（全国通用）2020版高考数学专题六函数与导数第3讲导数的几何意义及简单应用讲义.docx

第3讲导数的几何意义及简单应用全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷2019导数的几何意义，求切线方程T13导数的几何意义，求切线方程T10利用导数的几何意义求参数T7利用导数研究函数的极值T21(1)利用导数讨论函数的单调性与最值T202018奇函数的定义及利用导数的几何意义求切线方程T6利用导数的几何意义求切线方程T13利用导数的几何意义求切线方程T21(1)利用函数的极值点求参数及单调区间T21利用导数求函数的单调区间T21(1)2017利用导数的几何意义求切线方程T14利用导数研究函数的单调性T21(1)利用导数研究函数的单调性T21(1)利用导数研究函数的单调性T21(1)(1)此部分内容是高考命题的热点内容.在选择题、填空题中多考查导数的几何意义，难度较小.(2)应用导数研究函数的单调性、极值、最值，多在选择题、填空题最后几题的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题；常在解答题的第一问中考查，难度一般.导数的几何意义例1(1)(2019全国卷)曲线y2sinxcosx在点(，1)处的切线方程为()A.xy10B.2xy210C.2xy210D.xy10(2)(2019全国卷)已知曲线yaexxlnx在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()A.ae，b1B.ae，b1C.ae1，b1D.ae1，b1解析(1)设yf(x)2sinxcosx，则f(x)2cosxsinx，f()2，曲线在点(，1)处的切线方程为y(1)2(x)，即2xy210.故选C.(2)yaexlnx1，ky|x1ae1，切线方程为yae(ae1)(x1)，即y(ae1)x1.已知切线方程为y2xb，即ae1，b1.故选D.答案(1)C(2)D解题方略与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值，kf(x0).(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0)，则切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.跟踪训练1.(2019福州市第一学期抽测)曲线f(x)xlnx在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()A.2B.C.D.解析：选Df(x)1，则f(1)2，故曲线f(x)xlnx在点(1，1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，1)，则切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，故选D.2.(2019江西八所重点中学联考)已知曲线y在x1处的切线l与直线2x3y0垂直，则实数a的值为_.解析：因为yf(x)，所以f(x)，所以曲线y在x1处的切线l的斜率kf(1)1.直线2x3y0的斜率k.因为切线l与直线2x3y0垂直，所以1，得a.答案：3.已知函数f(x)xsinxcosx的图象在点A(x0，y0)处的切线的斜率为1，则tanx0_.解析：f(x)xsinxcosx，f(x)cosxsinxsin.函数f(x)的图象在点A(x0，y0)处的切线斜率为1，sin1，x02k，kZ，x02k，kZ，tanx0tantantan.答案：利用导数研究函数的单调性例2(1)(2019广东省七校联考)已知定义在R上的连续可导函数f(x)，当x0时，有xf(x)0，则下列各项正确的是()A.f(1)f(2)2f(0)B.f(1)f(2)2f(0)C.f(1)f(2)2f(0)D.f(1)f(2)与2f(0)大小关系不确定(2)已知函数f(x)ex(exa)a2x，讨论f(x)的单调性.解析(1)由题意得，x0时，f(x)是增函数，x0时，f(x)是减函数，x0是函数f(x)的极大值点，也是最大值点，f(1)f(0)，f(2)f(0)，两式相加得，f(1)f(2)2f(0)，故选C.答案C解 (2)函数f(x)的定义域为(，)，f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa).若a0，则f(x)e2x在(，)上单调递增.若a0，则由f(x)0，得xlna.当x(，lna)时，f(x)0；当x(lna，)时，f(x)0.故f(x)在(，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增.若a0，则由f(x)0，得xln.当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递减，在上单调递增.