apd与bpd的正切，利用两角和的正切函数求出tanapb解答：解：由题意可知t=，最大值为：1；过p作pdx轴于d，ad=，db=，dp=1，所以tanapd=与tanbpd=，所以tanapb=tan（apd+bpd）=8故答案为8点评：本题是中档题，考查三角函数的图象与两角和的正切函数公式的应用，题目新，考查理解能力计算能力16（5分）若集合a，b，c，d=1，2，3，4，且下列四个关系：a=1；b1；c=2；d4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6考点：集合的相等 专题：计算题；集合分析：利用集合的相等关系，结合a=1；b1；c=2；d4有且只有一个是正确的，即可得出结论解答：解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个点评：本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.17（10分）在abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，且f（a）=2cossin（）+sin2cos2（）求函数f（a）的最大值；（）若f（a）=0，c=，a=，求b的值考点：正弦定理；诱导公式的作用；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦 专题：解三角形分析：（）利用三角恒等变换化简函数f（a）为，根据0a，利用正弦函数的定义域和值域求得f（a）取得最大值（）由题意知，由此求得a的值，再根据c的值，求得b的值，利用正弦定理求出b的值解答：解：（）=因为0a，所以则所以当，即时，f（a）取得最大值，且最大值为（7分）（）由题意知，所以又知，所以，则因为，所以，则由得， （13分）点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦定理、正弦函数的定义域和值域，属于中档题18（12分）已知函数f（x）=x2+x，数列an的前n项和为sn，点（n，sn）（nn*）均在函数f（x）的图象上（1）求数列an的通项公式an；（2）令cn=+证明：2nc1+c2+cn2n+考点：数列与函数的综合；等差数列的通项公式 专题：计算题；证明题分析：（1）点（n，sn）均在函数y=f（x）的图象上，则sn=n2+n，可得an=snsn1=n+1，并验证a1即可；（2）证明：由cn=+2，得c1+c2+cn2n；由cn=+=2+，得c1+c2+cn=2n+（+）=2n+2n+；即证解答：解：（1）点（n，sn）均在函数y=f（x）的图象上，当n2时，an=snsn1=n+1，a1也适合，所以an=n+1（nn*）（2）证明：，c1+c2+cn2n；又cn=+=2+，c1+c2+cn=2n+（+）=2n+2n+；2nc1+c2+cn2n+点评：本题考查了数列与函数的综合应用问题，解题时运用了数列的前n项和求通项公式，应用基本不等式，拆项法等证明不等式成立，属于中档题19（12分）如图所示的几何体中，四边形abcd是等腰梯形，adcd，dab=60fc平面abcd，aebd，cb=cd=cf（1）求证：平面abcd平面aed；（2）直线af与面bdf所成角的余弦值考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）由已知条件推导出adbd，又aebd，从而bd平面aed，由此能证明平面abcd平面aed（2）连结ac，由ca，cb，cf两两垂直，以c为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线af与面bdf所成角的余弦值解答：（1）证明：四边形abcd是等腰梯形，abcd，dab=60，adc=bcd=120，又cb=cd，cdb=30，adb=90，adbd，又aebd，且aead=a，ae，ad平面aed，bd平面aed，平面abcd平面aed（2）解：连结ac，由（1）知adbd，acbc，又fc平面abcd，ca，cb，cf两两垂直，以c为坐标原点，建立空间直角坐标系，设cb=1，则a（），b（0，1，0），d（）f（0，0，1），设平面bdf的一个法向量为，则，取z=1，得，则直线af与面bdf所成角的余弦值为（12分）点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用20（12分）某次月考从甲、乙两班中各抽取20个物理成绩，整理数据得到茎叶图如图所示，根据茎叶图解决下列问题（1）分别指出甲乙两班物理样本成绩的中位数；（2）分别求甲乙两班物理样板成绩的平均值；（3）定义成绩在80分以上为优秀，现从甲乙两班物理样本成绩中有放回地各随机抽取两次，每次抽取1个成绩，设表示抽出的成绩中优秀的个数，求的分布列及数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；众数、中位数、平均数 专题：概率与统计分析：（1）由茎叶图能求出甲乙两班物理样本成绩的中位数（2）利用平均数计算公式能求出甲乙两班物理样板成绩的平均值（3）甲、乙两班各有5个优秀成绩，从甲班中抽取一个成绩是优秀的概率是，从乙班中抽取一个成绩是优秀的概率是由题意知的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列及数学期望解答：解：（1）由茎叶图知：甲乙两班物理样本成绩的中位数分别是72，70（2）=（90+804+706+606+502+40+90）=71（分），=（902+803+705+605+503+402+100）=70（分），甲乙两班物理样板成绩的平均值分别是71分、70分（3）由题意知的可能取值为0，1，2，3，4，甲、乙两班各有5个优秀成绩，从甲班中抽取一个成绩是优秀的概率是，从乙班中抽取一个成绩是优秀的概率是，p（=0）=，p（=1）=，p（=2）=+=，p（=3）=，p（=4）=（）4=的分布列为： 0 1 2 3 4 pe=1点评：本题考查中位数、平均数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题21（12分）椭圆c：+=1（ab0）的离心率为，p（m，0）为c的长轴上的一个动点，过p点斜率为的直线l交c于a、b两点当m=0时，=（1）求c的方程；（2）求证：|pa|2+|pb|2为定值考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）因为离心率为，所以=当m=0时，l的方程为y=x，代入：+=1，并整理得x2=，由此能求出椭圆c的方程（）l的方