辽宁省北票市高中数学 第三章 不等式 3.5.2 简单的线性规划课件1 新人教B版必修5.ppt

3 5 2简单线性规划 1 画出不等式 组 表示的平面区域 y 2x 1 4x 3y 9x 2y 4 说明 直线定界 特殊点定域划分区域时 找好特殊点 注意不等号 y 2x 1 x 2y 4 3x 5y 25 x 4y 3 x 1 问题 有无最大 小 值 x y o 问题 2 有无最大 小 值 引例 设z 2x y 式中变量x y满足下列条件 求z的最大值和最小值 分析 不等式组表示的区域是图中的 abc z 2x y l2 l1 求最值的方法1 截距法 在经过不等式组表示的公共区域内的点且平行于l0的直线中 以经过点a 5 2 的直线l2所对应的截距最大故zmax 2 5 2 12 以经过点b 1 1 的直线l1所对应的z最小故zmin 2 1 1 3 思考 2x y z 0 z r 可看作什么 一组平行直线 都与直线l0 2x y 0平行 求最值的方法2 距离法 作一组与直线l0平行的直线 或平行移动直线l0 l 2x y z z r 求最值的方法2 距离法 在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中 以经过点a 5 2 的直线l2所对应的d最大 l2 求最值的方法2 距离法 以经过点b 1 1 的直线l1所对应的d最小 所以 zmax 2 5 2 12 zmin 2 1 1 3 l2 l1 求最值的方法2 距离法 在上述问题中 不等式组是一组对变量x y的约束条件 由于这组约束条件都是关于x y的一次不等式 所以又可称其为线性约束条件 z 2x y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x y的解析式 我们把它称为目标函数 由于z 2x y又是关于x y的一次解析式 所以又可叫做线性目标函数 线性规划的有关概念 线性规划的概念 问题 设z 2x y 式中变量满足下列条件 求z的最大值与最小值 目标函数 线性目标函数 线性约束条件 注意 线性约束条件除了用一次不等式表示外 也可用一次方程表示 一般地 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 统称为线性规划问题 例如 我们刚才研究的就是求线性目标函数z 2x y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题 即为线性规划问题 线性规划的有关概念 满足线性约束条件的解 x y 叫做可行解 由所有可行解组成的集合叫做可行域 在上述问题中 可行域就是阴影部分表示的三角形区域 其中可行解 5 2 和 1 1 分别使目标函数取得最大值和最小值 它们都叫做这个问题的最优解 线性规划的有关概念 解线性规划问题的基本步骤 第一步在平面直角坐标系中画出可行域 第二步 平移直线在可行域内找出最优解所对应的点 找使纵截距取得最值时的点 第三步 解方程组 从而求出目标函数的最大值或最小值 简记为 画 移 求 例1已知x y满足 试求z 300 x 900y的最大值 典型例题 分析 先画出平面区域 然后在平面区域内寻找使z 300 x 900y取最大值时的点 例1已知x y满足 试求z 300 x 900y的最大值 典型例题 解 作出可行域 见图中四边形aobc表示的平面区域 典型例题 作出直线l0 300 x 900y 0 即x 3y 0 将它平移至点a 显然 点a的坐标是可行域中的最优解 它使z 300 x 900y达到最大值 易得点a 0 125 所以zmax 300 0 900 125 112500 l0 x 3y 0 2x y 300 典型例题 变题1 在例1中 若目标函数设为z 400 x 300y 约束条件不变 则z的最大值在点c处取得 l0 4x 3y 0 2x y 300 变题2 若目标函数设为z 300 x 600y 约束条件不变 则z的最大值 可在线段ac上任一点处取得 事实上 可行域内最优解对应的点在何处 与目标函数z ax by a 0 b 0 所确定的直线l0 ax by 0的斜率 有关 就本例而言 若 直线x 2y 250的斜率 则线段ac上所有点都使z取得最大值 如 z 300 x 600y时 当 0时 点a处使z取得最大值 比如 例1 当 2 时 点c处使z取得最大值 比如 z 400 x 300y时 其它情况请同学们课外思考 例2 设z 2x y 式中变量x y满足下列条件求 的最大值和最小值 解 作出可行域如图 当 0时 设直线l0 2x y 0 当l0经过可行域上点a时 z最小 即 最大 当l0经过可行域上点c时 最大 即 最小 zmax 2 5 2 8zmin 2 1 4 4 2 4 5 2 1 4 4 平移l0 平移l0 2x y 0 三个转化 图解法 想一想 结论 线性约束条件 可行域 线性目标函数z ax by 最优解 寻找平行线组的最大 小 纵截距 求最值的方法 1 距离法 2 截距法 1 2012年高考 辽宁文理 设变量x y满足则2x 3y的最大值为 a 20b 35c 45d 55 1 答案 d 解析 画出可行域 根据图形可知当x 5 y 15时2x 3y最大 最大值为55 故选d d 2 2012年高考 天津文 设变量满足约束条件则目标函数的最小值 a 5b 4c 2d 3 解析 做出不等式对应的可行域如图 由图象可知当直线经过点时 直线的截距最大 而此时最小为 选b b 3 2012年高考 浙江文 设z x 2y 其中实数x y满足 则z的取值范围是 解析 利用不等式组 作出可行域 可知区域表示的四边形 但目标函数过点 0 0 时 目标函数最小 当目标函数过点时最大值为 0 1 求z 600 x 300y的最大值 使式中的x y满足约束条件 附加练习 分析 画出约束条件表示的平面区域即可行域再解 2x y 0 zmax 600 70 300 90 69000 2 已知x y满足不等式组求z 3x y的最小值 附加练习 分析 可先找出可行域 平行移动直线l0 3x y 0 找出可行解 进而求出目标函数的最小值 zmin 1 l0 3x y 0 3 满足线性约束条件的可行域内共有 个整数点 4 4 设z x y 式中变量x y满足求z的最大值和最小值 zmax 1 zmin 3 附