高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理（二）课件 新人教A版必修5.ppt

第一章 1 1正弦定理和余弦定理 1 1 2余弦定理 二 1 熟练掌握余弦定理及其变形形式 能用余弦定理解三角形 2 能应用余弦定理判断三角形形状 3 能利用正弦 余弦定理解决解三角形的有关问题 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 知识点一余弦定理及其推论1 a2 b2 c2 2 cosa cosb cosc 3 在 abc中 c2 a2 b2 c为 c2 a2 b2 c为钝角 c2 a2 b2 c为 答案 b2 c2 2bccosa c2 a2 2cacosb a2 b2 2abcosc 直角 锐角 知识点二正弦 余弦定理解决的问题思考以下问题不能用余弦定理求解的是 1 已知两边和其中一边的对角 解三角形 2 已知两角和一边 解三角形 3 已知一个三角形的两条边及其夹角 解三角形 4 已知一个三角形的三条边 解三角形 答案 2 返回 题型探究重点突破 题型一利用余弦定理判断三角形的形状 解析答案 反思与感悟 a 直角三角形b 等腰三角形或直角三角形c 等腰直角三角形d 正三角形 解析方法一在 abc中 由已知得 化简得c2 a2 b2 故 abc为直角三角形 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 cosbsinc sina sin b c sinbcosc cosbsinc sinbcosc 0 b 0 sinb 0 cosc 0 又 c 0 c 即 abc为直角三角形 答案a 一般地 如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式 要考虑用余弦定理 反之 若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式 则大多用正弦定理 若是以上特征不明显 则要考虑两个定理都有可能用 反思与感悟 跟踪训练1在 abc中 b 60 b2 ac 则三角形一定是 a 直角三角形b 等边三角形c 等腰直角三角形d 钝角三角形 解析答案 b a2 c2 2ac 0 即 a c 2 0 a c 又 b 60 abc是等边三角形 题型二正弦 余弦定理的综合应用 解析答案 解析答案 反思与感悟 1 余弦定理和正弦定理一样 都是围绕着三角形进行边角互换的 在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理 还是余弦定理 必要时也可列方程 组 求解 同时 要有意识地考虑用哪个定理更合适 或是两个定理都要用 要抓住能利用某个定理的信息 2 解题时 还应注意 当把条件转化为角之间的关系时 还应注意三角恒等变换公式的应用 反思与感悟 解析答案 1 求角b 解析答案 2 若b 3 sinc 2sina 求a c的值 解由sinc 2sina及正弦定理得 c 2a 题型三利用正弦 余弦定理证明边角恒等式 解析答案 反思与感悟 证明在 abc中 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosa b2 a2 c2 2accosb a2 b2 b2 a2 2bccosa 2accosb 2 a2 b2 2accosb 2bccosa 即a2 b2 accosb bccosa 故等式成立 反思与感悟 1 证明三角恒等式 关键是消除等号两端三角函数式的差异 形式上一般有 左 右 右 左或左 中 右三种 2 利用正弦 余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种 一是把角的关系通过正弦 余弦定理转化为边的关系 二是把边的关系转化为角的关系 反思与感悟 解析答案 解由题a 1 cosc c 1 cosa 3b 2ab a2 b2 c2 2bc b2 c2 a2 6b2 整理得ab bc 2b2 同除b得a c 2b 故等式成立 忽略三角形中任意两边之和大于第三边 易错点 例4已知钝角三角形的三边bc a k ac b k 2 ab c k 4 求k的取值范围 解析答案 误区警示 错解 c b a 且 abc为钝角三角形 c为钝角 解析答案 k2 4k 120 由 知0k 4 即k 2 误区警示 正解 c b a 且 abc为钝角三角形 c为钝角 误区警示 k2 4k 12k 4 k 2 由 可知2 k 6 误区警示 在解与三角形的边有关的问题时 一定要注意三角形两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 跟踪训练4若 abc为钝角三角形 三边长分别为2 3 x 则x的取值范围是 解析答案 d 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1 在 abc中 bcosa acosb 则 abc是 a 等边三角形b 等腰三角形c 直角三角形d 锐角三角形 解析答案 整理得a2 b2 a b b 6 解析答案 2 在 abc中 sin2a sin2c sin2b sincsinb 则a等于 a 60 b 45 c 120 d 30 解析由正弦定理得a2 c2 b2 bc c 又a 0 a 120 1 2 3 4 5 6 解析答案 d 1 2 3 4 5 6 解析答案 4 已知锐角三角形的边长分别为1 3 a 则a的范围是 解析只需让3和a所对的边均为锐角即可 b 1 2 3 4 5 6 解析由余弦定理得c2 a2 b2 2abcosc a2 1 a 3 即a2 a 2 0 解得a 1或a 2 舍 解析答案 1 1 2 3 4 5 6 解析答案 6 已知 abc的三边长分别为2 3 4 则此三角形是三角形 故该角为钝角 故该三角形为钝角三角形 钝角 1 2 3 4 5 6 课堂小结 1 判断三角形形状的基本思想是 用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系 若统一为角之间的关系 再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系 若统一为边之间的关系 再利用代数方法进行恒等变形 化简 找到边之间的关系 2 解决综合问题时应考虑以下两点