解题方略求解或讨论函数单调性有关问题的解题策略讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论.(2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.注意讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制.跟踪训练1.(2019唐山市摸底考试)设函数f(x)x(exex)，则f(x)()A.是奇函数，且在(0，)上是增函数B.是偶函数，且在(0，)上是增函数C.是奇函数，且在(0，)上是减函数D.是偶函数，且在(0，)上是减函数解析：选A法一：由条件可知，f(x)(x)(exex)x(exex)f(x)，故f(x)为奇函数.f(x)exexx(exex)，当x0时，exex，所以x(exex)0，又exex0，所以f(x)0，所以f(x)在(0，)上是增函数，故选A.法二：根据题意知f(1)f(1)，所以函数f(x)为奇函数.又f(1)f(2)，所以f(x)在(0，)上是增函数，故选A.2.若本例(2)变为：已知函数f(x)ex(exa)a2x在1，)上单调递增，求实数a的取值范围.解：由本例解析知f(x)(2exa)(exa)，f(x)在1，)上单调递增，则f(x)0在1，)上恒成立，(2exa)(exa)0，2exaex在1，)上恒成立，2eae，实数a的取值范围为2e，e.3.若本例(2)变为：函数f(x)ex(exa)a2x在1，)上存在单调递减区间，求实数a的取值范围.解：由本例解析知f(x)2e2xaexa2，设tex，x1，)，te，)，即g(t)2t2ata2在e，)上有零点.g(e)2e2aea2e或a2e，实数a的取值范围为(，2e)(e，).利用导数研究函数的极值(最值)问题题型一求已知函数的极值(最值)例3(1)(2019昆明市质量检测)已知函数f(x)ax2bxclnx(a0)在x1和x2处取得极值，且极大值为，则函数f(x)在区间上的最大值为()A.0B.C.2ln24D.4ln24(2)已知函数f(x)2x，则函数f(x)的极小值为_.解析(1)f(x)2axb(x0，a0).因为函数f(x)在x1和x2处取得极值，所以f(1)2abc0，f(2)4ab0.又a0，所以当0x1或x2时，f(x)0，f(x)是增函数，当1x2时，f(x)0，f(x)是减函数.所以当x1时，f(x)极大值f(1)ab.联立，解得a，b3，c2.f(4)16342ln44ln24，经比较函数f(x)在区间上的最大值是f(4)4ln24.故选D.(2)f(x)2x(x1)，f(x)，令f(x)0，得2ln2xlnx10，解得lnx或lnx1(舍去)，即xe.当1xe时，f(x)0，当xe时，f(x)0，f(x)的极小值为f(e)2e4e.答案(1)D(2)4e解题方略利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值，则先求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号.(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解.(3)求函数f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.题型二由函数的极值(最值)确定参数值(范围)例4已知函数f(x)2lnx2axx2有两个极值点x1，x2(x1x2)，求实数a的取值范围.解f(x)的定义域为(0，)，f(x)2a2x，令f(x)0，即x2ax10，要使f(x)在(0，)上有两个极值点，则方程x2ax10有两个不相等的正根，则实数a的取值范围为(2，).解题方略已知函数极值点或极值求参数的方法列式根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解验证因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性跟踪训练1.函数yf(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是()A.(1，3)为函数yf(x)的单调递增区间B.(3，5)为函数yf(x)的单调递减区间C.函数yf(x)在x0处取得极大值D.函数yf(x)在x5处取得极小值解析：选C由函数yf(x)的导函数的图象可知，当x1或3x5时，f(x)0，yf(x)单调递减；当x5或1x3时，f(x)0，yf(x)单调递增.所以函数yf(x)的单调递减区间为(，1)，(3，5)，单调递增区间为(1，3)，(5，).函数yf(x)在x1，5处取得极小值，在x3处取得极大值，故选项C错误，选C.2.设函数f(x)klnx，k0在x1处取得极小值，则极小值为()A.B.C.1D.1解析：选Bf(x)x.由f(x)0解得x.f(x)与f(x)在区间(0，)上的情况如下：x(0，)f(x)f(x)所以f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.