高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.3 空间的角的计算课件 苏教版选修12.ppt

第3章3 2空间向量的应用 3 2 3空间的角的计算 1 理解直线与平面所成角的概念 2 能够利用向量方法解决线线 线面 面面的夹角问题 3 掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤 学习目标 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 栏目索引 知识梳理自主学习 知识点一两条异面直线所成的角 1 定义 设a b是两条异面直线 经过空间任意一点o 作直线a a b b 则a 与b 所成的锐角 或直角 叫做a与b所成的角 2 范围 两条异面直线所成角 的取值范围是 3 向量求法 设直线a b的方向向量分别为a b 其夹角为 则a b所成角的余弦值为cos cos 1 定义 直线和平面所成的角 是指直线与它在这个平面内的射影所成的角 2 范围 直线和平面所成角 的取值范围是0 3 向量求法 设直线l的方向向量为a 平面的法向量为u 直线与平面所成的角为 a与u的夹角为 则有 知识点二直线与平面所成的角 知识点三二面角 1 二面角的取值范围 0 2 二面角的向量求法 若ab cd分别是二面角 l 的两个面内与棱l垂直的异面直线 垂足分别为a c 如图 则二面角的大小就是向量与的夹角 设n1 n2是二面角 l 的两个面 的法向量 则向量n1与向量n2的夹角 或其补角 就是二面角的平面角的大小 返回 例1如图 在直三棱柱a1b1c1 abc中 ab ac ab ac 2 a1a 4 点d是bc的中点 求异面直线a1b与c1d所成角的余弦值 题型探究重点突破 题型一两条异面直线所成角的向量求法 解析答案 反思与感悟 解以a为坐标原点 分别以ab ac aa1为x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系a xyz 反思与感悟 则a 0 0 0 b 2 0 0 c 0 2 0 d 1 1 0 a1 0 0 4 c1 0 2 4 建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系 利用向量法求两异面直线所成角的计算思路简便 要注意角的范围 反思与感悟 跟踪训练1如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 ad aa1 1 ab 2 点e是棱ab上的动点 若异面直线ad1与ec所成角为60 试确定此时动点e的位置 解析答案 解以da所在直线为x轴 以dc所在直线为y轴 以dd1所在直线为z轴 建立空间直角坐标系 如图所示 设e 1 t 0 0 t 2 所以t 1 所以点e的位置是ab的中点 题型二直线与平面所成角的向量求法 解析答案 反思与感悟 解析答案 反思与感悟 解建立如图所示的空间直角坐标系 设平面amc1的法向量为n x y z 反思与感悟 设bc1与平面amc1所成的角为 借助于向量求线面角关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量 一定要注意向量夹角与线面角的区别和联系 反思与感悟 跟踪训练2如图 正方形amde的边长为2 b c分别为am md的中点 在五棱锥p abcde中 f为棱pe的中点 平面abf与棱pd pc分别交于点g h 1 求证 ab fg 解析答案 证明在正方形amde中 因为b是am的中点 所以ab de 又因为ab 平面pde de 平面pde 所以ab 平面pde 因为ab 平面abf 且平面abf 平面pde fg 所以ab fg 2 若pa 底面abcde 且pa ae 求直线bc与平面abf所成角的大小 并求线段ph的长 解析答案 解析答案 解因为pa 底面abcde 所以pa ab pa ae 如图 建立空间直角坐标系a xyz 设平面abf的一个法向量为n x y z 则 解析答案 设直线bc与平面abf所成角为 令z 1 则y 1 所以n 0 1 1 设点h的坐标为 u v w 即 u v w 2 2 1 2 所以u 2 v w 2 2 即 0 1 1 2 2 2 0 例3如图 四棱柱abcd a1b1c1d1的所有棱长都相等 ac bd o a1c1 b1d1 o1 四边形acc1a1和四边形bdd1b1均为矩形 1 证明 o1o 底面abcd 题型三二面角的向量求法 解析答案 证明因为四边形acc1a1为矩形 所以cc1 ac 同理dd1 bd 因为cc1 dd1 所以cc1 bd 而ac bd o 且ac 底面abcd bd 底面abcd 因此cc1 底面abcd 由题意知 o1o c1c 故o1o 底面abcd 2 若 cba 60 求二面角c1 ob1 d的余弦值 解析答案 反思与感悟 解析答案 解因为四棱柱abcd a1b1c1d1的所有棱长都相等 所以四边形abcd是菱形 因此ac bd 又o1o 底面abcd 从而ob oc oo1两两垂直 如图 以o为坐标原点 ob oc oo1所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系o xyz 不妨设ab 2 易知 n1 0 1 0 是平面bdd1b1的一个法向量 设n2 x y z 是平面ob1c1的一个法向量 反思与感悟 反思与感悟 设n1 n2分别是平面 的法向量 则向量n1与n2的夹角 或其补角 就是两个平面所成角的大小 如图 反思与感悟 用坐标法的解题步骤如下 1 建系 依据几何条件建立适当的空间直角坐标系 2 求法向量 在建立的空间直角坐标系下求两个面的法向量n1 n2 3 计算 求n1与n2所成锐角 cos 4 定值 若二面角为锐角 则为 若二面角为钝角 则为 跟踪训练3如图所示 正三棱柱abc a1b1c1的所有棱长都为2 d为cc1的中点 求二面角aa1db的余弦值 解析答案 返回 解如图所示 取bc中点o 连结ao 因为 abc是正三角形 所以ao bc 因为在正三棱柱abca1b1c1中 平面abc 平面bcc1b1 所以ao 平面bcc1b1 解析答案 解析答案 又bd ba1 b bd 平面a1bd ba1 平面a1bd 所以ab1 平面a1bd 又因为二面角aa1db为锐角 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1 已知向量m n分别是直线l和平面 的方向向量和法向量 若cos m n 则直线l与平面 所成的角为 解析答案 30 1 2 3 4 5 2 已知两平面的法向量分别为m 0 1 0 n 0 1 1 则两平面所成的二面角的大小为 二面角的大小为45 或135 45 或135 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 解析建立如图所示的空间直角坐标系 即ab1与c1b所成角的大小为90 答案90 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 4 正方体abcd a1b1c1d1中 bb1与平面acd1所成角的余弦值为 解析设正方体的棱长为1 建系如图 则d 0 0 0 b 1 1 0 b1 1 1 1 解析答案 1 2 3 4 5 5 在长方体abcd a1b1c1d1中 已知da dc 4 dd1 3 则异面直线a1b与b1c所成角的余弦值为 解析答案 解析如图