VAR-向量自回归模型.pdf

组员 王艺 李平飞 杨亚飞 向量自回归模型 1 2 目录目录 1 VAR模型及特点 2 变量平稳性检验 3 VAR模型中滞后阶数p的确定方法 4 变量间协整关系检验 5 模型稳定性检验 6 格兰杰因果关系检验 7 脉冲响应与方差分解 8 VECM模型 9 VAR模型总结 3 向量自回归模型 经典计量经济学中 由线性方程构成的联立方程组模型 由科普曼斯 poOKmans1950 和霍德 科普曼斯 Hood poOKmans1953 提出 联立方程组模型在20世纪五 六十年 代曾轰动一时 其优点主要在于对每个方程的残差和解释变 量的有关问题给予了充分考虑 提出了工具变量法 两阶段 最小二乘法 三阶段最小二乘法 有限信息极大似然法和完 全信息极大似然法等参数的估计方法 这种建模方法用于研 究复杂的宏观经济问题 有时多达万余个内生变量 当时主 要用于预测和政策分析 但实际中 这种模型的效果并不令 人满意 4 向量自回归模型 传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变量关 系的模型 但是 经济理论通常并不足以对变量之间的动态 联系提供一个严密的说明 由于内生 外生变量的划分问题 较为复 其次当模型不可识别时 为达到可识别的目的 常要 将不同的工具变量加到各方程中 通常这种工具变量的解释 能力很弱 另外当变量是非平稳的时候 则会违反假设 带 来更严重的伪回归问题 为了解决这些问题而出现了一种用 非结构性方法来建立各个变量之间关系的模型 5 向量自回归 VAR 是基于数据的统计性质建立模型 VAR模 型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后 值的函数来构造模型 从而将单变量自回归模型推广到由多 元时间序列变量组成的 向量 自回归模型 VAR模型是处理 多个相关经济指标的分析与预测最容易操作的模型之一 并 且在一定的条件下 多元MA和ARMA模型也可转化成VAR模型 向量自回归理论向量自回归理论 6 VAR p 模型的数学表达式 其中 Yt 是N 1阶时间序列列向量 c是N 1阶常数项列 向量 均为N N阶参数矩阵 ut是N 1随 机误差列向量 其中每个元素都是非自相关的 但是这些 元素 即不同方程对应的随机误差项之间可能存在自相关 VAR模型的表示模型的表示 t1122ttk t kt YcYYYu 1 k 7 11 11 1 21 22 2 j 1 2 jjN j jjN j NjNjNN j 1 ttNt Yyy 1 N ccc 1 ttNt uuu 8 121111112211212 121122122122222 tttt tttt yyyu xxxu 11111121211221221 12111221221222222 tttttt tttttt yyxyxu xyxyxu 显然 方程组左侧是两个第t期内生变量 右侧分 别是两个1阶和两个2阶滞后应变量做为解释变量 且各 方程最大滞后阶数相同 都是2 这些滞后变量与随机误 差项不相关 假设要求 以两个变量 滞后两期的VAR模型为例方程组 9 1 VAR模型不以严格的经济理论为依据 在建模过 程中只需明确两件事 第一 确定具有相关关系的变量 并把它们都纳入VAR模型中 第二 滞后阶数p的确定 保证残差刚好不存在自相关 2 VAR模型对参数不施加零约束它对无显著性的参 数估计值并不从模型中剔除 也不分析回归参数的意义 3 VAR模型的解释变量中不含当期变量 所有与联 立方程组模型有关的问题在VAR中均不存在 VAR模型的特点模型的特点 10 4 VAR模型需估计的参数较多 如VAR模型含3个变 量 N 3 最大滞后期为K 2 则有 KN2 2 9 18个参数需 要估计 5 当样本容量较小时 多数参数估计的精度较差 故需大样本 一般n 50 6 无约束VAR模型的应用之一是预测 7 用VAR模型做样本外近期预测非常准确 做样本 外长期预测时 则只能预测出变动的趋势 而对短期波动 预测不理想 VAR模型的特点模型的特点 11 这种方程模型主要用于分析联合内生变量间的动态关 系 联合是指研究N个变量间的相互影响关系 