数学分析(二)考试大纲.pdf

1 数学分析 二 考试大纲 一 说明 1 数学分析的阶段性考试 期中考试与期末考试 旨在考查基础知识 基本 技能 基本方法 考核学生的运算能力 逻辑思维能力 论证推理能力及运用 所学知识 方法分析问题和解决问题的能力 2 考试要求分五个层次 这五个层次由低到高依次为 识记 理解 应用 分析 综合 3 教材 华东师范大学数学系编 数学分析 第三版 高等教育出版社 2001 二 考试内容 参阅 数学分析教学大纲 三 考试要求 7 实数的连续性 理解 确界的概念 聚点的概念 实数连续性定理的等价性 应用 区间套定理 确界的概念 确界存在定理 聚点的概念 聚点定理 致密性定理 柯西准则 有限覆盖定理 理解 一致连续性的概念 应用 闭区间连续函数的性质 8 不定积分 理解 原函数与不定积分的概念 基本积分表 不定积分的性质 应用 分部积分法 换元积分法 应用 有理函数的积分 应用 简单无理函数的积分 三角函数有理式的积分 9 定积分 理解 定积分的概念 可积的必要条件 应用 可积的充要条件 可积函数类 2 应用 定积分的性质 线性性 区间可加性 单调性 不等式 绝对可积性 积分中值定理 理解 积分上限函数 应用 微积分学基本定理 牛顿 莱布尼兹公式 分部积分与换元积分法 定积分的近似计算 矩形法 梯形法 抛物线法 10 定积分的应用 应用 平面图形的面积 平面曲线的弧长与弧微分 曲率 已知截面面积函 数的立体体积 旋转体的体积 旋转体的侧面积 函数的平均值 变力作功 重 心 液体压力 转动惯量 11 非正常积分 理解 无穷积分收敛与发散的概念 无穷积分收敛的性质 无穷积分与数 项级数的关系 绝对收敛与条件收敛的概念 应用 无穷积分敛散性的判别 无穷积分收敛与发散的概念 柯西准则 比较原则 比式判别法 阿贝尔判别法 狄利克莱判别法 12 数项级数 识记 绝对收敛级数的重排定理 理解 级数收敛与发散的概念 收敛级数的基本性质 柯西准则 绝对收敛 与条件收敛的概念 应用 正项级数敛散性的判别 比较原则 比式判别法与根式判别法 交 错级数的莱布尼兹判别法 一般项级数的阿贝尔判别法与狄利克莱判别法 13 函数项级数 理解 函数列的收敛与一致收敛的概念 函数项级数的收敛与一致收敛的 概念 应用 函数列一致收敛的判别 一致收敛的概念 柯西准则 一致收敛原 理 函数列极限函数的分析性质 连续性 可微性 可积性 函数项级数一 致收敛的判别 一致收敛的概念 柯西准则 维尔斯特拉斯判别法 一致收敛原 理 阿贝尔判别法 狄利克莱判别法 函数项级数的和函数的分析性质 连续 3 性 逐项可微性 逐项可积性 14 幂级数 理解 幂级数的收敛域 泰勒级数的概念 阿贝尔第一定理 阿贝尔第二定 理 函数的泰勒展开条件 应用 求幂级数的收敛半径与收敛区间 幂级数的和函数的分析性质 连 续性 逐项微分 逐项积分 幂级数的四则运算 初等函数的泰勒展开 幂级 数在近似计算中的应用 15 富立叶级数 识记 三角级数的概念 三角函数系的正交性 傅里叶级数的概念 贝塞尔 不等式 理解 黎曼 勒贝格定理 傅里叶级数的部分和公式 收敛定理 奇函数与 偶函数的富里叶级数 一致收敛定理 傅里叶级数的逐项微分与逐项积分 应用 函数的傅里叶级数展开 四 命题结构和要求 1 严格按照 教学大纲出题 不出超纲题 偏题 怪题 2 试题以考查数学的基本概念 基本方法和基本原理为主 在此基础上 加强对考生的运算能力 抽象概括能力 逻辑思维能力 空间想象能力 综合 运用所学知识解决实际问题能力的考查 3 力求试卷难度控制在 0 5 0 55 之间 并确保试题具有较高的区分度 能将优秀的学生区分出来 具体说 试题的平均分控制在 60 