纯数学的学习笔记2.doc

优秀的数学家在定理或理论之间看到了类似，卓越的数学家则从类似中间看到了类似7 i, J: r6 D1 S Banach（巴拿赫）2 a1 4 G6 I- U$ R, F/ d1 0 y7 Y( X# b5 3 D毋庸置疑，Lefschetz（莱夫谢茨）和Wiener（维纳）都是这种可以从相似之间看到相似的数学家。不过他们的讲课技巧实在是不能让人恭维。3 2 N% h# d; E9 gRota（罗塔）曾讲了一个Lefschetz的故事，关于他的课是如何难懂，因为他经常语无伦次。这是几何课的开场白：“一个Riemann（黎曼）曲面是一定形式的Hausdroff（豪斯多夫）空间。你们知道Hausdroff空间是什么吧？它也是紧的，好了。我猜想它也是一个流形。你们当然知道流形是什么。现在让我给你们讲一个不那么平凡的定理Riemann-Roch（罗赫）定理。”要知道第一节Riemann曲面的课如果这样进行的话，恐怕Riemann复生也未必可以听懂。+ p G1 p! t; C4 M( QWiener尽管是个天才，却是那种不善于讲课的那种，总是以为把真正深刻的数学讲出来一定要写一大堆积分符号。有一个关于他和中文的事情，Wiener 天真的认为自己懂一种汉语，一次在中国餐馆，他终于有了施展的机会，但是服务员却根本不知道他讲的是汉语。最后，Wiener不得不评论：“他必须离开这里，他不会说北京话。”V( a# 百思论坛数学与物理/forum-430-1.html数学分支的细化与深入：本科阶段：连续与离散的关系？无穷与有限的关系？一个闭形式何时才是恰当形式？在同伦于点的区域（单连通区域）有Poicare引理之逆告诉我们这个自动成立。在非单连通区域有著名的deRham定理告诉我们如何成立，那就是微分形式在所有闭链上的积分为零。代数拓扑学中研究与连续映射的连续形变有关的各种课题是同伦论（homotopy theory），庞加莱已经提出了基本群的概念，后来切赫和胡雷维奇先后提出同伦群的观念。？空间X的n维同伦群是n维球面Sn到空间X的连续映射按同伦关系进行分类而得的同伦类集合（？用到了连续映射同伦的概念）20世纪20年代德国数学家霍普夫（Huopufu，1894.11.19-1971.6.3）探讨了球面同伦理论。1935-1936年，波兰数学家胡雷维奇（W.Hurewicz，1904-1957）引进拓扑空间的n维同伦群，建立群的同伦理论。Hurewicz建立了同伦群理论,推广了非不变测度空间上的伯克霍夫遍历定理。1936年，另一位波兰数学家博苏克于定义了从拓扑空间到n维球面的映射类的和，由此得到博苏克上同伦群。20世纪40年代原苏联数学家庞特里亚金给出从（n十k）维球到n维球的映射同伦分类，被称为庞特里亚金类。20世纪50年代初，法国数学家塞尔提出了研究同伦群的新方法，利用纤维化的谱序列，取得了球面同伦群计算的突破性进展。1956年，美籍匈牙利裔数学家拉乌尔博特（Raoul Bott，1923.9.24生于匈牙利布达佩斯-2005.12.20，2000年荣获沃尔夫数学奖，又译作鲍特）对于李群的稳定同伦群得出周期性定理，这一结果是K理论的重要组成部分。 拉乌尔博特（Raoul Bott，1923.9.24-2005.12.20，2000年荣获沃尔夫数学奖）用莫尔斯理论得出典型群同伦群的周期性定理博特周期性定理（1956），成为K理论的一个来源。？开始是用莫尔斯理论证明的，后来又出现了K理论的证明。博特周期性定理描述了酉群的同伦群和正交群同伦群的周期性。 简单的讲：k(U)=k+2(U)k(O)=k+4(Sp)k(Sp)=k+4(O),k=0,1,注意第2和第3个等式蕴涵了正交群的同伦群具有周期8。20世纪50年代末英国数学家JF亚当斯提出新的谱序列，成为研究同伦论的重要工具。？同伦群包括着拓扑空间的丰富信息，但是，它是极为难计算的群。若其中有一个洞，那么，所有道路可按绕该洞的圈数多少划分，0圈一类、1圈一类、等等。因此，？该空间同伦群同构于整数群Z基本群定义来源于同伦的概念，同伦是什么啊？他描述的是一几何对象（这里用曲线举例，可以推广到高维的）能连续的从一种形状变化为另一种形状的特性。