动态是指p 期滞后 故称VAR模型是分析联合内生变量间的动态关系 的动态模型 而不带有任何约束条件 故又称为无约束 VAR模型 建VAR模型的目的 1 预测 2 脉冲响应分析和方差分解 用于变量间的动态结 构分析 12 变量平稳性检验变量平稳性检验 在对数据建立VAR模型前我们需要对数据的平稳性 进行检验 如果不平稳直接OLS容易导致为回归 当检验的数据是平稳的 我们可以建立平稳的VAR模型 并且可以进一步考查变量之间的因果关联系 此时可以采用 格兰杰因果检验 当数据是非平稳的 并且各个序列是同阶单整 则可以 进一步确定变量之间是否存在协整关系 可以利用EG两步法 和Johanson协整检验 1 EG两步法是基于回归残差的检验 2 Johanson协整检验是基于回归系数的检验 13 变量平稳性检验变量平稳性检验 1 检验平稳性 若平稳 做格兰杰检验 不平稳 做协整检验 平稳性检验的目的平稳性检验的目的 2 协整检验中要用到每个序列的单整阶数 3 判断时间序列数据生成过程 14 VARVAR模型中滞后阶数模型中滞后阶数p p的确定方法的确定方法 建立VAR模型的一个非常重要的一个问题就是滞后 阶数p的确定 在VAR模型中解释变量的最大滞后阶数p 太小 残差可能存在自相关 并导致参数估计的非一 致性 适当加大p值 即增加滞后变量个数 可消除 残差中存在的自相关 但p值又不能太大 p值过大 待估参数多 自由度降低严重 直接影响模型参数估计 的有效性 这里介绍两种常用的确定p值的方法 15 VAR模型滞后期模型滞后期k的选择方法 的选择方法 1 用似然比统计量 用似然比统计量LR选择选择p值值 其中log L k 和log L k 1 分别是VAR k 和VAR k 1 模型的极大似然估 计值 k表示VAR模型中滞后变量的最大滞后期 LR统计量近似服从卡方分布 2 用赤池信息准则 用赤池信息准则 AIC 很多情况下 似然比检验所要求的随机误差项正态分布的条件在时间序列数据中 并不能够得到满足 因此我们需要选择其他方法来确定滞后期数 2 2 log log 1 LRL kL kN 2 1 2 log T t t k AIC TT 16 3 施瓦茨 施瓦茨 SC 准则确定 准则确定p值值 SC准则也是判断滞后期是否合适的一种统计量 SC与AIC准则一样 选 择最佳k值得原理是在增加k值得过程中使SC值达到最小 4 贝叶斯 贝叶斯 Bayes 信息准则 信息准则 BIC BIC准则也是判断滞后期是否合适的一种统计量 BIC同SC AIC准则一样 选择最佳k值得原理是在增加k值得过程中使SC值达到最小 2 1 logln T t t k BICT TT 2 1 log log T t t kT SC TT 当当AICAIC与与SCSC等对应的最小值不同时 选着对应滞后阶数最小的 等对应的最小值不同时 选着对应滞后阶数最小的 17 变量间协整关系检验 Johanson协整检验协整检验 Jonhamson 1995 协整检验是基于VAR模型的一种检验 方法 但也可直接用于多变量间的协整检验 其目的是考 察变量之间的长期均衡关系 Johanson协整检验基本思想协整检验基本思想 t 1 YI 假定 此假定具有一般性 通过重新调整和变 换参数 模型可以表达为 t11221 1 ttktkt kt YYYYYu t1122ttk t kt YcYYYu 18 1jj I 1k I 其中 j 1 k 1 t11221 1 ttktkt kt YYYYYu 上述模型中 除 之外 所有项都是平稳的 若 是非平稳 则Yt 的分量之间不存在协整关系 反之则存在 协整关系 可见 压缩矩阵 决定VAR模型中的变量是否 存在以及多大范围内存在协整关系 t k Y t k Y 19 接下来我们讨论 的秩的三种不同情况 1 当r N 只有Yt的各分量都是I 0 时 才能保 证 是由I 0 变量构成的向量 这与假定的I 1 矛盾 2 当r 0 则 0 此时就不需要讨论Yt 之间是 否存在协整关系 3 当0 r N的情形 此时意味着存在r个协整组合 其余n r个关系依然为I 1 此时 可以分解成N r阶矩阵 和 他们秩均为r 使得 并且 是平稳的 t k Y