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高等代数之航线问题二一、前言：高等代数在现实生活的应用中往往跟信息的整合与规划有关。例如矩阵的一系列性质、运算等等一般都有实际的背景，无论是在其他数学分支中，如常微分方程中的朗斯基行列式等等，还是在实际问题的应用中都发挥着重要的作用。中心问题是：探讨一个航线图的邻接矩阵的幂的实际意义。准备知识是：矩阵的运算。二、课题探究： 在1855年左右，英国数学家凯莱对线性函数的合成有兴趣，特别地，他研究了下列线性函数的合成：f(x)=f=g(x)=g=他将f和g合成，产生了另一个线性函数h(x)= f(g(x) =f=凯莱将线性函数的系数写成矩阵的形式，即用F=，G=，H=来分别表示f,g和h,称H是F和G的合成（或积），写为=。也就是说，用两个矩阵的积可以表示它们所对应的线性函数的合成。由此他导出了矩阵的乘法，为矩阵论和线性代数增添了活力。下面的航线问题又给出了矩阵乘法定义的合理性的一个例子。如图所示，是某个航空公司关于A，B,C,D和H五个城市的航线图，其中H是中心城市，它和其他每个城市之间都有往返的航线，而其他城市之间只有从A到C，从C到D，从D到B，从B到A四条航线。假定我们要从城市A到城市B旅行，那么至少需要2条航线才能完成这次旅行，其中AH和HB两条航线连接起来的路线所需的航线数量最少，否则，至少需要3条航线。于是，我们要问，共有多少条从城市A到城市B的路线恰好是由3条航线连接起来的？有多少条路线所需的路线不超过4条？由于一共只有5个城市，我们从图上通过观察，就能回答上述问题。在城市数多和航线图复杂的情况下，用观察方法就难以解决了。为此，可以利用矩阵代数，设C=（），其中 =我们把矩阵C成为邻接矩阵。例如，图中的航线图的邻接矩阵为 C = （*）从邻接矩阵C以及它的幂C， C，C，我们可以获得一些信息，从而解决上述航线问题。三、实例解决：已知如上图所示的航线图，求：1） 恰好由3条（或4条）航线连接起来的从城市A到城市B的路线的总线；2） 从城市A到城市B的所需航线不超过4条的路线的总数。解：1）由（*）式可知C=，则C=，C=，C=，因此，恰好由3条航线连接起来的从城市A到城市B的路线总数是（C）=3， 恰好由4条航线连接起来的从城市A到城市B的路线总数是（C）=72）由于C+ C+ C+ C=，因此，从城市A到城市B所需的航线不超过4条的路线总数是（C+ C+ C+ C）=11.四、应用总结航线问题，在城市数量和航线数量不多，复杂程度不高的情况下，比较容易靠列举等初等方法求解。但是一旦城市航线变得冗多而复杂的情况，我们的高等代数工具就派上了用场。其内涵是将相邻城市的连接情况抽象成邻接矩阵，用0和1这种朴素的数学表达刻画实际问题。在之后的运算处理中，虽然用到的矩阵知识不多，即求矩阵的积，具
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