第三章测度论.doc

安庆师范学院数学与计算科学学院实变函数电子教案第三章 测 度 论（总授课时数 14学时）教学目的 引进外测度定义，研究其性质，由此过渡到可测集本章要点 要引导学生注意外测度与测度之间的重要差别 ，测度概念抽象，要与具体点集诸如面积体积等概念进行比较. 1、外测度 教学目的1、掌握外测度的定义及其基本性质. 2、理解区间及有理点集的外测度及其证明方法.本节要点 外测度的定义及其基本性质.本节难点 外测度的定义.授课时数 4学时一、引言(1) Riemann积分回顾（分割定义域），积分与分割、介点集的取法无关。几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。（2）新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）记，则 问题：如何把长度,面积,体积概念推广?达布上和与下和上积分（外包）（达布上和的极限）下积分（内填）达布下和的极限二、Lebesgue外测度(外包)1定义：设 ，称非负广义实数为开区间为的Lebesgue外测度。下确界：（1）是数集的下界，即，（2）是数集的最大下界，即使得为开区间开区间列使得且即：用一开区间列“近似”替换集合例1 设是中的全体有理数，试证明的外测度为0. 证明：由于为可数集，故不妨令作开区间则且，从而 ，再由的任意性知思考：. 设是平面上的有理点全体，则的外测度为0提示：找一列包含有理点集的开区间2.平面上的轴的外测度为0提示：找一列包含轴的开区间3. 对Lebesgue外测度，我们用可数个开区间覆盖中的有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖（除可数个点外）.注：对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列（如Cantor集的余集的构成区间）2Lebesgue外测度的性质（1）非负性：，当为空集时，（2）单调性：若则证明:能覆盖的开区间列也一定能覆盖，从而能覆盖的开区间列比能覆盖的开区间列要少，相应的下确界反而大。（3）次可数可加性证明：对任意的,由外测度的定义知，对每个都有一列开区间（即用一开区间列近似替换）使得且从而，且可见由的任意性，即得注：（1）一般证明都是从大的一边开始，因为外测度的定义用的是下确界（2）外测度的次可数可加性的等号即使不交也可能不成立（反例要用不可测集），但有:若则当区间的直径很小时候，区间不可能同时含有，中的点从而把区间列分成两部分，一部分含有中的点，一部分含有中的点.例2 对任意区间，有.思考：书本中的证明用有限开覆盖定理的目的何在？此例说明Lebesgue外测度某种程度是区间长度概念的推广例3 Cantor集的外测度为0.证明：令第次等分后留下的闭区间为从而注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集.作业：P75 1, 2练习题1 如果将外测度的定义改为“有界集的外测度是包含的闭集的测度的下确界.”是否合理？2 设，问在什么条件下有3 对于有界集，是否必有？4设是直线上的一有界集，则对任意小于的正数，恒有子集，使2 可测集合教学目的1、深刻理解可测集的定义，学会用Caratheodory条件验证集合的可测性. 2、掌握并能运用可测集的性质.本节要点 学会用Caratheodory条件验证集合的可测性.本节难点 用Caratheodory条件验证集合的可测性.授课时数 4学时Lebesgue外测度(外包)且为开区间开区间列使得且即：用一开区间列“近似”替换集合次可数可加性(即使两两不交) 一、可测集的定义若有（Caratheodory条件），则称为Lebesgue可测集，此时的外测度称为的测度，记作.注：Lebesgue开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集，但此方法对处理问题很不方便，故我们采用上述方法.例1：零集必为可测集证明：，有 从而即为可测集。二、Lebesgue可测集的性质（1）集合可测（即 证明：(充分性），(必要性)令（2）若 可测，则下述集合也可测即可测集类关于差，余，有限交和可数交，有限并和可数并，以及极限运算封闭；若则，有注:上式由前面可测集的等价刻画立刻可得若两两不交，则（测度的可数可加性）若可测，则有可减性证明：由可测集的定义：有易知可测若可测已证明，则易知，也可测。若当为两两不交时，可测已证明，则通过令可把一般情形转化为两两不交的情形，通过取余即可证明下面证明若可测，则可测证明：，有 （可测）（可测）从而下面证明若两两不交，则证明：有从而 （*）另外显然有 从而可测，并用代入（*）式，即得结论例2：设中可测集满足条件，则必有正测度。证明：单调可测集列的性质(1) 若是递增的可测集列，则(2) 若 是递减的可测集列且，注：（1）左边的极限是集列极限，而右边的极限是数列极限，(2)中的条件不可少，如注：（2）若是递减集列，若是递增集列， 若可测，则作业：P75 5, 6 练习题1 设，能否断定可测？能否断定的任一子集可测？ 2 设是可测集列，且，则3 证明：任意点集的外测度等于包含它的开集的测度的下确界，即4 设是的子集，可测，证明等式3 可测集类教学目的1、熟悉并掌握用开集、闭集、型集、型集刻画可测集的几个定理，弄清可测集类和Borel集类之间的关系. 2、了解一些集合可测的充要条件.本节要点 可测集类和Borel集类之间的关系.本节难点 可测集类和Borel集类之间的关系.授课时数 4学时一、可测集例1 区间是可测集，且注：（1）零集、区间、开集、闭集、型集（可数个开集的交）、型集（可数个闭集的并）.Borel型集（粗略说：从开集出发通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。（2）开集、闭集既是型集也是型集； 有理数集是型集，但不是型集；无理数集是型集，但不是型集。有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集；通过取余型集与型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）二、 可测集与开集、闭集的关系（1）若可测，则，存在开集，使得且即：可测集与开集、闭集只相差一小测度集（可测集“差不多”就是开集或闭集），从而可测集基本上是至多可数个开区间的并。（2）若可测，则，存在闭集，使得且证明：（1）当时，由外测度定义知存在开区间列，使得且令则为开集，且从而（这里用到 ）(2)当时，这时将分解成可数个互不相交的可测集对每个应用上述结果，存在开集，使得且令，则为开集，且 若(1)已证明，由可测可知，存在开集，使得且.取，则为闭集例2 设若开集，使得且，则是可测集.证明：对任意的， （开集），使得且令，则是型集且故从而为可测集.例3：设为0,1中的有理数全体， 试各写出一个与只相差一小测度集的开集和闭集。开集：闭集：空集.例4：设为中的无理数全体，试各写出一个与只相差一小测度集的开集和闭集。开集: 闭集：三、 可测集与集和集的关系(1).若可测，则存在型集, 使且可测集可由型集去掉一零集，或型集添上一零集得到。(2).若可测，则存在型集, 使证明：若(1)已证明，由可测可知 型集，使得且取，则为型集 ，且(1).若可测，则存在型集, 使证明：对任意的，存在开集，使得且令，则为型集，且故例5：设为0,1中的有理数全体， 试各写出一个与只相差一零测度集的型集或型集。型集：型集：空集注：上面的交与并不可交换次序.例6：设为中的无理数全体，试各写出一个与只相差一零测度集的型集或型集。类似可证：若则存在型集使得且（称为的等测包）证明: 由外测度定义知，使得且令则为开集，且令，则为型集，且 作业：P75 8, 9, 11练习题1设是的子集，证明不等式2 试证有界集可测的充要条件是，存在开集及闭集，使得.3 证明可