t k Y 20 1 1 1 k ttit jt i yYYu 将 和 带入 t11221 1 ttktkt kt YYYYYu 可得到如下方程 111 1 r NNr aa aa 111 1 r NNr 称为协整参数矩阵 其每一列均称为协整向量 反映 了Yt各分量之间的长期均衡关系 称为调整系数矩阵 它反映了本期变量对上期均衡的短期调整 21 Johanson协整检验的两种方法协整检验的两种方法 一 特征根迹检验 一 特征根迹检验 Trace 由r个最大特征根可以得到r个协整向量 而对于其余k r 个非协整组合来说其对应特征根应该为0 于是可以的到 原假设与备择假设 构造的统计检验量为 01 11 0 0 rr rr H H 1 ln 1 0 1 1 k ri ir Trk 0 1 1rk 22 构造的称为特征根迹统计量 依次依次检验这一系列统 计量的显著性 r 1 当 不显著时 表明N个单位根 0个协整向量 当 显著时 则至少有一个协整向量 必须接受 的 检验 2 当 不显著时 表明只有一个协整向量 当 拒 绝时至少有两个协整向量 依次进行下去直到接受 说明存在r个协整变量 1 0 0 1 1 0r H 临界值 表明至少有2个协整向量 临界值 表明只有r个协整向量 1 1 r 23 二 最大特征值检验 二 最大特征值检验 Trace 对于Johanson协整检验 另外一个类似的检验方法是 01 11 0 0 rr rr H H 0 1 1rk 检验统计量基于最大特征值 其形式为 1 ln 1 0 1 1 rr Trk 检验从下往上进行 首先检验 依次进行下去 直 到接受 说明存在r个协整变量 0 0r H 24 原假设 特征值 迹统计量 p值 最大特征值统计量 p值 0个协整向 量 0 68 110 27 0 0000 50 63 0 0002 至少一个协 整向量 0 55 59 64 0 0027 35 86 0 0035 至少二个协 整向量 0 26 23 76 0 2100 13 82 0 3796 至少三个协 整向量 0 20 9 97 0 2840 9 80 0 5251 某一序列协整检验的结果 25 约翰森协整检验与约翰森协整检验与EG协整检验的比较协整检验的比较 1 约翰森协整检验不必划分内生 外生变量 而 基于单一方程的EG协整检验则须进行内生 外生变量 的划分 2 约翰森协整检验可给出全部协整关系 而EG 则不能 3 约翰森协整检验的功效更稳定 故约翰森协 整检验优于EG检验 26 模型稳定性检验模型稳定性检验 对于VAR模型来说 稳定性是指当把一个脉冲冲击施加 在VAR模型中某一方程的新息过程上时 随着时间的推移 分析这个冲击过程是否会消失 如果消失 那么说明系统 是稳定的 否则 系统不稳定 只有稳定的VAR模型才不会 由于受到冲击而长久的改变自己 而含有单位根的VAR模型 是非平稳过程 故我们通常通过AR根的图表来验证VAR模型的平稳性 AR 根的图表验证目的 根的图表验证目的 1 考察模型稳定性 2 协整阶数是否正确 3 做脉冲函数和方差分解的前提 27 AR 根检验的模型构造 t1122 1 2 ttk t kt YAYAYAYu tT 2 12 k k LALA LA L 对于中心化的k阶VAR模 令 则VAR模型平稳的条 件为特征方程 的根均在单位元内 0LI 28 2 如果被估计的VAR模型不是所有根模的倒数小于1 即并非都位于单位圆内 则其是不稳定的 则考虑对 模型进行降阶处理 ARAR检验结果识别检验结果识别 1 如果被估计的VAR模型所有根模的倒数小于1 即 位于单位圆内 则其是稳定的 可以进行脉冲响应函 数以及方差分解 29 格兰杰因果关系检验 克莱夫 格兰杰 Clive Granger 1969 和西姆斯 C A Sims 1972 分别提出了含义相同的定义 故除使用 格兰杰非因果性 的概念外 也使用 格兰杰因果性 的概念 其定义为 则称 不是由 Granger引起的 111 ttttt f yyxf yy 1t x t y 格兰杰检验要求数据是平稳的 为什么 30 格兰杰因果关系检验格兰杰因果关系检验 Granger因果关系检验的实质上是检验一个变量的滞后变量 