高等数学教学大纲初稿.doc

高等数学课程教学大纲 年制订， 年修订课程名称：高等数学/ Advanced Mathematics课程类别：公共课开课单位：数学系开课对象：电子科学与技术专业、电子信息工程专业、电气工程及其自动化专业一年级课 时：136学时（上册64课时，下册72课时）选定教材：高等数学（上、下册），李超编著，北京，科学出版社，2010年6月。参 考 书：高等数学（上、下册）第六版，同济大学应用数学系编著，高等教育出版社，2007年4月。课程概述：数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学。随着现代科学技术和数学科学的发展，“数量关系”和“空间形式”具备了更丰富的内涵和更广泛的外延。现代数学内容更加丰富，方法更加综合，应用更加广泛。数学不仅是一种工具，而且是一种思维模式；不仅是一种知识，而且是一种素养；不仅是一种科学，而且是一种文化，能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志。数学教育在培养高素质科学技术人才中具有其独特的、不可替代的重要作用。教学目的：高等数学是高等学校工科类专业本科生必修的重要基础理论课。通过课程的学习，应使学生获得函数、极限与连续、一元函数微积分及其应用、多元函数微积分及其应用、向量代数与空间解析几何、无穷级数与常微分方程等方面的基本概念、基本理论、基本方法和运算技能，使学生初步受到用数学方法解决几何和物理等实际问题的能力训练，为今后学习各类后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的连续量方面的数学基础。通过各个教学环节，逐步培养学生的抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、自学能力，较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。为学生学习后续课程和进一步获得近代科学技术知识奠定必要的数学基础。学时分配：章节主要内容课内外学时比备注讲授实验讨论习题课外其它小计第一章函数与极限102618第二章导数与微分83920第三章中值定理与导数应用 102618第四章积分及其应用163928第五章空间解析几何82616第六章多元函数微分及其应用142622第七章重积分122620第八章曲线积分与曲面积分122620第九章无穷级数122620第十章常微分方程122620各章教学要求及教学要点第一章 教学要求：（一）函数 2学时1.了解函数的概念。能熟练求出函数的定义域和函数值。2.理解函数的主要性质(有界性、单调性、奇偶性和周期性)。3.熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形，了解复合函数、双曲函数与反双曲函数，会列简单应用问题的函数关系式。（二）极限 2学时 1.了解极限的概念，理解函数极限的性质，掌握求函数的左右极限的方法。（三）无穷小与无穷大 1学时 1.了解无穷小和无穷大的概念，理解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系。（四）极限的运算法则与两个重要极限 2学时1.熟练掌握极限的四则运算法则及用两个重要极限求一些极限的方法。（五）无穷小的比较 1学时1.理解无穷小量的比较关系。（六）函数的连续性 2学时1.了解函数连续性和函数间断点的定义，会求出函数的连续区间，判别函数间断点的类型。2.熟练掌握连续函数的运算与初等函数在其定义区间的内连续性，掌握闭区间上的连续函数的几个性质。教学内容：第一节：函数第二节：极限第三节：无穷小与无穷大第四节：极限的运算法则与两个重要极限第五节：无穷小的比较第六节：函数的连续性第二章 教学要求：（一）导数的概念 1学时1.了解导数与微分概念，理解导数的几何意义。会求出曲线的切线和法线方程，知道可导与连续的关系。（二）导数的运算法则 4学时1.熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则（包括一阶微分形式的不变性）。2.熟练掌握复合函数的求导法则、熟练掌握初等函数的一阶、二阶导数。（三）高阶导数 1学时1.了解高阶导数的概念。（四）隐函数的导数 1学时1.掌握隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数的求法。（五）函数及其应用 1学时1.理解微分及其在实际问题中的应用，会解一些简单实际问题中的相关变化率问题。教学内容：第一节：导数的概念第二节：导数的运算法则第三节：高阶导数第四节：隐函数的导数 有参数方程所确定的函数的导数 相关变化率第五节：函数及其应用第三章 教学要求：（一）中值定理 2学时1.深刻理解罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理，柯西（Cauchy）定理。（二）洛必达法则 1学时1. 熟练掌握洛必达法则。（三）泰勒公式 1学时1.了解泰勒（Taylor）定理以及用多项式逼近函数的思想。（四）函数单调性及其判断 2学时1.熟练掌握用导数判断函数的增减性。（五）函数的极值与最值 2学时1.了解函数的极值概念，熟练掌握用导数求函数的极值的方法，会求解较简单的最大值与最小值的应用问题，（六）函数的凹凸性与拐点、函数作图 1学时1会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘一些简单函数的图形（包括水平和铅直渐近线）。（七）曲率 1学时1.了解曲率的定义，理解求曲率的方法。教学内容：第一节：中值定理第二节：洛必达法则第三节：泰勒公式第四节：函数单调性及其判断 第五节：函数的极值与最值第六节：函数的凹凸性与拐点、函数作图 第七节：曲率 第四章 教学要求：（一）定积分的概念和性质 2学时1. 了解定积分的概念，理解定积分的性质。（二）微积分学基本定理 2学时1.理解微积分学的基本定理 （三）不定积分的概念 2学时1.了解不定积分的概念，理解不定积分的性质。（四）不定积分的计算 3学时1.掌握不定积分的基本公式以及不定积分的换元法和分部积分法。（五）定积分的积分法 3学时1.熟练掌握定积分的换元法和分部积分法、变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz）公式。（六）广义积分 2学时1.了解有理函数的积分和广义积分的概念与计算。（七）定积分的应用 2学时1.