由条件知，1，解得k1，极小值f(1)0.选B.3.已知函数f(x)exx2(3a2)x在区间(1，0)上有最小值，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.解析：选D由f(x)exx2(3a2)x可得，f(x)ex2x3a2，因为函数f(x)exx2(3a2)x在区间(1，0)上有最小值，所以函数f(x)exx2(3a2)x在区间(1，0)上有极小值，而f(x)ex2x3a2在区间(1，0)上单调递增，所以f(x)ex2x3a20在区间(1，0)上必有唯一解，由零点存在定理可得解得1a，所以实数a的取值范围是，故选D.逻辑推理分类与整合思想研究函数的单调性典例已知函数f(x)lnxa2x2ax(aR).(1)当a1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(1，)上是减函数，求实数a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)lnxx2x，其定义域为(0，)，f(x)2x1，令f(x)0，则x1(负值舍去).当0x0；当x1时，f(x)0，f(x)在区间(0，)上为增函数，不合题意；当a0时，由f(x).f(x)的单调递减区间为.依题意，得解得a1；当a0时，由f(x).f(x)的单调递减区间为.依题意，得解得a.综上所述，实数a的取值范围是1，).法二：f(x)2a2xa.由f(x)在区间(1，)上是减函数，可得g(x)2a2x2ax10在区间(1，)上恒成立.当a0时，10不合题意；当a0时，可得即a1或a.实数a的取值范围是1，).素养通路逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.本题是含参函数的单调性问题，对于此类问题一般要分类讨论，常见有以下几种可能：方程f(x)0是否有根；若f(x)0有根，求出根后是否在定义域内；若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法.考查了逻辑推理这一核心素养.专题过关检测A组“633”考点落实练一、选择题1.已知函数f(x)的导函数f(x)满足下列条件：f(x)0时，x2；f(x)0时，1x2；f(x)0时，x1或x2.则函数f(x)的大致图象是()解析：选A根据条件知，函数f(x)在(1，2)上是减函数.在(，1)，(2，)上是增函数，故选A.2.设函数f(x)xex1，则()A.x1为f(x)的极大值点B.x1为f(x)的极小值点C.x1为f(x)的极大值点D.x1为f(x)的极小值点解析：选D由题意得，f(x)(x1)ex，令f(x)0，得x1，当x(，1)时，f(x)0，当x(1，)时，f(x)0，则f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以x1为f(x)的极小值点，故选D.3.已知直线ykx2与曲线yxlnx相切，则实数k的值为()A.ln2B.1C.1ln2D.1ln2解析：选D由yxlnx知ylnx1，设切点为(x0，x0lnx0)，则切线方程为yx0lnx0(lnx01)(xx0)，因为切线ykx2过定点(0，2)，所以2x0lnx0(lnx01)(0x0)，解得x02，故k1ln2，选D.4.若x是函数f(x)(x22ax)ex的极值点，则函数yf(x)的最小值为()A.eB.0C.eD.e解析：选Cf(x)(x22ax)ex，f(x)(2x2a)ex(x22ax)exx22(1a)x2aex，由已知得，f0，所以222a2a0，解得a1.所以f(x)(x22x)ex，所以f(x)(x22)ex，所以函数的极值点为，当x时，f(x)0；所以函数yf(x)是减函数，当x或x时，f(x)0，函数yf(x)是增函数.又当x(，0)(2，)时，x22x0，f(x)0，当x(0，2)时，x22x0，f(x)0，所以f(x)min在x(0，2)上，又当x时，函数yf(x)递减，当x时，函数yf(x)递增，所以f(x)minfe.5.已知函数f(x)(2xlnxa)ex在(0，)上单调递增，则实数a的最大值是()A.5ln2B.52ln2C.2ln2D.52ln2解析：选Af(x)(2xlnxa)ex，f(x)(2xlnx2a)ex，x(0，).依题意，知x(0，)时，f(x)0恒成立，即a2xlnx2在(0，)上恒成立.设g(x)2xlnx2，则g(x)2，x(0，).令g(x)0，得x或x1(舍去).令g(x)0，则0x，令g(x)0，则x，当x时，函数g(x)取得最小值，g(x)ming5ln2，a5ln2，即实数a的最大值是5ln2.故选A.6.已知函数f(x)为偶函数，当x0时，f(x)4x，设af(log30.2)，bf(30.2)，cf(31.1)，则()A.cabB.abcC.cbaD.bac解析：选A因为函数f(x)为偶函数，所以af(log30.2)f(log30.2)，cf(31.1)f(31.1).