同伦概念的直观解释就是连续变形，以此为基础定义的基本群被称为同伦群。我们把能这样变化的曲线看成一个类，叫道路类，取个基点再封闭起来，（就是一条蛇咬到尾巴的样子）叫闭路类，基本群就born了。这是一个重要的拓扑不变量（？更是同伦不变量），可牛啦维数可以任意大，就是不太好算。同伦是抽象的拓扑概念，最常见的是道路同伦。先给一个拓扑空间X，从一点出发画两个封闭路径，若两个圈（loop）可以连续的互相变形，就说它们道路同伦。所有道路同伦的路径构成一个等价类，称为同伦类，一般取其中一条路径做代表即可。很显然，同伦是一种等价关系，所有不等价类构成一个群，称为第一同伦群（基本群）。在拓扑中基本群是很重要的，因为他是很有力的拓扑不变量（？更是同伦不变量）。但是基本群对于伦型却束手无策（？存在具有相同基本群但不同伦的两个拓扑空间），这就需要定义更进一步的拓扑不变量，即同调群。这样我们就可以很好的找寻空间的拓扑性质。/两个连续映射同伦设 X 和 Y 是拓扑空间，f、g: XY 是连续映射，I=0,1。如果存在连续映射 H: X x I Y，使得对所有的 x 属于 X，H(x,0)=f(x), H(x,1)=g(x)，则称 f 和 g 是同伦的映射。H 称为连接 f 和 g 的一个同伦。 实直线R不同胚于平面R2，？因为从R2挖去一点之后，剩下的空间还是连通的，但从直线R挖去一点之后剩下的空间就不是连通的。R可用一个单点分割，而Rn（n1）不能。对于拓扑空间来说，我们将抛弃度量空间中球形邻域的概念，而直接将开集作为邻域（？不一定连通）。拓扑空间X的任一开集U叫做它的每一点xU的邻域，也叫做它的子集A（真包含于U）的邻域。没有不能弯曲的元素，大小、形状都可以改变（形变）空间之间的同伦等价比同胚更弱，微分同胚比同胚更强。两个同胚的空间一定同伦等价，反之不真。（两个拓扑空间的关系：同胚，同伦不同胚，不同伦，局部同胚，）同胚的空间是X与Y是指X与Y之间存在双向连续的（即互逆且连续）对应。拓扑变换的对应1-1的、双向连续的。使不同的点重合违背了条件1，划破橡皮片违背了条件2橡皮泥X在不允许隔断的情况下可以捏成Y。曲面局部同胚于平面。如果能找到某一个拓扑性质为一个拓扑空间所具有而不为另一个空间所具有，那么这两个空间一定不同胚。球面与平面不同胚。局部同胚于欧氏空间Rn的拓扑空间X称为一个n维流形，X必须且只须有一个n维坐标集（一册世界地图），？一块块Rn的粘合（通过参数/坐标变换），且粘合是光滑的（变换可微）。？内蕴定义的Cr微分流形是否一定可以在某个欧氏空间中“实现”为子流形同调群概念的理解？同调的概念太复杂了。我查了一下代数拓扑的教材，发现不是一两句话可以说清的。同调不太好解释，由于高维同伦群很难计算，所以取代为同调类（比之前者含信息少）。粗略的看，两个流形本身没有边界（如圆），但却是一个更高维流形的边界，则两个流形同调。它的对偶运算是所谓上同调，规范场中的示性类正是一种特殊的上同调。想像一截钢管，两个口子是圆，所以本身没有边界，但是，它们同时是钢管柱面的边界，因此属于同一同调类。给一个高维几何对象，上面有多少洞洞呀？你说：数数呗！废话！我还不知道数？但有的图形你根本就无法想象，怎么数？这时，出现一群，曰同调群，可量洞数。同调群的基本研究对象是单形，例如三角形。然后用线性映射穿起来作成（项）链，然后给出他们的边缘链，还拿三角形来说，就是他的边串起来，在边缘映射之下，取映射的ker（？ker与同态基本定理有关）与象，作商集，就ok啦。同调代数是研究同调论引出的。在同调代数里有一个最重要的函子叫同调函子，同调函子是利用同调论中同调群的构做方式引出的。三维流形的分类问题：何谓分类？分类落实在曲面之间的拓扑变换关系？已经找到2维流形的清晰分类：任何一个闭2维曲面，都可以由3种基本曲面（2维球面，欧氏平面，双曲盘面）通过离散群作用求商集得到。光绪三十年（1904）Schur建立无限群表示。法国数学家亨利庞加莱（Jules Henri Poincar，1854.4.29-1912.7.17）给出了庞加莱猜想：任一單連通的、封閉的三維流形與三維球面同胚。