理解定积分的元素法，熟练掌握用定积分来表达一些几何量与物理量（如面积、体积、弧长、功、引力等）的方法。教学内容：第一节：定积分的概念和性质 第二节：微积分学基本定理 第三节：不定积分的概念 第四节：不定积分的计算 第五节：定积分的积分法 第六节：广义积分 第七节：定积分的应用第五章 教学目的：（一）空间解析几何 1学时1深刻理解空间直角坐标系。（二）向量的坐标 1学时1.理解向量的概念及其表示。 2.理解单位向量、方向余弦及向量的坐标表达式，用坐标表达式进行向量运算。（三）向量的乘法 2学时1.掌握向量的运算（线性运算、点积、叉积）。 （四）平面及其方程 1学时1.了解曲面方程的概念。2.掌握平面的方程的方程及其求法。 （五）直线及其方程 1学时1.掌握直线的方程及其求法。2.掌握两个向量夹角的求法与垂直、平行的条件。（六）空间曲面与空间曲线 2学时 1.掌握常用的二次曲面方程及其图形，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程、空间曲线的参数方程和一般方程、曲面的交线在坐标平面上的投影。教学内容：第一节：空间解析几何 第二节：向量的坐标 第三节：向量的乘法 第四节：平面及其方程 第五节：直线及其方程 第六节：空间曲面与空间曲线 第六章 教学要求：（一）多元函数 2学时1了解多元函数的概念，理解二元函数的极限与连续性的概念，理解有界闭区域上连续函数的性质。（二）偏导数 2学时1了解二元函数偏导数的概念。（三）全微分 2学时1了解二元函数全微分的概念。了解全微分存在的必要条件与充分条件。2理解二元函数极值与条件极值的概念，会求二元函数的极值。3了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些比较简单的最大值与最小值的应用问题。（四）多元复合函数的求导法则 2学时1掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数（对于求抽象复合函数的二阶导数，只要求作简单训练）。（五）隐函数的求导公式 2学时1会求隐函数（包括由两个方程构成的方程组确定的隐函数）的一阶偏导数（对求二阶偏导数不作要求）。（六）偏导数的应用 2学时1了解曲线的切线和法平面以及曲面的切平面与法线，并会求出它们的方程。（七）方向导数与梯度 2学时2了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。教学内容：第一节：多元函数 第二节：偏导数 第三节：全微分 第四节：多元复合函数的求导法则 第五节：隐函数的求导公式第六节：偏导数的应用第七节：方向导数与梯度第七章 教学要求：（一）二重积分的概念与性质 2学时1了解二重积分的概念，理解重积分的性质。（二）二重积分的计算 3学时1掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。（三）三重积分的概念及其计算 3学时1了解三重积分的概念。2掌握三重积分的计算方法（直角坐标、柱坐标、球坐标）。（四）利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 2学时1.掌握利用柱坐标、球坐标计算三重积分的方法。（五）二重积分的应用 2学时1会用重积分来表达一些几何量与物理量（如体积、质量、重心、转动惯量等等）。教学内容：第一节：二重积分的概念与性质 第二节：二重积分的计算第三节：三重积分的概念及其计算第四节：利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 第五节：二重积分的应用第八章 教学要求：（一）对弧长的曲线积分 2学时1.了解对对弧长的曲线积分的概念，理解其性质。2.掌握弧长的曲线积分的方法。（二）对坐标的曲线积分 2学时1.了解对对坐标的曲线积分的概念，理解其性质。2.掌握坐标的曲线积分的方法。（三）格林公式 2学时1熟练掌握格林（Green）公式。（四）对面积的曲面积分 2学时1了解对面积的曲面积分的概念。2掌握对面积的曲面积分的计算。（五）对坐标的曲面积分 2学时1了解对坐标的曲面积分的概念。2掌握对坐标的曲面积分的计算。（六）高斯公式 2学时1掌握高斯（Gauss）公式。2掌握用曲线积分及曲面积分来表达一些几何量与物理量（如体积、质量、重心等等）。教学内容：第一节：对弧长的曲线积分 第二节：对坐标的曲线积分第三节：格林公式第四节：对面积的曲面积分 第五节：对坐标的曲面积分第六节：高斯公式第九章 教学要求：（一）常数项级数的概念与性质 2学时1. 了解常数项级数的概念，理解无穷级数的基本性质。（二）常数项级数的审敛法 2学时1了解无穷级数收敛、发散以及和的概念、几何级数和级数的收敛性。2. 理解无穷级数收敛的必要条件。3掌握正项级数的比较审敛法、交错级数的莱布尼兹定理，并能估计交错级数的截断误差。（三）冥级数 3学时1熟练掌握简单幂级数的收敛域的求法（可不考虑端点的收敛性）。（四）函数展开成冥级数 2学时1掌握幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。2会用、和的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。（五）傅里叶级数 3学时1理解函数展开为傅里叶级数的充分条件，将定义在和上的函数展开为傅里叶级数以及及将定义在上的函数展开为正弦或余弦级数。教学内容：第一节：常数项级数的概念与性质 第二节：常数项级数的审敛法第三节：冥级数第四节：函数展开成冥级数 第五节：傅里叶级数第十章 教学要求：（一）微分方程的基本概念 1学时1理解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。（二）可分离变量的微分方程、齐次方程 2学时1掌握变量可分离的方程。2理解求解齐次方程。（三）一阶线性微分方程、贝努力方程 2学时1理解求解伯努利方程。2掌握一阶线性方程的解法。（四）全微分方程 2学时1领会用变量代换求解方程的思想，能求解较简单的全微分方程。（五）可降阶的高阶微分方程 1学时1了解几种特殊的高阶方程：。2理解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。（六）线性微分方程的解的结构 1学时1了解二阶线性微分方程解的结构。（七）二阶常系数齐次微分方程 2学时1初步掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。（八）二阶常系数