因为log3log30.2log3，所以2log30.21，所以1log30.22，所以31.13log30.2130.2.因为y在(0，)上为增函数，y4x在(0，)上为增函数，所以f(x)在(0，)上为增函数，所以f(31.1)f(log30.2)f(30.2)，所以cab，故选A.二、填空题7.(2019江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线ylnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是_.解析：设A(m，n)，则曲线ylnx在点A处的切线方程为yn(xm).又切线过点(e，1)，所以有n1(me).再由nlnm，解得me，n1.故点A的坐标为(e，1).答案：(e，1)8.若函数f(x)xalnx不是单调函数，则实数a的取值范围是_.解析：由题意知f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，要使函数f(x)xalnx不是单调函数，则需方程10在(0，)上有解，即xa，a0.答案：(，0)9.设定义在R上的函数yf(x)的导函数为f(x).如果存在x0a，b，使得f(b)f(a)f(x0)(ba)成立，则称x0为函数f(x)在区间a，b上的“中值点”.那么函数f(x)x33x在区间2，2上的“中值点”为_.解析：由f(x)x33x求导可得f(x)3x23，设x0为函数f(x)在区间2，2上的“中值点”，则f(x0)1，即3x31，解得x0.答案：三、解答题10.已知函数f(x)x2axalnx.(1)若曲线yf(x)在x2处的切线与直线x3y20垂直，求实数a的值；(2)若函数f(x)在2，3上单调递增，求实数a的取值范围.解：(1)f(x)2xa(x0)，依题意有f(2)3，a2.(2)依题意有2x2axa0在x2，3上恒成立，即a在2，3上恒成立，0(x2，3), y在2，3上单调递减，当x2，3时，8，实数a的取值范围为8，).11.(2019重庆市七校联合考试)设函数f(x)，g(x)a(x21)lnx(aR，e为自然对数的底数).(1)证明：当x1时，f(x)0；(2)讨论g(x)的单调性.解：(1)证明：f(x)，令s(x)ex1x，则s(x)ex11，当x1时，s(x)0，所以s(x)在(1，)上单调递增，又s(1)0，所以s(x)0，从而当x1时，f(x)0.(2)g(x)2ax(x0)，当a0时，g(x)0，g(x)在(0，)上单调递减，当a0时，由g(x)0得x.当x时，g(x)0，g(x)单调递减，当x时，g(x)0，g(x)单调递增.12.已知函数f(x)asinxbcosx(a，bR)，曲线yf(x)在点处的切线方程为yx.(1)求a，b的值；(2)求函数g(x)在上的最小值.解：(1)由切线方程知，当x时，y0，所以fab0.因为f(x)acosxbsinx.所以由切线方程知，fab1，所以a，b.(2)由(1)知，f(x)sinxcosxsin，所以函数g(x)，g(x)，设u(x)xcosxsinx，则u(x)xsinx0，故u(x)在上单调递减，所以u(x)u(0)0，即g(x)0在上恒成立，所以g(x)在上单调递减，所以函数g(x)在上的最小值为g.B组大题专攻强化练1.设f(x)xlnxax2(2a1)x，aR.(1)令g(x)f(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x1处取得极大值，求实数a的取值范围.解：(1)由f(x)lnx2ax2a，可得g(x)lnx2ax2a，x(0，).则g(x)2a.当a0时，x(0，)时，g(x)0，函数g(x)单调递增；当a0时，x时，g(x)0，函数g(x)单调递增，x时，g(x)0，函数g(x)单调递减.所以当a0时，g(x)的单调增区间为(0，)，当a0时，g(x)的单调增区间为，单调减区间为.(2)由(1)知，f(1)0.当a0时，f(x)单调递增，所以当x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递增.所以f(x)在x1处取得极小值，不符合题意.当0a时，1，由(1)知f(x)在内单调递增，可得当x(0，1)时，f(x)0，x时，f(x)0.所以f(x)在(0，1)内单调递减，在内单调递增，所以f(x)在x1处取得极小值，不符合题意.当a时，1，f(x)在(0，1)内单调递增，在(1，)内单调递减，所以当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不符合题意.当a时，01，当x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减，所以f(x)在x1处取得极大值，符合题意.综上可知，实数a的取值范围为a.2.已知函数f(x)x2axlnx(aR).(