80 分之间 区 分度在 0 3 以上 4 题量和试卷分量适当 试题份量以较优秀水平的考生能在规定的时间里 从容地完成试题作答为宜 5 主客观性试题在试卷中的占分比例保持 7 3 左右 主观性试题包括计 算题 证明题 综合题和应用题 客观性试题包括填空题和单项选择题 6 充分发挥各种题型功能 填空题主要用于考查三基以及数学重要性质 一般不出省去解答过程的大计算题 以中等难度的试题为主 单项选择题主要 4 考查考生对数学概念 数学性质的理解并能进行简单推理 判定和比较 一般 不出成纯粹的计算题 以不超过中等难度的试题为主 综合题和应用题主要考 查学生的逻辑思维和综合运用知识解决实际问题的能力 7 试题有一定的内容覆盖面 但不追求面面俱到 以确保内容效度 由于 考试内容广泛 而考试时间有限 题量有限 一般要求保证重点章节被考查即 可 数学分析 二 期末考试样卷 数学分析 二 期末考试样卷 一 判断题一 判断题 10 共 5 小题 每小题 2 分 1 若级数 n u收敛 则0lim n n u 2 若lim 0 x f x 则 a f x dx 收敛 3 狄里克莱函数 1 0 xQ D x xQ 在 0 1 上不可积 4 设 xf在 ba可积 则 x a dttfx 在 ba上可微 5 若limsup 0 n n x D fxf x 则在D上 n fx xf 二 单项选择题二 单项选择题 8 共4小题 每小题2分 1 xxf 在 0 1 上 A 不可积 B 可积 其积分值为1 C 可积 其积分值为 2 1 D 可积 其积分值为0 2 级数 1 1 1 n n n A 发散 B 绝对收敛 C 条件收敛 其和为2ln D 条件收敛 其和为2 3 函数列 n x在 1 1 上 A 发散 B 一致收敛 C 不一致收敛 D 不能判断收敛性 4 级数 1n n n x 其收敛域为 A 1 1 B 1 1 C 1 1 D 1 1 三 计算题三 计算题 50 共5小题 每小题10分 5 1 计算 2x x e dx 2 求 111 lim 122 n nnn 3 求由椭球面1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 所围立体之体积 4 函数 1ln xxf 麦克劳林级数 5 设 2 0 0 2 2 xx x xx xf 求 xf的傅立叶级数 四 证明题四 证明题 32 共4小题 每小题8分 1 叙述连续函数的最大最小值定理 并应用确界原理证明之 2 讨论级数 2 ln 1 n p nn 的收敛性 3 若函数列 n f在 ba上一致收敛 且每一项都连续 则 b a n n dxxf lim b a n n dxxf lim 4 求证级数 0n n x在 aa 上 10 a 一致收敛 但在 1 1 内不一致收 敛 附一 认知领域的教育目标分类体系 1 识记 识别具体事物 认识处理事物的方法 对事物的概括与抽象 2 理解 转译资料 解释资料 外推结果 3 应用 把所学的知识应用于具体情境 4 分析 分析要素 成分 分析关系 分析组成原理 5 综合 形成观点意见 拟订计划方案 抽象关系理论 6 评价 依内在的证据作判断 依外在的效标作判断 附二 情感领域的教育目标分类体系 6 1 接受 注意 觉察 愿意接受 有控制或有选择的注意 2 反应 默认的反应 愿意的反应 满意的反应 3 价值评价 价值的接受 价值体系的组织 4 组织 价值的概念化 价值体系的组织 5 由价值或价值复合体形成的性格化 泛化心向 性格化 附三 题型分类及代号 1 A类为客观性试题 A1 单向选择 A2 多向选择 A3 不定向选择 A4 填空 A5 改错 A6 判断 A7 分类 A