是否可以引入到其他变量方程中 我们可以表示 与 间格兰杰因果关系回归检验式 t x t y 1 11 2 11 p titiitit ii pp titiitit ii yyxu xxyu p 检验 对 存在格兰杰非因果性的零假设是 t x t y 012 0 p H 31 01 1 21 21 RSSRSSp FF p Tp RSSTp 构造的检验统计量为 其统计量服从F分布 如果F大于临界值 则拒绝原假设 否则不拒绝原假设 不能Granger引起 t x t y 2 11 1 T t t RSS 2 01 1 T t t RSS RSS1是含有 时的残差平方和 t x RSS0是含不含有 时的残差平方和 t x 32 脉冲响应与方差分解 脉冲响应函数脉冲响应函数 对VAR模型而言 单个参数估计值的经济解释是困难的 其应用除预测外 最重要的应用是脉冲响应分析和方差 分解 脉冲响应函数描述的是一个内生变量对残差冲击 的反应 响应 具体而言 它描述的是在随机误差项上 施加一个标准差大小的冲击 来自系统内部或外部 后 对内生变量的当期值和未来值所产生的影响 动态影 响 这种分析方法称为脉冲响应函数 33 为浅显说明脉冲响应的基本原理 说明残差是如何将 冲击传递给内生变量的 以含两个内生变量的VAR 2 模 型为例予以说明 设两变量VAR 2 模型 112211221 112211222 tttttt tttttt xa xa xb zb z zc xc xd zd z 其中模型满足E E 0 E 0 假设上述系统 从0期开始 且设 又设第0期给定 了扰动项 并且其后均为0 称此为第0期 给x以以脉冲 则有 1 t2 t 12 tt 1212 0 xxzz 1020 1 0 t 0时 x0 1 z0 0 t 1时 x1 a1 z1 c1 t 2时 x2 a12 a2 b1c1 z2 c1a1 c2 d1c1 34 继续这样计算下去 可以求得 称为由x的 脉冲引起的x的响应函数 同理可以求得 称为由 x的脉冲引起的z的响应变量函数 当然 我们也可以反向构造 出发 可以求 出由z的脉冲引起的x的响应函数和z的响应函数 012 x x x 012 z z z 1020 0 1 35 多变量多变量VAR模型的脉冲响应变量函数模型的脉冲响应变量函数 将上述二元变量推广到多元变量VAR p 的模型上去 1 1 P tkpt yILL 1 P kpt ILL VMA 可以按照下面的表达式给出 11 PP kpkpk ILLILLI 2 12 kk IK LK LI 式中 K1 K2 K3 0 36 关于Kq的条件递归定义了VMA系数 11 2112 1122 qqqpqp 接下来我们考虑VMA 的表达式 2 12 1 2 tkt yILLtT yt的第i 个变量yit可以写成 0 1 2 12 1 1 2 k itijjtijjtijjtt j ytT 37 0 0 1 1 1111 11121112 0 0 1 1 1222 21222122 ttt ttt y y 仅考虑两变量的情形 现在假定给基期一个单位脉冲 1 1 0 0 0 t t t 则由y1的脉冲引起的y2的响应函数为 0 1 20212121 0 1 tyty 由此可以得出 由yj的脉冲引起的yi的响应函数为 0 1 2 ijijij 则由yj的脉冲引起的yi的累积响应函数为 0 q ij q 38 方差分解 脉冲响应函数描述的是VAR模型中的一个内生变量的冲 击给其他内生变量所带来的影响 而方差分解是通过分 析每一个冲击对内生变量变化的贡献度 进一步评价不 同结构冲击的重要性 一 方差分解思想 Sims于1980年依据VMA 表示 提出了方差分解的 方法 其思路如下 根据脉冲响应函数 0 1 2 12 1 1 2 k itijjtijjtijjtt j ytT 并且假定 序列无相关 则 j 39 2 0 1 2 1 0 q ijjtijjtijjj q E 接下来我们继续假定扰动向量的协方差阵是对角阵 则yi 的方差是上述方差的k项简单和 2 10 var 1 2 k q iijjj jq yik yi 的方差可以分解成k种不相关的影响 因此为了测定各 个扰动项相对yi 的方