2002-2006年由俄罗斯数学家格里戈里雅柯夫列維奇佩雷爾曼（1966.6.13-）证明。按：二维情形是：二维球面本质上可由单连通性来刻画；1961-1983年，高维庞加莱猜想（n4，任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面）获证。如果一个3维闭流形与3维球面同调，那么它必定与之同胚吗？不一定，Poincar找到一个反例SO(3)/I_60，于是再问：如果一个3维闭流形具有平凡基本群，那么它是否一定与3维球面同胚？（1）定向的向量空间（V,）是在n维向量空间V上指定了定向；（2）Rn的子拓扑空间Hn=x|x=(x1,x2,xn)Rn,xn0是半空间；Hn的边界是集合=x|x=(x1,x2,xn)Rn,xn=0，其中的点称为Hn的边界点；显然映射：Hn的边界R（n-1），（x1,xn-1,0）|（x1,xn-1）是同胚映射（把Hn的边界看做是Hn的子拓扑空间）（3）设M是具有可数基的T2拓扑空间（豪斯多夫空间），u真包含于M是开集，：u（u）（u）真包含于Hn的边界）是同胚映射，则称（u，）是M上的一个局部坐标系。（4）对于球面S这样的几何对象（弯曲空间），如果在某点pS的邻近U能引入局部坐标：UR2，那么对于函数f：SR自然可以讨论复合函数fo-1:(u)R在p点邻近的可微性。（5）在点p附近引入不同的局部坐标：UR2，：VR2，函数f：SR在p点邻近也就有两种不同的局部表示fo-1:(u)R，fo-1:(v)R，两种局部坐标对于讨论函数f：SR的可微性是协调一致的或者说是相容的。？利用欧氏空间中一元点函/算子的可微性讨论流形中一元点函的可微性要求o-1:(UV)(UV)和o-1:(UV)(UV)都是连续可微的如果能找到一族局部坐标，其定义域覆盖了整个球面S，并且两两在其定义域交叠的部分上是相容的，那么就可以无歧异地讨论函数f：SR的可微性了。（6）（U，）称为是M的一个chart，U称为chart的定义域，如果U是M的一个开集，是从U到Rm中的开集(U)的同胚映射。？两个图卡（U，）和（V，）被称为是Cr(r阶连续可微)相容的，如果UV=或者UV0且坐标变换o-1:(UV)(UV)和o-1:(UV)(UV)都是Cr映射。？M的一族图卡|D=（U，）被称为是一个Cr(r阶连续可微)图汇（atlas），如果（）|D中各图卡的定义域覆盖了M；（）|D中任意两个图卡都Cr(r阶连续可微)相容；M的一个Cr图汇|D=（U，）被称为是极大的，如果它还满足（）与|D中各图卡Cr(r阶连续可微)相容的任何图卡（V，）都属于|D。M的一个极大Cr图汇|D=（U，）被称为是M上的一个Cr结构。M连同一个给定的Cr结构被称为是一个Cr流形。r1情形的Cr流形统称为微分流形。C流形又称为光滑流形。（7）所谓拓扑空间X，或X上的一个拓扑（开集族），指的实际上是集合上附加的一种结构；拓扑结构（子集族）中的元素（给定集合的子集）称为开集；豪斯多夫空间/view/2127198.htm?fr=ala0Rn、（a,b）是T2空间所有度量空间都是豪斯多夫空间。豪斯多夫空间、分离空间或T2 空间是其中的点都“由邻域分离”的拓扑空间。费利克斯豪斯多夫 （Felix Hausdorff，1868.11.8-1942.1.26）最初的拓扑空间定义把豪斯多夫条件包括为公理。 假设 X 是拓扑空。设 x 和 y 是 X 中的点。我们称 x 和 y 可以“由邻域分离”，如果存在 x 的邻域 U 和 y 的领域 V 使得 U 和 V 是不相交的 (U V = )。X 是豪斯多夫空间如果任何两个X 的独特的点可以由邻域分离。这是豪斯多夫空间也叫做 T2 空间和分离空间的原因。（8） ？任意一个群都可以看作是一个离散的拓扑群拓扑群是群与拓扑空间的结合，群的运算与拓扑空间的结构相容。相容条件：映射（x,y）xy和：xx-1都是连续的，？称为G的逆射，是满映射，是拓扑群G上的同胚。李群是拓扑群的强化，是群与微分流形的结合。相容条件：映射（x,y）xy是GGG的Cr映射，在李群G上，逆射：xx-1，xG是G上的微分同胚。（9）李群的线性